Trigonometric
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π/2
-a)=cos(a) -a)=sin(a)
cos(π/2
sin(π/2+a)=cos(a)
cos(π/2+a)=
-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)= -sin(a)
cos(π+a)= -cos(a)
两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos( α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
1 / 261
(word版)三角函数公式大全,文档
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)]
2 / 262
(word版)三角函数公式大全,文档
tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)]
和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sin(a)-sin(b)=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
3 / 263
(word版)三角函数公式大全,文档
sin(a)cos(b)=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
2
cos2a=cos a-sin
2 a=2cos
2
a-1=1-2sin
4 / 264
2a
(word版)三角函数公式大全,文档
半角公式 2
sina=〔1–cos2a〕/2 2
cosa=〔1+cos2a〕/2
tana=[1 –cos2a]/sin2a=sin2a/[1+cos2a]
万能公式
sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)]
cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)]
tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)]
三角函数公式 求助编辑百科名片
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数城。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
目录
公式分类同角三角函数的根本关系平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式坡度公式锐角三角函数公式二倍角公式
三倍角公式 三倍角公式 半角公式 其他四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式
万能公式
5 / 265
(word版)三角函数公式大全,文档
八倍角公式 九倍角公式十倍角公式 N倍角公式 半角公式 三角和公式 和差化积 积化和差 双曲函数 三角函数的诱导公式〔六公式〕 两角和公式
万能公式
其它公式
6 / 266
(word版)三角函数公式大全,文档
内容规律公式分类同角三角函数的根本关系平常针对不同条件的常用的两个公式 一个特殊公式
坡度公式
二倍角公式
锐角三角函数公式
三倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式
其他
四倍角公式五倍角公式六倍角公式七倍角公式八倍角公式九倍角公式十倍角公式N倍角公式半角公式两角和公式三角和公式和差化积积化和差双曲函数三角函数的诱导公式〔六公式〕
万能公式 其它公式内容规律
展开
编辑本段公式分类 同角三角函数的根本关系 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα 平方关系：
平常针对不同条件的常用的两个公式
一个特殊公式
sina+sin〕θ*〔sina-sinθ〕=sin〔a+θ〕*sin〔a-θ〕7 / 267
(word版)三角函数公式大全,文档
证明：〔sina+sin〕θ*〔sina-sinθ〕=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]
=sin〔a+θ〕*sin〔a-θ〕 坡度公式
我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度〔也叫坡比〕，用字母i表示，
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角〕，那么i=h/l=tana. 锐角三角函数公式
正弦：sinα=∠α的对边/∠α的斜边
8 / 268
(word版)三角函数公式大全,文档
余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦
sin2A=2sinA·cosA 余弦 正切
tan2A=〔2tanA〕/〔1-tan^2(A)〕 三倍角公式
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α-α)sin(π/3
9 / 269
(word版)三角函数公式大全,文档
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(-απ/3 tan3a=tanatan(·π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a
10 / 2610
(word版)三角函数公式大全,文档
=4sina(3/4-sina) =4sina[(√3/2)-sina] =4sina(sin60-sina)°
=4sina(sin60+sina)(sin60°-sina)°
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]° =4sinasin(60+a)sin(60°-°a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa[cosa-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30)°
=4cosa(cosa+cos30)(cosa°-cos30)°=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a°-30)/2]*{°-2sin[(a+30
=-4cosasin(a+30)sin(a°-30)°=-4cosasin[90-(60°
°-a)]sin[-90+(60°°+a)]
)/2]sin[(a°-30)/2]}°
=-4cosacos(60-°a)[-cos(60+a)]° =4cosacos(60-°a)cos(60+a)° 上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60-a)tan(60°+a)° 现列出公式如下：
sin2α=2sinαcosαtan2α=2t-tanα〕/(1cos2α=cos-αsinα=2cos-1=1α-2sinα可别轻视这
些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问
题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sin-4sinαα=4sinα·sin(π/3+α-α)sin(π/3
cos3α=4cos-3cosαα=4cosα·cos(π/3+α-α)cos(π/3
tan3α=tan(α-3+tan()*(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana 半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cos
tanπ/3+-tanπ/3 ·
· ( a) (
11 / 2611
(word版)三角函数公式大全,文档
α)
tan
( α/2)=siα/(1+cos-n αcos)=(1α)/sin
α
万能公式
sinα=2tan( cosα=[1-tan( tanα=2tan(
其他
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)++sin[+2απ*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)++cos[+2απ*(n-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(-2πα/3)+sin^2(
α+2π/3)=3/2
α/2)/[1+tan( α/2)] α/2)]/[1+tan^2(
α/2)]
α/2)/[1-tan&s(α/2)]
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
12 / 2612
(word版)三角函数公式大全,文档
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式 sin10A
=
2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A
=
((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A
=
-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
倍角公式
根据棣美弗定理，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形：
13 / 2613
(word版)三角函数公式大全,文档
cos(nθ)+isin(nθ=)(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2+ C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+... 3)*(i s)^3+
C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...
