末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A．y＝2（x+1）2+2 C．y＝2（x﹣1）2﹣2
B．y＝2（x﹣1）2+2 D．y＝2（x+1）2﹣2
3．（3分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．3个都是黑球 C．2个白球1个黑球
B．2个黑球1个白球 D．至少有1个黑球
4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
5．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′
6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 C．无实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
7．（3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A．
B．2
C．
D．
8．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A．20%
B．40%
C．18%
D．36%
9．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B，若△ADC的面积为3，则△ABD的面积为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝（x＜0）的图象经过线段OA的中点B，则k＝ ．
14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得矩形BEFG，若AB＝3，BC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、
CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为 ．
三、解答题（共75分） 16．（8分）（1）计算：（2）解方程：5x+2＝3x2
17．（9分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人； （2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
18．（9分）如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E． （1）求证：OA∥BC；
（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．
19．（9分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C． （1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，
≈1.73）．
20．（9分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线y＝x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值； （2）求△ACE的面积．
21．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青眯，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售价100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
22．（10分）实验探究：
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交于
BD、CE点P．【问题发现】
（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是 （“相等”或“不相等”），请直接写出答案； 【类比探究】
（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长； 【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为 ．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．
2019-2020学年河南师大附中等新乡市名校联考九年级（上）期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）.
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项正确； D、不是中心对称图形，本选项错误． 故选：C．
2．（3分）将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A．y＝2（x+1）2+2 C．y＝2（x﹣1）2﹣2
B．y＝2（x﹣1）2+2 D．y＝2（x+1）2﹣2
【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴得到的抛物线是y＝2（x+1）2﹣2． 故选：D．
3．（3分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．3个都是黑球 C．2个白球1个黑球
B．2个黑球1个白球 D．至少有1个黑球
【分析】正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即事件发生的可能性为100%．
【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确． 故选：D．
4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠ABC＝∠C＝∵CD＝CB， ∴∠CBD＝
＝36°，
＝108°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°， 故选：C．
5．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′， AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意． 故选：C．
6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 C．无实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】利用一次函数的性质得到k＞0，b≤0，再判断△＝k2﹣4b＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限， ∴k＞0，b≤0， ∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
7．（3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD，
在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2， 则OD＝tan∠CDO＝
＝
＝4，
，
由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO， 则tan∠OBC＝故选：D．
，
8．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A．20%
B．40%
C．18%
D．36%
【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可． 【解答】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16 解方程得
，
（舍）
∴每次降价得百分率为20% 故选：A．
9．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长． 【解答】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝∵cosα＝
0.3＝， ，
∴cosα＝解得，AB＝故选：B．
，
米，
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函
数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 3π ． 【分析】根据弧长公式计算． 【解答】解：该扇形的弧长＝故答案为：3π．
