解三角形(练习题)

[基础训练A组] 一、选择题

1．在△ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（ ） A．1 B．1 C．23 D．23

2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A．sinA B．cosA C．tanA D．

1

tanA

3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（ ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为（ A．2 B．

32 C．3 D．23 5．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（ ）

A．300或600 B．450或600 C．1200或600 D．300或1500

6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．900 B．1200 C．1350 D．1500 二、填空题

1．在Rt△ABC中，C900，则sinAsinB的最大值是_______________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，AB62,C300，则ACBC的最大值是________。

三、解答题

1． 在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

2．在△ABC中，求证：abcosBbac(bcosAa)

3．在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

4．在△ABC中，设ac2b,AC3,求sinB的值。

[综合训练B组] 一、选择题

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（ ） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1

2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（ ） A大于零 B小于零 C等于零 D不能确定 3．在△ABC中，若A2B，则a等于（ ） A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinBD．2bcosB

4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A ( ) A．900B．600C．

1350D．1500

6．在△ABC中，若a7,b8,cosC1314，则最大角的余弦是（ ）A．15 B．16C．17 D．18 7．在△ABC中，若tanABab2ab，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 二、填空题

1．若在△ABC中，A600,b1,SabcABC3,则

sinAsinBsinC=_______。

2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或<）。

）

3．在△ABC中，若sinA2cosBcosC,则tanBtanC_________。 4．在△ABC中，若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。

5．在△ABC中，若a3,b2,c622则A_________。 6．在锐角△ABC中，若a2,b3，则边长c的取值范围是_________。 三、解答题

1． 在△ABC中，A1200,cb,a21,SABC3，求b,c。

2.在△ABC中，若acos2C2ccos2A23b2，则求证：ac2b

[提高训练C组] 一、选择题

1．A为△ABC的内角，则sinAcosA的取值范围是（ ） A．(2,2) B．(2,2) C．(1,2] D．[2,2]

2．在△ABC中，若C900,则三边的比

abc等于（ ） A．2cosABABABAB2 B．2cos2 C．2sin2 D．2sin23．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（ ） A．12 B．

212 C．28 D．63 4．在△ABC中，C900，00A450，则下列各式中正确的是（ ） A．sinAcosA B．sinBcosA C．sinAcosB D．sinBcosB 5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（ ） A．900 B．600 C．1200 D．1500

6．在△ABC中，若tanAtanBa2b2，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

二、填空题

1．在△ABC中，若cos2Acos2Bcos2C1,则△ABC的形状是______________。2．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB, 则x,y,z的大小关系是___________________________。 3

．

在

△ABC

中

，

若

ac2b，则

cAocCsocAscoCos13ssAsiCin______

n。 4．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。5．在△ABC中，若b2ac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

三、解答题

1．在△ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，请判断三角形的形状。

2． 如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,

求△ABC的面积的最大值。

3． 已知△ABC的三边abc且ac2b,AC

6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为

（ ）

D．不定

2 A．4

，求a:b:c

B．2 C．1

7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,

α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 A．

A B

（ ）

4．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB边上

的高为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A．a=1,b=2 ,c=3 C．a=1,b=2,∠A=100° 3、在锐角三角形ABC中，有 A．cosA>sinB且cosB>sinA C．cosA>sinB且cosBB．cosAsinA B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．b=c=1, ∠B=45°

asinsin

sin()B．

asinsin

cos()C．

asincosacossin D．

sin()cos()12 D C （ ）

79、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.

1222

(a+b－c),那么角∠C=______. 43112、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______. （ ）

3211、在ΔABC中，若SΔABC=

13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB； ③sinC=

4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 A．直角三角形 C．等腰三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

（ ）

[基础训练A组]答案 一、选择题

1.C

sinAsinB④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).

cosAcosB5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，

2.A 0A,sinA0

那么角B （ ） A．B>60°

B．B≥60° C．B<60°

D．B ≤60°

3.C cosAsin(4.D 作出图形

btan300,batan30023,c2b44,cb23 a2A)sinB,2A,B都是锐角，则

2AB,AB2,C2

5.D b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA12,A300或1500 6.B 设中间角为，则cos52827225812,600,18006001200为所求 二、填空题 1.

12 sinAsinBsinAcosA112sin2A2

2.1200 cosAb2c2a22bc12A,102 03.62 A150,ab,absinA4sinA4sin15062sinAsinBsinB44 4. 1200 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

令a7k,b8k,c13k cosCa2b2c22ab12,C1200 5. 4

ACsinBBCsinAABsinC,ACBCsinBsinAABsinC,ACBC 2(62)(sinAsinB)4(62)sinABAB2cos24cosAB24,(ACBC)max4

三、解答题

1. 解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0，得A2或B2，所以△ABC是直角三角形。

证明：将cosBa2c2b22ac，cosAb2c2a22.2bc代入右边

a2c2b2b2c2a22a22b2a2 得右边c(2abc2abc)b22abababba左边，∴

abcosBcosAbac(ba) 3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB2,即

2A2B0

∴sinAsin(2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA ∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

4.

