机械优化设计

一、优化方法阐述

1.原理阐述：

黄金分割法是用于一元函数f(x）在给定初始区间[a,b］内搜索极小点α*的一种方法.

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称,是许多优化算

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法的基础,但它只适用于一维区间上的凸函数6,即只在单峰区间内才能进行一维寻优,其收敛效率较低.其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩

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小搜索区间7。具体步骤是：在区间[a,b］内取点：a1 ，a2 把［a，b]分为三段。如果f（a1）〉f（a2），令a=a1，a1=a2,a2=a+r＊(b-a)；如果f(a1）〈f（a2) ,令b=a2，a2=a1，a1=b-r＊（b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1—y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。因为[a，b］为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区［a,b]逐步缩小,直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图所示，

2。基本步骤：

1)在搜索区间[a，b］内对称地插入两个试点a1和a2，计算下式的函数值 a1=b—0.618（b-a）, f1=f（a1） a2=a+0。618（b—a）， f2=f(a2) 2）比较函数值f1与f2，缩短搜索区间

3）判断迭代终止条件。如果满足b—a<=ε时，取函数f（a）的近似极小点a*=（b+a）/2。否则，返回第2步,继续作收缩区间的迭代计算.

3.程序框图：

开始 给定a=-3 b=5ε=0.001 λ←0.618 α1←b-λ(b-a) y1←f(α1) α2←a+λ(b-a) y2←f(α2) y1≧y2 ? a←α1 α1←α2 y1←y2 b←α2 α2←α1 y2←y1 α2←a+λ(b-a) y2←f(α2) α1←b-λ(b-a) y1←f(α1) |(a-b)/b |<ε和 |（y2-y1）/y2 |<ε α*←(a+b)/2 结束

二、优化程序（源代码、界面、结构、操作等）

f=inline（’x^2-10*x+36'，’x'）；

a=2;b=8;epsilon=0。0001; x1=b—0。618＊（b-a）;f1=f(x1); x2=a+0.618＊（b—a)；f2=f(x2）；

x=[］;y=[]； for k=1:25 if f1〈=f2

b=x2；x2=x1；f2=f1;

x1=b—0。618*(b-a)；f1=f(x1)； else

a=x1；x1=x2；f1=f2;

x2=a+0。618*（b-a)；f2=f（x2)； end

temp=0.5*（b+a)；temp_y=f(temp）； x=[x,temp]；y=[y,temp_y];

fprintf(1，'区间中点 x=％3。4f\\n’,x) end

ezplot(f,[2，8］）,hold on plot（x，y，’r＊’);

三、优化问题分析及结果

共 轭 梯 度 法

一、优化方法阐述 1. 原理阐述：

共轭梯度法为求解线性方程组而提出。后来，人们把这种方法用于求解无约束最优

化问题,使之成为一种重要的最优化方法。

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

2。 基本步骤：

1)给定初始点x0,迭代精度和维数n，置迭代次数K=0，按照梯度法进行第一次搜索。

2）计算搜索方向s（k）的修正值，按照公式构造共轭方向s（k+1），进行下一次迭代. 3）当K=n时，置x0=x（n），返回第一步;否则返回第2步。

3. 程序框图：

二、优化程序(源代码、界面、结构、操作等) function ［Xmin，y]=gtidu（x0，e)

x0=［8，9]'； e=0。000001； syms a1 a2 b0；

y=4＊(a1—5）^2+（a2-6)^2； f0=［diff（y,a1）;diff（y,a2)］； k=0；

g0=subs（f0，{a1，a2}，｛x0（1）,x0(2）}）; d0=-g0; x1=sve（x0,d0);

g1=subs(f0，{a1，a2｝，{x1(1），x1(2）}）; ezmesh（’4*（a1-5)^2+（a2—6)^2')； while double（sqrt（dot(g1，g1)))>e b0=dot（g1，g1）/dot(g0,g0）； d1=-g1+b0*d0； x2=sve(x1，d1）；

g2=subs(f0,｛a1，a2},{x2（1),x2(2)｝）; k=k+1；

g0=g1;g1=g2；d0=d1;x1=x2;

end

fprintf（'\\nThe number is ：\\n\\nk=％d\\n\\n',k）； disp('The result is :')； Xmin=x2;

y=subs（y，｛a1,a2}，{Xmin(1），Xmin(2）}）； function xk=sve(x,d） syms a1 a2 s;

y=4*（a1—5)^2+（a2—6)^2； x=x+s＊d；

f=subs（y，｛a1，a2}，｛x（1）,x（2)}）； df=diff（f，s）； s=solve(df）； xk=subs（x，s）;

三、优化问题分析及结果