2012江苏高考数学19题 的几种解法及巧解。

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，

ab3e)和F2(c，0)．已知(1，e，2都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

y （1）求椭圆的离心率；

A （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1 P 与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

B F1 O F2 x 6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证：PF1PF2是定值．

（i）若AF1BF2

（第19题）

这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。本题体现了江苏关于解析几何命题的一贯特点，求定值。这已延续了几年。值得我们思考。

今年解析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。这是否代表今后高考命题的一个方向呢。还是像09年的应用题那样，只是一个特例，这也值得我们思考。

另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。结果却有些出乎意料。其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。

现在就题论题。

首先看看命题组给出参。

解(1)由题设知a2b2c2,e. 由点(1,e)在椭圆上，

1c2得2221 aabca解得b21，于是c2a21，

e23a2133又点在椭圆上，所以221，即41，解得a22 （e,）24a4bax2因此，所求椭圆的方程是y21.

2(2)由(1)知F1(1,0),F2(1,0),又直线AF1与BF2平行,所以可设直线AF1的方程为

x1my,直线BF2的方程为x1my.设A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20

x122m2m22y1122由2得(m2)y12my110,解得y1 2m2x1my11故AF1(x11)y1(my1)y122222(m21)mm21①

m22同理, BF22(m21)mm21② 2m22mm2162(ⅰ)由①②得AF1BF2解得m2， 22m2因为m0，故m2，所以直线AF1的斜率为（ⅱ）因为直线AF1与BF2平行,所以故PF112 m2PBPF1BF2AF1PBBF2,于是 PF1AF1PF1AF1AF1BF1.由点B在椭圆上知BF1BF222

AF1BF2AF1BF2(22BF2).同理PF2(22AF1)

AF1BF2AF1BF2AF1BF2(22BF2)(22AF1)

AF1BF2AF1BF2从而PF1因此PF1PF2222AF1BF2

AF1BF222(m21)m21又由①②知AF1BF2 ,AF1BF22m22m2所以PF1PF222232.因此PF1PF2是定值. 22第一问的难度不大，得分率也很高。难点是在第问的两题。命题组给出的答案中规中矩，

不过中规中矩中含有智慧。例如2问中的I，直线方程设的就比较好，因为过定点，所以设了直线AF1的方程为x1my,直线BF2的方程为x1my，这样就减少

了很多计算量。而且这与下一问结合的很好。

下面我展示一下我在阅卷时，一位数学功底很好的学生的解法。代表了很多完成这题考生的解法。

（1）

3x2y2e，∵椭圆的方程为221(ab0)，(1，都在椭圆上 e)和2ab∴带入椭圆的方程得：

1e2221ab2 322e122bac由e及a2b2c2解得：

aa22，b21，c21

x2y21 ∴椭圆的方程为2（2） （i）

设直线AF1的斜率为k ∵直线AF1与直线BF2平行 ∴直线BF2的斜率也为k

∵左、右焦点的坐标分别为F1(1，0)，F2(1，0)

∴直线AF1的方程为ykx1，直线BF2的方程为ykx1 设Ax1,y1，Bx2,y2，

∵A，B是椭圆上位于x轴上方的两点 ∴y10，y20

x22kk2k22y1222由2得2k1y2kyk20，∴y1 22k1ykx1x22kk2k22y1222由2得2k1y2kyk20，∴y2 22k1ykx1∴AF1x11y10222y121k21k2kk2k222y1y1 2222kkk2k1y221k21k2kk2k222y2y2 k2k2k22k21同理BF2x21y206 22∵AF1BF21k2kk2k221k2kk2k22k22k21k22k211k2k2kk2k22kk2k22222k12k1∴

1k22kk22k21621 26 2解得：k2∵AF1BF2∴AF1BF2 ∴k0 ∴k2 2（ii）

∵直线AF1直线BF2

∴

PBBF2 PF1AF1PBPF1BF2AF1 PF1AF1∴

∵PBPF1BF1 ∴PF1AF1BF1

AF1BF2∵BF1BF222 ∴PF1AF122BF2

AF1BF2同理PF2BF222AF1

AF1BF2PF1PF2 AF1BF222BF222AF1

AF1BF2AF1BF2222AF1BF2

AF1BF2由（i）得

1k2k2121k2kk2k22AF1， 222k2k12k1221k2kk2k221kk12BF2

k22k212k21∴AF1BF2

1k2k2121k2k212 222k12k12k211k222k212

1k2k1 2k12222k21 22k1AF1BF2

1k2k2121k2k212 222k12k122k212k212AF1BF2

AF1BF2

∴

k21222k1 22k212k2112 22∴PF1PF2

222AF1BF2

AF1BF22 22232 2实际上两种方法的核心是一样的，只是设法不同，这样设法的好处是，思路简单。如果基础够好的话，这只方法不失为一种好方法。不过比较而言，繁琐了一些。在时间紧张的高考，也确实是一种拿分的方法。

实际上第二问中的I还有巧妙的解法。极坐标。这是选修的内容。在选修的书上有椭圆的极坐标方程。

a2b2ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： .(p) ccc1ecos

我们可设直线AF1的倾斜角为ө，则AF1=epep，BF2=，由题及

1ecos1ecos22.

66（1）问有，AF1BF2，解得cosө=

23

，从而k我们可以看出，这种解法非常简单。阅卷过程中，也有考生使用这种方法，令人赞叹。而

且给分也多。虽然极坐标是选修内容，单在高考中，还是可以的。这要求我们拓展思维，开阔视野，广泛学习！