+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-比拟两=>边的实部与虚部
实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(i
s)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 +...
i*
s)^1 +
(虚部)：i*sin(n θ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3+
C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...
14 / 2614
(word版)三角函数公式大全,文档
对所有的自然数n： 1.cos(n：θ)
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成 以c(也就是cosθ)表示。 sin(n：θ)
(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。
(2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉。
(例.c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2) 半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
半角公式 两角和公式
15 / 2615
(word版)三角函数公式大全,文档
两角和公式
cos(α+β)=cosα-cossinβαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcos-cosβαsinβ tan(α+β)=(tanα+tan-tanβ)/(1αtanβ) tan(α-β)=(tan-tanαβ)/(1+tan αtanβ) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和公式
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cos-cosβ·α·cossinγβ·-sinsinα·γcosβ·-sinsinα·γsinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tan-βtan+tanα·γtanβ·tan-tanγα·)/(1tan-tanββ·tan-tanγγ·tanα)
16 / 2616
(word版)三角函数公式大全,文档
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[( θ+φ)/2]-φcos[()/2] θ
和差化积公式
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]-sin[(φ)/2]θcosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(-φ)/2]θcosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(-φ)/2]θtanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(-β)]/2α cosαsinβ=[sin(-αsin(+β)-α)]/2 双曲函数
sha=[e^a-e^(-a)]/2 cha=[e^a+e^(-a)]/2 tha=sinh(a)/cosh(a) 公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin〔2kπ+α〕=sinα cos〔2kπ+α〕=cosα tan〔2kπ+α〕=tanα cot〔2kπ+α〕=cotα 公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与 α的三角函数值之间的关系： sin〔π+α〕=-sinα cos〔π+α〕=-cosα tan〔π+α〕=tanα
17 / 2617
(word版)三角函数公式大全,文档
cot〔π+α〕=cotα 公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin〔-α〕=-sinα cos〔-α〕=cosα tan〔-α〕=-tanα cot〔-α〕=-cotα 公式四：
利用公式二和公式三可以得到 π-α与αsin〔π-α〕=sinα
18 / 2618
的三角函数值之间的关系： (word版)三角函数公式大全,文档
cos〔π-α〕=-cosα tan〔π-α〕=-tanα cot〔π-α〕=-cotα 公式五：
利用公式-和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin〔2π-α〕=-sinα cos〔2π-α〕=cosα tan〔2π-α〕=-tanα cot〔2π-α〕=-cotα 公式六：
/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π/2+〕α=cosα cos〔π/2+〕α=-sinαtan〔π/2+〕α=-cotαcot〔π/2+〕α=-tanαsin〔π/2-α〕=cosα
cos〔π/2-α〕=sinα tan〔π/2-α〕=cotα cot〔π/2-α〕=tanα sin〔3π/2+〕α=-cosα cos〔3π/2+〕α=sinα tan〔3π/2+α〕=-cotα cot〔3π/2+〕α=-tanα sin〔3π/2-α〕=-cosα cos〔3π/2-α〕=-sinα tan〔3π/2-α〕=cotα cot〔3π/2-α〕=tanα (以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=
√{(A+2ABcos(θ-φ)}·sin{ωt+arcsin[(A·sinθ+B·sin/φ√){A^2+B^2+2ABcos(θ-φ)}}
√表示根号,包括{}中的内容 三角函数的诱导公式〔六公式〕 公式一： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
19 / 2619
(word版)三角函数公式大全,文档
α
20 / 2620
公式二：
sin(π-/2α)=cosα cos(π-/2α)=sin 公式三：
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α-)sin=α公式四：
(word版)三角函数公式大全,文档
sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cosα 公式五：
sin(π+α)-sin=α cos(π+α)-cos=α 公式六： tanA=sinA/cosA tan〔π/2+〕α=－cotα tan〔π/2－α〕=cotα tan〔π－α〕=－tanα tan〔π+α〕=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(t an(
