新课标下高中数学反证法的证明 康继军 摘要 新课标下高中数学反证法是一种实用有效的数学证明方法，也体现了一种重要的数学思想，反证法的独特的思维 方法对提高学生创造性分析问题和解决问题的思维素质有重要意义，因此，本文讨论了一些有关反证法的运用问题，供参考 学习。 关键词 新课标，反设，归谬，存真 通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证， 由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知 条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式 进行间接论证，这就是我们通常所税的反证法。 看下面例子： 例、求证：－／２是无理数。 证明：假设√２不是无理数，即－／２是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比。 设 设 ｇ ，且ｐｍ 。ｐ 所以，且，ｑ互素，则ｐ ２ ｇ。所以 ２ｐ：２ 。 。 ① ２ｋ ， 例１把１６００颗花生分给１００只猴子，证明：不管怎样分法， 至少有四只猴子得到的花生一样多。 解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所 需花生最少的情况考虑： ３只猴子各分得０颗花生， ３只猴子各分得１颗花生， ３只猴子各分得２颗花生， 、 、 、 、 、 、 故ｇ 是偶数，ｑ也必然为偶数。设ｑ＝２ｋ，代入①式，则有２ｐ ＝４∥即ｐ ，所以ｐ也为偶数。Ｐ和ｑ都是偶数，它们有公约数２，这与ｐ，ｑ互索相矛盾。 因此，假设不成立，即“－／２是无理数”。 ⑤推出自相矛盾的结果 例 求证：１，２，－／５不可能是一个等差数列中的三项。 证明：假设１，２，４５是公差为ｄ的等差数列的第ｐ，ｑ，ｒ项，则 １ ＝３只猴子各分得３２颗花生， 最后一只猴子分得３３颗花生。 这样，１００只猴子共需花生３ ｘ １６１７（颗） ｇ—Ｐ 。 ２一ｌ （ｇ—ｐ）ｄ，√５—１＝（ｒ－ ，于 √；一１ ，一Ｐ因为ｐ，ｑ，ｒ均为整数，所 以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。 所以，１，２，，／５不可能是一这与题设只有１６００颗花生矛盾，故原命题成立。 通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法 求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？ （一）通常来说，用反证法时有三个步骤： ｉ反设 “反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所 以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意： 个等差数列中的三项。 １首先要弄清题目的条件和结论； ２强调“反设”是对结论的全否定。 例如求证：若ａ，ｂ为自然数，且ａｘ ｂ是奇数，则ａ，ｂ都是奇数。 结论的反面应是：“ａ，ｂ不都是奇数”。而不是“ａ，ｂ都不是奇数”。 ｉｉ归谬 以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出 矛盾。这是反证法的核心。 ｉｉｉ存真 由所得矛盾肯定原命题成立。 （二）反证法的适用范围 什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来说，对于“若 Ａ则Ｂ”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同， 就多数题来税，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使 用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反 证法。 通常来说，下列情况可以考虑使用反证法： （１）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少； （２）命题的结论以否定形式出现时； （３）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时： 由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂， 因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生 （４）命题的结论以“唯一”的形式出现； （５）命题的结论以“无限”的形式出现时； （６）关于存在性命题； 。 （７）某些定理的逆定理． 疑惑，因此，举例税明推出矛盾的主要类型： ①与客观事实矛盾 总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反 例高一有４００名学生，求证：这４００名学生中至少有两名学 面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过 生的生日是相同的。 程的某个局部环节上． 证明：假设４００名学生的生日都不相同，那么一年将有４００天， 以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参 这与客观实际相矛盾，故原命题成立。 考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便 ②与公理，定理矛盾 些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。 例如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平 参考文献 一行。 证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得 出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平 行公理矛盾。 ③与题设矛盾 ｌ “正难则反”好思路峰回路转现通途 作者：朱浩；福建中学数学２００９年第０５期 反证法完全解读 例如前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生 １６１７颗，而题设只有１６００颗花生，矛盾。 ④与反设矛盾 作者：陈素珍中学生数理化ｆ高二版）２０１０年第０２期 ３反证法在中学数学证明题中的应用 作者：朱慧 《教育教学论坛》２０１０年第３５期 （作者单位：甘肃省武山县第三高级中学） 中华少年２０１３．０１ ｔ＂Ｄ ２０１３年总第０２期Ｉ １５３