12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B，若△ADC的面积为3，则△ABD的面积为 9 ．
＝3π．
【分析】由已知条件易证△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为
12，进而可求出△ABD的面积
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴
＝（
）2，
∵AC＝2，BC＝4， ∴
＝（
）2＝，
∵△ADC的面积为3， ∴△BCA的面积为12， ∴△ABD的面积为：12﹣3＝9， 故答案为：9．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），反比例函数y＝（x＜0）的图象经过线段OA的中点B，则k＝ ﹣2 ．
【分析】已知A（﹣4，2），B是OA的中点，根据平行线等分线段定理可得点B的坐标，把B的坐标代入关系式可求k的值．
【解答】解：如图：∵AC∥BD，B是OA的中点， ∴OD＝DC 同理OF＝EF ∵A（﹣4，2） ∴AC＝2，OC＝4
∴OD＝CD＝2，BD＝OF＝EF＝1， ∴B（﹣2，1）代入y＝得： ∴k＝﹣2×1＝﹣2 故答案为：﹣2
14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得矩形BEFG，若AB＝3，BC＝2，则图中阴影部分的面积为
．
【分析】如图，连接BD，BF．根据S阴＝S
扇形BCE
扇形BDF
+S△BEF﹣S△BDCS
扇形BCE
＝S扇形BDF﹣S
计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，BF．
由题意S阴＝S扇形BDF+S△BEF﹣S△BDCS扇形BCE＝S扇形BDF﹣S扇形BCE＝
﹣＝π，
故答案为π．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为
或2 ．
【分析】分两种情况①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出
AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°，DE＝AD＝2，求出DG＝
CG＝
，BG＝BC+CG＝3，由折叠的性质得EN＝BN，EM＝BM
＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A＝∠DEM＝120°，证出D、E、N三点共线，设BN＝EN＝xcm，则GN＝3﹣x，DN＝x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当CE＝CD上，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝2（含CE＝DE这种情况）． 【解答】解：分两种情况：
①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°， ∴DE＝AD＝2， ∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°， ∴CG＝CD＝1， ∴DG＝
CG＝
，BG＝BC+CG＝3，
∵M为AB的中点， ∴AM＝BM＝1，
由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°， 在△ADM和△EDM中，∴△ADM≌△EDM（SSS）， ∴∠A＝∠DEM＝120°， ∴∠MEN+∠DEM＝180°， ∴D、E、N三点共线，
设BN＝EN＝x，则GN＝3﹣x，DN＝x+2， 在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（解得：x＝，即BN＝；
）2＝（x+2）2，
，
②当CE＝CD时，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示： CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝2（含CE＝DE这种情况）； 综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2； 故答案为：或2．
三、解答题（共75分） 16．（8分）（1）计算：（2）解方程：5x+2＝3x2
【分析】（1）将三角函数值代入计算可得； （2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原式＝+﹣2×（
）2
＝＝
+﹣2；
﹣1
（2）方程整理，得：3x2﹣5x﹣2＝0， ∵（x﹣2）（3x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或3x+1＝0， 解得x1＝2；
．
17．（9分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置
了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 60 人； （2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 108 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案； （2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可； （3）用360°乘以“B”所占的比例即可； （4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人； 故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示： （3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×故答案为：108；
（4）画树状图如图2所示： 共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个， ∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝
＝．
＝108°，
18．（9分）如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E． （1）求证：OA∥BC；
（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．
【分析】（1）如图，连接OB，由切线的性质可得∠ABO＝90°，由等腰三角形的性质和余角的性质可得∠AEB＝90°，由圆周角的性质可得∠CBD＝∠AEB＝90°，可得结论； （2）由勾股定理可求BD的长，通过证明△ABE～△DCB，可得【解答】证明：（1）如图，连接OB，
，即可求解．
∵PA与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°， ∴∠ABE+∠OBE＝90°，
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠PAO＝∠PDB， ∴∠PAO＝∠OBD， ∴∠ABE+∠PAO＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵CD是直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝∠AEB， ∴OA∥BC；
（2）∵CD＝2OD＝20，BC＝8 ∴BD＝∵OE⊥BD， ∴BE＝DE＝2
， ＝
＝4
，
∵∠BAE＝∠D，∠AEB＝∠CBD＝90° ∴△ABE～△DCB， ∴∴
∴AE＝21．
19．（9分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C． （1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，
≈1.73）．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点C，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解． 【解答】解：延长PQ交直线AB于点C， （1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°； （2）设PC＝x米．