解

：

∵

ac2b,∴

sinAsinC2sinB，即

2sAiCnAcCB22os2， 24Bsincos∴sinB1ACBB1322cos324，而022,∴cos24，∴siBn2B12siBn2co3s3423948 [综合训练B组]答案 一、选择题 1.C A6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC12:32:221:3:2 2.A AB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB 3.D sinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB 4.D lgsinAcosBsinClg2,sinAcosBsinC2,sinA2cosBsinC

sin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,

sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B

(abc)(bca)3bc,(bc)2a23bc,

b2c2a23bc,cosAb2c2a22bc12,A600

6.C c2a2b22abcosC9,c3，B为最大角，cosB17 2cosABAB7.D tanABabsinAsinB2sin22absinAsinB，

2sinABcosAB22ABtanABtan2,tanAB20，或tanAB1 tanAB222所以AB或AB2

二、填空题 1.

2393

S113ABC2bcsinA2c23c,a42,a13,1，3 abcsinAsinBsinCasinA1332393 22.



AB2,A2B，即

tAas2iB2nBtcn()saBBoins1B，ntan(AtanBt,1)tanAcatanBn1 2oBs()3. 2

tanBtanCsinBsinCcosBcosC

sinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinAcosBcosC1 2sinAsinA4. 锐角三角形 C为最大角，cosC0,C为锐角

22228435. 600 cosAbca32bc4311 226222(31)22a2b2c213c26．(5,13) a2c2b2,4c29,5c213,5c13 c2b2a2c294三、解答题 1. 解：S1ABC2bcsinA3,bc4,a2b2c22bccosA,bc5，而cb，所以b1,c4 2．证明：∵acos2C2ccos2A23b1cosC2∴sinA2sinC1cosA3sinB22 即

sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB∴

sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB，∴ac2b

[提高训练C组]答案 一、选择题 1.C

sinAcosA2sin(A4),而

0A,4A422sin(A454)1 2.B

absinAcsinBsinCsinAsinB 2sinABABA2cos22cosB2 3.D cosA12,A600,S1ABC2bcsinA63 4.D AB900则sinAcosB,sinBcosA，00A450, sinAcosA，450B900,sinBcosB

5.C a2c2b2bc,b2c2a2bc,cosA12,A1200 6.B

sinAcosBsin2cosAsinBAcosBsinAsin2B,cosAsinB,sinAcosAsinBcosB sinA2sinB2A,2或B2A2B2

二、填空题 1. 直角三角形

12(1cosA21cBos22)AcosB( )1,12(cos2Acos2B)cos2(AB)0, cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3. xyz AB2,A2B,siAncBosB,sinAycozs , cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

4．1 sinAsiCn2sBin,A22sCinACACA2cos24sin2cosAC22cosAC2,cosA2cosC23sinA2sinC2

则13sinAsinC4sin2A2sin2C2 cosAcosCcosAcosC13sinAsinC

(1cosA)(1cosC)14sin2A22sinC22sin2A2sin2C4sin2AC2sin222211 5. [,32) tan2BtanAtanC,tanBtan(AC)tanAtanCtanAtanC1 tanBtan(AC)tanAtanCtan2B1

tan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B3

6．1 b2ac,sin2BsinAsinC,cosA(C)coBsco2sB

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinC cosAcosCsinAsinCcosB1 cos(AC)cosB11

三、解答题

a2b21. 解：sin(AB)a2sinAcosBsin2Aa2b2sin(AB),b2cosAsinBsin2B

cosBsiAncosAsiBn,sinA2siBn2A,2B或2A2B2

∴等腰或直角三角形

2. 解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2, a2a2b2c22ab,cosCb2c222ab2,C450c2R,c2RsinC2R,a2b22R2sinC2ab, C cos

R22aba2b22ab,ab2R2222 S1222R2212absinC4ab422,Smax2R2 另法：S12absinC24ab242RsinA2RsinB 242RsinA2RsinB2R2sinAsinB 2R212[cos(AB)cos(AB)]

2R212[cos(AB)22]2R2

2(122)S21max2R2 此时AB取得等号 3. 解：sinAsinC2sinB,2sinACACACA2cos24sinC2cos2sinB212cosAC224,cosB2144,sinB2sinBB72cos24AC2,ACB,A34B2,C4B2 sinAsin(34B)sin33714cosBcos4sinB4 sinCsin(B)sincosBcossinB714444 a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4. 解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB12,B600 tan(AC)tanAtanC31tanAtanC,331tanAtanC,

tanAtanC23，联合tanAtanC33 得tanA23或tanAA750A450tanC11，即tanC23或C450C750 当A750,C450时，b43sinA4(326),c8(31),a8 当A450,C750时，b43sinA46,c4(31),a8 ∴当A750,B600,C450时，a8,b4(326),c8(31),当A450,B600,C750时，a8,b46,c4(31)。