一元一次方程和二元一次方程组

一元一次方程和二元一次方程组

考点一 等式及方程的有关概念

1．等式及其性质

(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．

2．方程的有关概念

(1)含有未知数的等式叫做方程．

(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．

(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．

考点二 一元一次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元

b一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝a.



2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.

考点三 二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程

(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．

(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．

(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．

2．二元一次方程组

(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

a1x＋b1y＝c1，

(2)一般形式：

a2x＋b2y＝c2

(a1，a2，b1，b2均不为零)．

(3)二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

考点四 二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．

1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或

y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．

2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．

考点五 列方程(组)解应用题

步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．

1．(a－1)x|a|＋5＝0是一元一次方程，那么a＝__________，x＝__________.

x＝1，

2．已知

y＝－1

是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )．

A．1 B．3 C．－3 D．－1

x＋y＝1，

3．方程组

2x－y＝5

的解是( )．

x＝－1A．y＝2

x＝－2B．y＝3

x＝2C．y＝1

x＝2D．

y＝－1

x＋2y＝4，

4．若有方程组

2x＋y＝6，

则x－y的值是( )．

A．2 B．－2 C．1 D．－1

5．2011年5月长江中下游发生严重干旱，受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

一、一元一次方程的解法

2x＋110x＋1

【例1】 解方程：－＝1.

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解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．

二、二元一次方程组的有关概念

x＝2，

【例2】 已知

y＝1

术平方根为( )．

mx＋ny＝8，

是二元一次方程组

nx－my＝1

的解，则2m－n的算

A．4 B．2 C．2 D．±2

方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．

三、二元一次方程组的解法

3x－y＝5，

【例3】 解方程组：

5x＋2y＝23.

①②

解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．

四、列方程(组)解决实际问题

【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg和0.3 kg，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg和3 600 kg，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？

对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．

1．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为( )．

A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．2x＋2(x＋10)＝200 D．x(x＋10)＝200

2．(2011湖南邵阳)请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________.

3．(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是________元．

2x＋3y＝7，4．(2011安徽芜湖)方程组

x－3y＝8

的解是__________．

1．已知x＝2是关于x的方程x－2a＝0的解，则a的值是( )．

1

A．4 B．2 C．1 D． 2

x＝4，

2．方程2x＋3y＝11和下列方程构成的方程组的解是

y＝1

的是( )．

A．3x＋4y＝20 B．4x－7y＝3 C．2x－7y＝1 D．5x－4y＝6

3．巴广高速公路正式通车，从巴中到广元全长约126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是( )．

3A．

45(x＋y)＝12645(x－y)＝ B．4

(x＋y)＝1266

x－y＝6

33(x＋y)＝C．4

(x＋y)＝126 D．412645(x－y)＝6

3



4(x－y)＝6

4．若关于x，y的二元一次方程组

x＋y＝5k，

x－y＝9k

的解，则k的值为( )．

A．－33444 B．4 C．3 D．－3

的解也是二元一次方程2x＋3y＝6

5．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，再打8折出售，售价为480元，则售出这件商品可获利润________元．

6．方程|4x－8|＋x－y－m＝0，当y＞0时，m的取值范围是__________．

x＝2，

7．已知

y＝1

ax＋by＝7，

是二元一次方程组

ax－by＝1

的解，则a－b的值为

__________．