在直角△APC中，∠PAC＝45°， 则AC＝PC＝x米； ∵∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝30°． 在直角△BPC中，BC＝∵AB＝AC﹣BC＝10， ∴x﹣
x＝10，
．
PC＝
x米，
解得：x＝15+5则BC＝（5
+5）米．
BC＝﹣（5+
（5
+5）＝（5+
）米．
在直角△BCQ中，QC＝∴PQ＝PC﹣QC＝15+5
）＝10+≈15.8（米）．
答：树PQ的高度约为15.8米．
20．（9分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线y＝x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值；
（2）求△ACE的面积．
【分析】（1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y＝，求出k；将点C（9，4）代入y＝x+b，求出b；
（2）求出直线y＝x﹣2与x轴和y轴的交点，即可求△AEC的面积； 【解答】解：（1）由已知可得AD＝5， ∵菱形ABCD，
∴B（6，0），C（9，4），
∵点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝16，
将点C（9，4）代入y＝x+b， ∴b＝﹣2； （2）E（0，﹣2），
直线y＝x﹣2与x轴交点为（3，0）， ∴S△AEC＝
2×（2+4）＝6；
21．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青眯，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售价100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【分析】（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）； （2）由题意可得：w＝y（x﹣40），即可求解；
（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝3800+200，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）；
（2）由题意可得：w＝y（x﹣40），
整理得：w＝﹣5x+500＝﹣5x2+700﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴w有最大值，
即当x＝70时，w最大值＝4500；
（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝3800+200 解得：x1＝60，x2＝80，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70， ∴当60≤x≤80时，符合该网店要求； 而为了让顾客得到最大实惠，故x＝60，
∴当销售单价定为60元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 22．（10分）实验探究：
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交于
BD、CE点P．【问题发现】
（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是 相等 （“相等”或“不相等”），请直接写出答案； 【类比探究】
（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长； 【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为 1 ．
【分析】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，根据旋转的性质，可以证明△ABD≌△ACE，即可得BD、CE的关系；
（2）把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，分两种情况在图中作出旋转后的图形，进而求出此时PD的长；
（3）根据旋转的性质即可知旋转过程中线段PD的最小值． 【解答】解：（1）BD、CE的关系是相等．
理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC， ∠BAD＝∠CAE， DA＝EA，
∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE． 故答案为：相等．
（2）如图2，3即为旋转后的图形．
①如图2，当C在AD上时， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC 又∵∠PCD＝∠ACE， ∴△PCD～△ACE， ∴又∵CE＝
＝
＝
CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2
∴解得
， ；
如图3，当C在AD反向延长线上时， 同理△PEB～△ABD ＝∵BD＝
BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2 ∴
＝
+
或＝
． ．
解得PB＝
∴PD＝DB+PB＝答：此时PD的长为（3）如图4所示，
以点A为圆心，AC长为半径画圆，
当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小． 在Rt△ACE中，CE＝在Rt△ADE中，DE＝∵四边形ABPC是正方形， ∴PC＝AB＝3
∴PE＝PC+CE＝3+4＝7 在Rt△DEP中，PD＝∴线段PD的最小值为1．
＝
＝1
＝＝
＝4 ＝5
故答案为：1．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A，C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可；
（2）求出点E坐标，如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），由QA＝QE可列出关于m的方程，解方程即可；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），则QA＝QE可列出关于n的方程，解方程即可；
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，求出∠BAE＝45°，所以可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，设P（t，0），分别利用相似三角形的性质可求出t的值，即可写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c， 得解得，
， ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）联立
，
解得，或，
∴E（4，﹣5），
如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0）， ∵AE为底边， ∴QA＝QE， ∴QA2＝QE2，
即（m+1）2＝52+（m﹣4）2， 解得，m＝4， ∴Q1（4，0）；
当点Q在y轴上时，设Q（0，n）， ∵AE为底边， ∴QA＝QE， ∴QA2＝QE2，
即n2+12＝42+（n+5）2， 解得，n＝﹣4， ∴Q2（0，﹣4）；
综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；
（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵A（﹣1，0），E（4，﹣5）， ∴AH＝EH＝5，AE＝∠BAE＝45°， 又OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝设P（t，0），则BP＝3﹣t， ∵∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况， 当△PBC∽△BAE时，∴
＝
，
，
＝3
，
＝5
，
∴t＝，
∴P1（，0）； 当△PBC∽△EAB时，∴
＝
，
，
∴t＝﹣， ∴P2（﹣，0），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．
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