α/2))]
cosα=[1-α/2)]
(tan(α/2))]/[1+(tan(
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))] 其它公式
21 / 2621
(word版)三角函数公式大全,文档
三角函数其它公式
(sinα)^2+(cosα)^2=1〔平方和公式〕 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 证明下面两式，只需将一式
,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形，总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证： A+B=π-C
tan(A+B)=tan(-πC)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-πtanC)/(1+tan 整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证
22 / 2622
πtanC)(word版)三角函数公式大全,文档
同可以得,当x+y+z=nπ(n∈Z)，关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)〔sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a) (seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2 数展开式
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-⋯⋯+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+⋯⋯x∈Rcosx=1-x^2/2!+x^4/4!-⋯⋯+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+
arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+ arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+ arctanx=x-x^3/3+x^5/5-⋯⋯(x≤1)
无限公式sinx=x(1-x^2/
π^2)(1-x^2/4
⋯⋯x∈R ⋯⋯(|x|<1) (|x|<1⋯⋯)
π^2)(1-π^2)⋯⋯ x^2/9
cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)⋯⋯ tanx=8x[1/( π-4x^2)+1/(9π^24x^2)+1/(25-π-4x^2)+⋯⋯] secx=4π[1/(π-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+⋯⋯](sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8⋯⋯
(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+⋯⋯=1/πarctanx=x-x^3/3+x^5/5-⋯⋯(x≤1)
和自量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+ ⋯⋯+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+⋯⋯+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2)
tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+⋯⋯+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+⋯⋯+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+⋯⋯+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx
cosx+cos3x+cos5x+⋯⋯+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx) 本段内容律
三角函数看似很多，很复，但只要掌握了三角函数的本及内部律就会三角函数各个公式之有大的系。而掌握三角函数的内部律及本也是学好三角函数的关所在。
23 / 2623
(word版)三角函数公式大全,文档
24 / 2624
三角函数本：
(word版)三角函数公式大全,文档
根据三角函数定义推导公式 根据右图，有
sinθ=y/r;cos θ=x/r;tan θ=y/x;cos θ=x/y
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比方以推导
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例： 推导：
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
A(cosα,sinα),B(cos，sinββ),A'(cos(-βα),sin(-βα)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
[cos(α-β)-1]^2+[sin(-αβ)]^2=(cos-cosαβ)^2+(sin-sinαβ)^2 和差化积及积化和差用复原法结合上面公式可推出〔换 (a+b)/2与(a-b)/2〕 单位圆定义 单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。 位
圆定义确实允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。 根据勾股定理，单位圆的等式是：
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。 逆时针方向的度量是正角，而顺 时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半局部得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sin。θ图象中的三角形
单位圆定义
在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。 但是单
25 / 2625
(word版)三角函数公式大全,文档
确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
26 / 2626
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容