2008安徽省高考数学文科

2008文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1．若A为全体正实数的集合，B{2,1,1,2}，则下列结论正确的是：D

A．AB{2,1} B．(CRA)B(,0) C．AB(0,) D．(CRA)B{2,1} 2．若AB(2,4),AC(1,3)，则BCB

A．(1,1) B．(1,1) C．(3,7) D．(3,7)

3．已知m，n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是：

A．若,，则∥ B．若m,n，则m∥n C．若m∥，n∥，则m∥n D．若m∥，m∥，则∥ B 【解析】,∥ 或与相交，A不正确； m,nm∥n，B正确；

m∥，n∥m∥n或m与n相交或m与n异面，C不正确； m∥，m∥∥或与相交，D不正确。 故选B。 4．a＜0是方程ax10有一个负根的：

A．必要不充分条件 B．充分必要条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

22B 【解析】 a＜0方程ax10有一个负根；反之，方程ax10有一个负根

2a＜0。故选B

5．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠ABC的大小为： A

253A． B． C． D．

364326．函数f(x)(x1)1,(x0)的反函数为：C

A．fC．f1(x)1(x)1x1,(x1) B．fx1,(x2) D．f1(x)1(x)1x1,(x1) x1,(x2)

118287．(1x)a0a1xa2xa8x，则a0,a1,,a8中奇数的个数为：

A．2 B．3 C．4 D．5 A 【解析】只有a0和a8是奇数，其他都是偶数，故选A。 8．函数ysin(2xA．x63)的图象的对称轴方程可能是：

B．x1212 C．x126 D．x312

D 【解析】∵sin(2故选D。

3)1，∴x是函数ysin(2x)的图象的一条对称轴，

9．设函数f(x)2x1x1,(x0)，则f(x)：

A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 A 【解析】∵x0，∴2x1x1221，∴f(x)有最大值，故选A。

10．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为：

A．(3,3) B．[3,3] C．(33,33) D．[33,33]

D 【解析】显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，即kxy3k0， ∵直线l与曲线(x2)2y21有公共点，∴故选D。

x011．若A为不等式组y0表示的平面区域，则当a

yx2|2k03k |k121，解得33k33，

从2变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分 区域的面积为； A．

34 B．1 C．

74 D．2

C 【解析】当a从2变化到1时，动直线xya 扫过A中的那部分区域如图中的阴影部分，显然，

这部分面积大于1而小于2，故选C。

12．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不便，则不同调整方法的种数为：

26222222A．C8A6 B．C8A3 C．C8A6 D．C8A5

C 【解析】从后排的8人中抽2人有C82种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不便有A62种方法，故共有C82A62种不同调整方法，选C。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上. 13．函数f(x)|x2|1log2(x1)x2的定义域为 。[3,)

14．已知双曲线

ny212n1的离心率为3，则n 。4

5215．在数列{an}中，an4n，a1a2anan2bn，nN*，其中a、b为

常数，则ab 。

1 【解析】 由an4n52知数列{an}是首项为

32公差为4的等差数列。

A

16．已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD， BC⊥CD，若AB6，AC213，AD8，则B、C两点间 的球面距离是 。 4 【解析】由题设易知AD的中点O为球心，且OB = OC = 4，

3O

又在直角△ABC中，BC∴B、C两点间的球面距离为

ACAB4，∴BOC43223，

B

C

D

。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)

344（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[解：（Ⅰ）f(x)cos(2x1212122,]上的值域。

3)2sin(x4)sin(x4)

cos2xcos2x3232)sin2x(sinxcosx)(sinxcosx)sin2xcos2x

sin(2x6所以周期为T

22。

（Ⅱ）∵x[122,]，∴2x6[53,6]，

又∵f(x)sin(2x∴当x36)在区间[123,]上单调递增，在区间[3,2]上单调递减，

时f(x)取得最大值1。

32又∵f(12)f(2)12，

∴当x12时f(x)取得最小值32。

∴函数f(x)在区间[122,]上的值域为[32,1]。

18．（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”。

（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试。第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取一张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；

（Ⅱ）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。 解：（Ⅰ）每次测试中，被测试者从0张卡片中随机抽取的张卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率为求的概率为

310310，因为三位被测试者分别随机抽取1张卡片的事件是相互独立的，因而所

3310(310)327100010。

（Ⅱ）设Ai(i0,1,2,3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片上的拼音带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai)，则

P(A2)C7C3C10312740，P(A2)C333C101120

因而所求的概率为

P(A2A3)P(A2)P(A3)74011201160。

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，

ABC，OA⊥底面ABCD， OA = 2，M为OA的中点。

4（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到面OCD的距离。 解：方法一（综合法） （Ⅰ）∵CD∥AB，

M Q O

∴∠MDC为异面直线AB与MD所成角（或其补角） 作AP⊥CD于点P，连接MP

∵OA⊥底面ABCD，∴CD⊥MP。 ∵ADP4， ∴DP222 ∵MDMAAD22∴cosMDPDPMD12,MDCMDP3

∴AB与MD所成角的大小为

3。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等 连接OP，过点A作AQ⊥OP与点Q， ∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP ∵AQ平面OAP，∴AQCD，

