培优导数与零点题型归纳

培优导数与零点题型归纳(总

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导数与函数零点 方法技巧

用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。

（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明 （2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。

题型一 判断，证明函数零点个数 例1设函数

f(x)lnx，。若方程f(x)mx在区间[1,e2]上有唯一实数

解，求实数m的取值范围；

x2练习1设函数f(x)(xa)lnx，g(x)x. 已知曲线yf(x)在点(1，f(1))处

e的切线与直线2xy0平行.

k1)内存(I) 求a的值；(II) 是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；

2

练习2设函数f(x)lnxax，g(x)exax，其中a为实数．若g(x)在

(1,)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

练习3． 设函数f(x)exmx,其中mR. （1）求函数f(x)的最值；

（2）判断，当m1时，函数f(x)在区间(m,2m)内是否存在零点。

x2练习4设函数fxklnx，k0．

2（I）求fx的单调区间和极值；

（II）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点．

3



例2已知函数f(x)x，h(x)x．

（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设aR，解关于x的方程log4[f(x1)]log2h(ax)log2h(4x)；

练习1设函数fxlnx32342312m，m∈R. xx零点的个数； 3(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数gx＝fx

练习2已知函数fxlnexa(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数

gxfxsinx是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a的值；

(II) 若gxt2t1在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x的方程

lnxx22exm的根的个数。 f(x)4

题型二 已知零点个数，求参数范围 例3已知函数f(x)x2xsinxcosx

（1）若曲线yf(x)在点(a,f(a))处与直线yb相切，求a与b的值。 （2）若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。

练习1已知函数fxemx在(1,)上没有零点，求m的取值范围；

x

1

练习2已知函数f（x）＝m（x－1）2－2x＋3＋lnx ，m∈R．当m＞0时，

2若曲线y＝f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

5

练习3已知函数f(x)x11(aR,e为自然对数的底数).若直线xel:ykx1与曲线yf(x)没有公共点,求k的最大值.

例4、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);

（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

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