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抽屉原理的例题

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例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.

证明:把颜两种色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原理二,至少有三个面涂上相同的颜色.

例2:17个科学家中每个人与其余16个人通信,他们通信所讨论的仅有三个问题,而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明:至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。

解:不妨设A是某科学家,他与其余16位讨论仅三个问题,由鸽笼原理知,他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B,C,D,E,F,G,讨论的是甲问题。

若这6位中有两位之间也讨论甲问题,则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题,不妨设这三位是C,D,E,且讨论的是乙问题。

若C,D,E中有两人也讨论乙问题,则结论也就成立了。否则,他们间只讨论丙问题,这样结论也成立。

例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。

分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉:

此抽屉特点:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数可以在同一个抽屉中(符合上述特点).由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34。

例4:某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答 共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。

例题5:任取5个整数,必然能够从中选出三个,使它们的和能够被3整除.

证明:任意给一个整数,它被3除,余数可能为0,1,2,我们把被3除余数为0,1,2的整数各归入类r0,r1,r2.至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况:1°.某一类至少包含三个数;2°.某两类各含两个数,第三类包含一个数.

若是第一种情况,就在至少包含三个数的那一类中任取三数,其和一定能被3整除;若是第二种情况,在三类中各取一个数,其和也能被3整除..综上所述,原命题正确.

例题6:某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,则至少有5人植树的株数相同.

证明:按植树的多少,从50到100株可以构造51个抽屉,则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.

(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为204人,所以,每个抽屉最多有4人,故植树的总株数最多有:

4(50+51+…+100)=4× =15300<15301得出矛盾.因此,至少有5人植树的株数相同. 例7.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:一定有两个运动员积分相同。

证明:设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。 例8.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?

解题关键:利用抽屉原理2。

解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果50÷9 =5……5

由抽屉原理2k=[m/n ]+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。

例9.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人生为__________人。

解:因为任意分成四组,必有一组的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因为任意10人中必有男生,所以女生人数至多有9人。所以女生有9人,男生有55-9=46(人)

系列之二

例11. 某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有______人带苹果。

解析:由题意,不带苹果的乘客不多于一名,但又确实有不带苹果的乘客,所以不带苹果的乘客恰有一名,所以带苹果的就有46人。

例12.

一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了_______堆。

解析:要求把其中两堆合并在一起后,苹果和梨的个数一定是偶数,那么这两堆水果中,苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨,奇偶可能性有4种:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。

例14.

从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1。5倍。

证明:把前25个自然数分成下面6组: 1; ① 2,3; ② 4,5,6; ③

7,8,9,10; ④

11,12,13,14,15,16; ⑤

17,18,19,20,21,22,23, ⑥ 因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1。5倍。

系列之三

例17.某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?

分析与解:将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件,122=3×40+2。应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例18.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。问:一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?

分析与解:将1,2,3,4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9块木块,才能保证其中有3块号码相同的木块。

例19.六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

分析与解:首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有:订甲、订乙、订丙3种情况;

订二种杂志有:订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况; 订三种杂志有:订甲乙丙1种情况。 总共有3+3+1=7(种)订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。

例20.篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的? 分析与解:首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种,两个水果不同有6种:苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。将这10种搭配作为10个“抽屉”。 81÷10=8……1(个)。

根据抽屉原理2,至少有8+1=9(个)小朋友拿的水果相同。

例21.学校开办了语文、数学、美术三个课外,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加的情况完全相同?

分析与解:首先要弄清参加有多少种不同情况。不参加有1种情况,只参加一个有3种情况,参加两个有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1+3+3=7(种)情况。将这7种情况作为7个“抽屉”,根据抽屉原理2,要保证不少于5名同学参加的情况相同,要有学生 7×(5-1)+1=29(名)。

例22. 在1,4,7,10,…,100中任选20个数,其中至少有不同的两对数,其和等于104。

分析:解这道题,可以考虑先将4与100,7与97,49与55……,这些和等于104的两个数组成一组,构成16个抽屉,剩下1和52再构成2个抽屉,这样,即使20个数中取到了1和52,剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉,从而有不同的两组数,其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的数组将多于两组。

解:1,4,7,10,……,100有34个数,将其分成{4,100},{7,97},……,{49,55},{1},{52}共18个抽屉,从这18个抽屉中任取20个数,若取到1和52,则剩下的18个数取自前16个抽屉,至少有4个数取自某两个抽屉中,结论成立;若不全取1和52,则有多于18个数取自前16个抽屉,结论亦成立。 系列之四

例23. 任意5个自然数中,必可找出3个数,使这三个数的和能被3整除。

分析:解这个问题,注意到一个数被3除的余数只有0,1,2三个,可以用余数来构造抽屉。

解:以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉,共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中,若每个抽屉内均有数,则各抽屉取一个数,这三个数的和是3的倍数,结论成立;若至少有一个抽屉内没有数,那么5个数中必有三个数在同一抽屉内,这三个数的和是3的倍数,结论亦成立。

例24. 在边长为1的正方形内,任意放入9个点,证明在以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不超过1/8.

解:分别连结正方形两组对边的中点,将正方形分为四个全等的小正方形,则各个小正方形的面积均为1/4 。把这四个小正方形看作4个抽屉,将9个点随意放入4个抽屉中,据抽屉原理,至少有一个小正方形中有3个点。显然,以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8 。

反思:将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形,从而构造出4个抽屉,是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种,如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形,这4个图形的面积也都是1/4 ,但这样构造抽屉不能证到结论。可见,如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。

例25.班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果 ,根据原理1,书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.

例26.在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。

解:把这条小路分成每段1米长,共100段,每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .

例27(1)把7支铅笔放进3个文具盒中,至少有几支铅笔在同一个文具盒中?

(2)把10支铅笔放进3个文具盒中,至少有几支铅笔在同一个文具盒中?

(3)把14支铅笔放进3个文具盒中,至少有几支铅笔在同一个文具盒中? 分析与解答(1)把7支铅笔放进3个文具盒中,不管怎么放,总有一个文具盒中至少放进3支。我们可以这样想:如果每个文具盒中只放2支,那么最多放进6支铅笔,还剩一支,这一支还要放进其中的一个文具盒中,所以,至少有3支铅笔放在同一个文具盒中。

(2)把10支铅笔放进3个文具盒中,不管怎么放,总有一个文具盒中至少放进4支。我们可以这样想:如果每个文具盒中只放3支,那么最多放进9支铅笔,还剩一支,这一支还要放进其中的一个文具盒中,所以,至少有4支铅笔放在同一个文具盒中。

(3)把14支铅笔放进3个文具盒中,不管怎么放,总有一个文具盒中至少放进5支。我们可以这样想:如果每个文具盒中只放4支,那么最多放进12支铅笔,还剩两支,这两支最差的情况是各自放在其中的一个文具盒中,所以,至少有5支铅笔放在同一个文具盒中。 总结上面的分析可知:

往m个抽屉任意放多于m×a件物品,则一定有一个抽屉中至少放了a+1件物品。这就是“抽屉原理二”。

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