倒水解谜游戏中的数学问题
广东省珠海市拱北中学 吴 岩
［摘 要］我发现“倒水解谜”游戏与不定方程之间的联系，通过数学方法可以快速实现游戏通关，这种寓教于乐的方法为数学教学带来生机和活力。
［关键词］倒水解谜 电子游戏 寓教于乐
随着科技的发展，电子游戏成了人们休闲娱乐的一种重要方式。如何利用电子游戏整合教育资源成了教育界热议的一个话题。我发现一款名为“倒水解谜”的游戏可以与不定方程的求解结合起来，这将有益于学校的教育和教学。现将相关的知识介绍如下。
一、倒水解谜游戏简介
倒水解谜游戏是一款由国人开发的中文版益智解谜游戏。游戏界面会出现2~3个有固定容积但没有刻度的瓶子，要求玩家将水在瓶子间倒来倒去，如果最后得到的水能符合某个预定的体积，则游戏胜利。游戏所提供的“水”是不限量的，但从水龙头中接水每次必须装满一个瓶子。而瓶子里的“水”除了在瓶子间倒来倒去，也可以直接“倒掉”。要想取得游戏的胜利，胡乱地把水倒来倒去显然不是个好办法，必须经过认真的思考和计算才行，而这恰恰训练了学生的运算能力和逻辑推理能力。
二、倒水解谜游戏举例
例1：倒水解谜“菜鸟”级第4关是这样设置的：共有容积为4升，8升，9升的三个瓶子，要求得到容积为5升的水，并把它倒入容积为8升的瓶子中。游戏画面如图1所示（这并非游戏的真实截图，游戏的真实截图区分度不够，难以辨认。我画了下面这个图代替，下同）。
解法：①将容积为9升的瓶子装满水，并把水倒入8升的瓶子里。这样9升瓶中就剩余1升水，把这1升水倒入4升瓶中。②将8升瓶中的水倒满4升瓶，因为4升瓶本身已经有1升水了，这相当于8升瓶倒掉了3升水，8-3=5，这样8升瓶就只含有5升水。
游戏胜利。更详细的操作参见下表。
例2：倒水解谜“菜鸟”级第29
关是这样设置的：共有容积为20升，17升，9升的三个瓶子，要求得到容积为15升的水，并把它倒入容积为20升的瓶子中。画面如图2所示。
解法：①将20升瓶子接满水，倒入17升瓶子中，把17升水倒掉。把20升瓶子中剩余的3升水倒入17升瓶子中。②再一次将20升瓶子接满水，继续倒入17升瓶子中。因为17升瓶子已经有3升水，这次倒水相当于倒进了14升水，20-14=6，20升瓶子中剩余6升水。③将9升瓶子接满水，并倒入20升瓶子中。6+9=15。这样20升瓶子中就含有水15升了。游戏胜利。更详细的操作参见下表。
三、倒水解谜游戏的数学原理通过计算和逻辑推理可以解决倒水难题，但颇费脑筋。另一种值得推荐的方法就是解方程。以例2为例。设上述三个瓶子的操作分别为x，y，z，得20x+17y+9z=15，这是一个三元一次方程，游戏的目的相当于寻找该不定方程的整数解。该方程的整数解有无数个，只需找到一个特解即可。怎样做呢？通常是先找到通解，再找特解。不过这已经超过了初中学生的能力范围。我采用降低系数法，可以容易地找出特解。具体过程如下。
20x+17y+9z=15 17x+3x +17y+9z=1517（x+y）+3x+9z=15
观察系数17，3和×2+9×1=15，得到x9，由17×0+3
x=+y=0
y=-2，z=1。
z=1
2，即x=2，
检验：20×2+17×（-2）+9×1=15成立。这个特解表示何种含义呢？它表示20升的瓶子要装满2次水，9升
的瓶子装满1次水，这些水往17升的瓶子里倒，水满之后倒掉，连续倒掉两次，最后剩下的水就是15升。这与例2的解法相符。
通过其他降低系数的方法还可以找出其他的解法来。例如：
20x+17y+9z=15 9x+9x+2x+9y+
8y+9z=15
9（2x+y+z）+2x+8y=15观察系数可得 ，2x=-x+y+z=9，2，8，由1x=-9-2+8=15，1有20×（-1）y=11 即 ，从而y=+17×1+9×2z=＝21
15。如何操作呢？17升的瓶子装满1次，9升的瓶子装满2次，把水往20升的瓶子里倒，水满之后倒掉，则剩下的就是15升的水。
用表格表示为：
至此，不难发现倒水解谜游戏包含的数学原理就是求二元一次或者三元一次不定方程的整数解。通过降低系数法可以更容易地发现不定方程的特解。
事实上，例1相当于解不定方程：4x+8y+9z＝5。通过该原理读者甚至可以自行设计出一些新的倒水谜题。
四、一个有趣的结论
通过不断的尝试，我发现，对于只有两个瓶子的游戏，存在一个通解，我称之为
“一个装一个倒”解法。具体的做法是：取定其中一个瓶子负责装水，当该瓶子全空时装水，当该瓶子有水时负责向另一个瓶子注水；而另一个瓶子则只接受第一个瓶子的注水，水满后再把水倒掉。
举一个例子，倒水解谜“菜鸟”级第74关是这样设置的：有容积为9升和7升的瓶子各一个，要求得到容积为6升的水，并把它倒入容积为9升的瓶子中。利用“一个装一个倒”的方法可以这样做：9升的瓶子负责装
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2018.02课程与教学Kechengyujiaoxue
水和向7升的瓶子注水；7升的瓶子被注满水后，马上就把水倒掉。具体的操作如下：