又∵AQOP，∴AQ平面O CD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离。

1232222∵OPODDP22OAADDP22241，APDP

∴AQOAAPOP22232322，∴点B到面OCD的距离为

23。

zO 方法二（向量法）：

作AP⊥CD与点P。如图，分别以AB，AP，AO所在直线为 x,y,z轴建立直角坐标系。

A(0,0,0,),B(1,0,0),P(0,22,0),D(22,22,0)

M A D P O(0,0,2),M(0,0,1)

（Ⅰ）设AB与MD所成角为，

∵AB(1,0,0)，MD(22,22,1)，

B yxC |ABMD|1∴cos，∴，∴AB与MD所成角的大小为。

332|AB||MD|（Ⅱ）OP(0,22,2),OD(2222,,2)

设平面OCD的法向量为n(x,y,z)，则nOP0,nOD0，

2y2x02得，取z22xy2z0222，解得n(0,4,2)。

dd设点B到面OCD的距离为，则为OB在向量n上的投影的绝对值。 |OBn|2∵OB(1,0,2)，∴d

3|n|∴点B到面OCD的距离为

23。

a3x320．（本小题满分12分）已知函数f(x)32x(a1)x1，其中a为实数，且c0。

2（Ⅰ）已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）已知不等式f'(x)x2xa1对任意a(0,)都成立，求实数x的取值范围。 解：（Ⅰ）f'(x)ax23x(a1)，

由于函数f(x)在x1时取得极值，所以f'(1)0，即a3a10，∴a1 （Ⅱ）方法一：由题设知：ax23x(a1)x2xa1对任意a(0,)都成立， 即a(x2)x2x0对任意a(0,)都成立，

22设g(a)a(x2)x2x,(aR)，则对任意aR，g(a)为单调增函数（aR）

22所以，对任意的a(0,)，即x2x0， g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0，∴2x0，故x的取值范围是{x|2x0}。

方法二：由题设知：ax3x(a1)xxa1对任意a(0,)都成立， 即a(x2)x2x0对任意a(0,)都成立，

x2xx22222222于是a对任意a(0,)都成立，即

x2xx2220，∴2x0，

故x的取值范围是{x|2x0}。

21．（本小题满分12分）设数列{an}满足a1a，an1can1c，nN*，其中a、c

为实数，且c0。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设a12，c12，bnn(1an),nN*，求数列{bn}的前n项的和Sn；

（Ⅲ）若0an1对任意nN*成立，证明：0c1。 解：（Ⅰ）方法一：∵an1can1c，

∴当a1时，{an1}是首项为a1，公比为c的等比数列。 ∴an1(a1)cn1，即an(a1)cn11， 当a1时，an1仍满足上式，

∴数列{an}的通项公式为an(a1)cn11，（nN*）。 方法二：由题设得：

n2时，an1c(an11)c(an21)cn1∴an(a1)c1

2n1(a11)(a1)cn1

n1时a1a也满足上式。

n1∴数列{an}的通项公式为an(a1)c1，（nN*）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bnn(1a)c1nn()，

21121nSnb1b2bn2()n()，

222n1112131n1Sn()2()n() 22221Sn1121n1n1()()n()

222221121n11n1n1n∴Sn1()()n()2[1()]n()

222222∴

∴Sn2(2n)()。

2n1（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知an(a1)c1

1n若0(a1)cn111，则0(1a)cn1n11。

∵0a1a1，∴0c11a(nN*)

由cn10对任意的nN*成立，知c0。 下证c1，用反证法。

方法一：假设c1。由函数f(x)cx的函数图像知，当n趋于无穷大时，cn1趋于无穷大。 ∴cn111a不能对nN*恒成立，导致矛盾。

∴c1， ∴0c1。 方法二：假设c1，∵cn1即n1logc11a11a，∴logccn1logc11a。

（nN*）恒成立 （*）

∵a、c为常数，∴（*）对nN*不能恒成立 ∴c1， ∴0c1。

22．（本小题满分14分）已知椭圆C：线方程为x4。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F1(2,0)倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，

422cos2xa22yb221,(ab0)，其相应于焦点F(2,0)的准

求证：|AB|；

（Ⅲ）过点F1(2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E， 求|AB|+|DE|的最小值。

c2222a28xya解：（Ⅰ）由题意得：，∴2，∴椭圆C的方程为1。 484b4c222abc（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，F1(2,0)是椭圆C的左焦点，离心率e设l是椭圆的左准线，则l：x4

作AA1l于A1，BB1l于B1，l于x轴交于点H（如图）， ∵点A在椭圆上， ∴|AF1|=22|AA1|=22(|F1H||AF1|cos)=222A1H 22，

lD A y F1O E B1xB |AF1|cos

第22题图

∴|AF1|=22cos，同理|BF1|=22+cos22+cos ∴|AB|=|AF1|+|BF1|=方法二：当222cos422cos2。

时，记ktan。则AB：yk(x2)

将其代入方程x22y28得(12k2)x28k2x8(k21)0 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是此二次方程的两个根。

8k22∴x1x212k2,x1x228(k1)12k22，

|AB|=(x1x2)(y1y2)2(1k)(x1x2)2222(1k)[(x1x2)4x1x2]

22(1k)[(8k2212k)232(k1)12k2]42(1k)12k2 ①

∵ktan，代入①式得|AB|当2422cos2。 ②

时，|AB|22仍满足②式。

422cos2∴|AB|。

（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得

|AB|422cos2，|DE|422sin2

|AB|+|DE|422cos2422sin2212214sin22

当

4或34时，|AB|+|DE|取得最小值

1623。