利用“一个装一个倒”方法，该游戏还可以这样解：7升的瓶子负责装水和向9升的瓶子注水；9升的瓶子被注满水后，［摘 要］习作教学是语文教学的重要组成部分，如何在习作教学实践中落实语文核心素养是本文的研究点。本文基于习作教学实践，以习作核心素养中思维的“内在构思”、语言的“建构”、审美的“价值态度”三个层面为立足点，为写作“核心素养”转化搭建桥梁，为写作“核心素养”落地提供平台。
马上就把水倒掉。具体的操作如下：
“一个装一个倒”的方法为什么行得通呢？首先游戏对应的方程9x+7y＝6是一定会存在整数解的（否则游戏就没法玩了）。而这个解（x，y）中x，y的值不可能都为正，也不可能都为负，必为一正一负或一负一正，这体现在操作上就是：一个负责装水，一个负责倒水，所以“一个装一个倒”的方法是行得通的。事实上，上面这两种操作对应的解分别为（3，-3）和（-4，6）。
五、结论的证明
该方法还引出了另外一个数学问题，即对于系数为正整数的方程，A、B互质，若存在一正一负的整数解，则它也至少存在一负一正的另外一组整数解。
证明：不妨设一正一负的整数解为（x0，y0），x0>0>y0，只需构造出一负一正的解即可。设另一组整数解为（x1，y1），则依题意有
x，两式相减得A（x1-x0）+B（y1-y0）=0，令1-x0=Bt，y1-y0=-At，t为负整数，此时x1=x0+Bt，y1=y0-At，只需t=2选xy取绝对值足够大的负整数t，就可使x1<0 1=y0-At=y0-A·(2x0y0)=y0(1-2Ax0)，因为x0为正整数，A为正整数，所以2Ax0>1，1-2Ax0<0，又y0<0，所以y1>0。原题得证。 在游戏中，要找到另一组解就简单得多了。通常令t=-1即可。以上述例子为例。已知（3，-3）是9x+7y=6的一组整数解，求一负一正的另一组解。依题意知9×3+7×(-3)=6，设另一组整数解为(x1，y1)，则9x1+7y1=6，两式相减得，9×(x1-3)+7×(y1+3)=0，令x1-3=-7， y1+3=9，得x1=-4，y1=6，这与上述由操作得出的解（-4，6）相吻合。 六、倒水解谜游戏对数学教学的促进作用 倒水解谜游戏适合小学四年级以上的学生玩耍。不同阶段的学生锻炼的能力不完全相同。小学阶段锻炼动手操作能力，计算能力和逻辑推理能力。初中阶段，高中阶段则还可以锻炼解方程的能力，培养数感。这个小小的数学游戏，不但能让学生能体会到数学的魅力和学习数学的乐趣，还增强了自信，体会了数学的实际应用价值。 倒水解谜游戏的出现也给广大的教育工作者以启迪，教育工作者必须理性地看待电子游戏，探索电子游戏与教育教学之间的联系，让有益的电子游戏给我们的教育带来新的生机和活力。并借此促进课程研究的多元化，给课程改革带来一些新的思路。▍ 2018.0282 ［关键词］小学语文 核心素养 习作教学 课堂实践 语文核心素养包含四个方面：语言建构与运用、思维发展与提升、审美鉴赏与创造、文化传承与理解。习作教学是语文学科的重要内容，如何在习作教学中细化并落实这四大核心素养呢？有学者把这四大素养与小学习作对接，构建了小学习作核心素养体系，共四大类、十二小类，将抽象概念具体化，把学生的习作素养转化为可观测到的条目。过去习作教学中重点在语言的“积累”“运用”、思维的“书写质量”和审美的“情感品位”这几个小类上，对思维的“内在构思”、语言的“建构”、审美的“价值态度”重视不够。我基于习作教学实践，以习作核心素养中思维的“内在构思”、语言的“建构”、审美的“价值态度”三个层面为立足点，为写作“核心素养”转化搭建桥梁，为写作“核心素养”落地提供平台。 一、基于思维核心，拓宽习作内容 思维的“内在构思”重点在于确定习作内容，进行构思立意，并运用联想、想象等思维方式。习作内容的选择依赖于学生的生活，在生活中，儿童才能发现和创造意义；习作内容的选择还有赖于思维的发散，只有开展头脑风暴式的思维碰撞，学生才可以打开思路，多元构思。（一）链接生活，多维立体 习作基于儿童的生活，生活是习作的源头活水。如在阅读了《小木偶奇遇记》后，学生续编了《小木偶的遇见》；学生在看了电影后写下观后感，互相交流自己最喜欢的一部电影；学生参加学校 举行的“环保服饰大赛”，为自己设计的服装进行解说。 在听了王崧舟老师的《作文教学三问》后，我有意识地引导学生充分地觉知常态的生活，从平日的生活中寻找习作点。例如，在执教《场面描写》时，引导学生回忆生活中自己印象深刻的场面，为后续的习作做好铺垫。 （二）发散思维，广开言路 信息传媒的广阔视角让我们处于“自媒体”时代，顺应时代的发展，习作教学也进行了创新的 承载。 我班级开设了微信公众号，以记录学生们的点滴成长。在“心灵摄影师”栏目中展出“最美的瞬间”、“留住秋天”等活动掠影，孩子们为照片配上文字，可谓“一切景语皆情语”，学生在自然而然中获得习作的灵感，丰富习作的话题；班级开展 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容