1.复平面内复数z所对应的点为A.2【正确答案】C【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义,根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知z故选:C222i,所以z2i,进而zi22i2222,(2,-1),则zi()D.B.10C.222A1,3Bm5,1C3,m12.已知点,,,若AB与AC共线,则AB在AC上的投影向量的坐标为(A.)B.2,22,2C.2,2D.2,2【正确答案】D【分析】求向量AB,AC的坐标,根据向量共线的坐标表示求m,结合投影向量的定义求AB在
AC上的投影向量的坐标.【详解】因为A1,3,Bm5,1,C3,m1,
所以ABm6,2,AC2,m2,因为AB与AC共线,所以m6m2220,
所以m4,AB2,2,AC2,2,ABACAC8ACAC,所以AB在AC上的投影向量为ABABACAC2222所以AB在AC上的投影向量的坐标为2,2.故选:D.
a23.已知ab3,,a2b2,则a,b的夹角为(A.)D.π3B.π6C.2π35π6【正确答案】B【分析】由条件结合数量积的运算性质求b,再由向量夹角公式求a,b的夹角.
【详解】因为a2b2,2所以a2b4,故aa4ab4bb4,
a又ab3,2,
所以b3,
ab33所以cosa,b,又a,b0,π,223abππ所以a,b,即a,b的夹角为,66故选:B.4.某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的,如图所示,若被截正方体石块棱长为60cm,则该石凳的体积为()(单位cm3)A.B.C.D.【正确答案】A【分析】利用割补法,结合几何体的体积公式运算求解.【详解】正方体的体积为606060216000cm3,切去的每个四面体的体积为3013130304500cm3,2所以该石凳的体积为21600084500180000cm3.故选:A.c,B、5.在ABC中,角A、已知sinAcosC2sinCcosA,且a2c22b,C的对边分别是a,b,则b(A.9【正确答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系,解方程求b即可.【详解】设ABC的外接圆半径为R,)B.6C.3D.18因为sinAcosC2sinCcosA,aa2b2c2cc2b2a2所以,2
2R2ab2R2cb所以a2b2c22c22b22a2,所以3a23c2b2,又a2c22b,所以b26b0,所以b6或b0(舍去),故选:B.
6.如图,现有A,B,C三点在同一水平面上的投影分别为A1,B1,C1,且AC11B130,A1B1C160,由C点测得B点的仰角为45,BB1与CC1的差为10,由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面A1B1C1的高度差AA1CC1为()A.15【正确答案】AB.16C.17D.18【分析】过点C作CEBB1,垂足为E,过点B作BFAA1,垂足为F,由条件解三角形求可得结论.【详解】过点C作CEBB1,垂足为E,过点B作BFAA1,垂足为F,则CEC1B1,BFB1A1,设A1B1x,
在△A1B1C1中,由AC11B130,A1B1C160,可得C1A1B190,AF所以B1C12x,因为BB1与CC1的差为10,所以BE10,在CEB中,CEB90o,BE10,BCE45o,所以CE10,故2x10,所以x5,在△AFB中,AFB90,BF5,ABF45o,所以AF5,所以A,C两点到水平面A1B1C1的高度差AA1CC1BEAF15,故选:A.7.在ABC中,BA2,BC4,D为AC的中点,BE则HDCA(A.8【正确答案】CAC于E,H是线段BE上的动点,D.6)B.8C.6
【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一:1HDCAHBBDCAHBCABDCABDCABABCBABC22211BABC4166.221
BABCBABC法二:将H特殊到B,则HDCABDCA22211BABC4166.22故选:C8.在ABC中,已知B30,AC3,点D在边AB上,且BD3,DADC,则A
(A.)π3B.π6C.ππ或39D.ππ或618【正确答案】C【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得CD
3
2cos35π,进而结合三角函2sin2
6
5π
2,6数的性质,由角的范围即可得关系式求解.【详解】设A,∴DCA,BDC2,BCD
0520,,则
12520
6CD33
CD
BDC中,sinπ5π5π
sin22sin2666△ADC中,CD33sin3CDsinsinπ2sin22cos35ππ5π
cossin2sinsin2
5π626,2sin2
6
故CD
32cos又πππ5π5π,,20,,261226
π5ππ5πππ2或2π,则或,262639∴故选:C二、多项选择题:每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.将向量a替换为复数z,以下是向量的性质类比到复数中,其中在复数中结论仍然成立的是()A.由a
a,类比为:zz
B.由aba
b,类比为:z1z2z1z2C.由a2a2
,类比为z2z2D.由aba
b,类比为:z1z2z1z2【正确答案】AB【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可.【详解】设zxyi,x,yR,则zxyi,所以z
x2y2x2y2,zx2y2,A正确;z2
xyi2
x2
y2
2xyi,z2
x2y22x2y2,C错误;设z1abi,z2cdi,所以z1z2acbdadbci,z1z2a2b2c2d2,因为复数与实数不能比较大小,故D错误,z2221z2acbda2b2c2d22ac2bd,z2
1z2a2b2c2d22a2b2c2d2,2
因为2a2b2c2d24a2c2
a2
d
2
b2c2b2d2,2ac2bd24a2c2b2d22abcd,由基本不等式可得a2d2b2c22abcd,当且仅当adbc时等号成立,所以2a2b2c2d22ac2bd,故z2
1z2
2
z
1
z2
,又z1z20,z1z20,所以z1z2z1z2,B正确;故选:AB.10.在ABC中,角A、B、C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是(A.“sin2Asin2B”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件B.“sinAsinB”是“AB”的充要条件C.若A60,a2,则ABC面积的最大值为3)D.若A60,a2,则ABC周长的最大值为6【正确答案】BCD【分析】利用三角函数的性质即可判断A,由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在ABC中由sin2Asin2B可得2A=2B,或2A2Bπ,所以AB,或ABπ,所以ABC为等腰三角形或者为直角三角形,故“sin2Asin2B”是“ABC是等腰2三角形”的既不充分也不必要条件,故A错误,对于B,由正弦定理可得sinAsinBabAB,故“sinAsinB”是“AB”的充要条件,故B正确,对于CD,A60,a2时,则由余弦定理得4=c2+b2-bc,则4+bc=c2+b2侈2bc当且仅当bc时取等号,故bc4,113bcsinA44�22223,故C正确,22b+c)(又4=c2+b2-bc=b+c-3bc�bc-4=3bc�bc-4^3()()()42b+c4,当且仅当bc时取等号,故abc6,故D正确,故选:BCD
11.矩形ABCD中,AB2,AD4,动点P满足APABAD,0,1,0,1,则下列说法正确的是()
A.若1,则DP的最小值为4B.若1,则ABP的面积为定值C.若D.若
1
,则满足PAPB的点P不存在2281
,,则ABP的面积为333【正确答案】BCD【分析】建立平面直角坐标系,由条件确定点P的坐标,依次判断各选项即可.【详解】以点A为原点,AB,AD为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A0,0,B2,0,D0,4,
所以AB2,0,AD0,4,因为APABAD,
所以AP2,4,故点P的坐标为2,4,对于A:因为1,所以点P的坐标为2,4,0,1,
所以DP2,44,2所以DP221612,当且仅当1时取等号,
所以当1时,DP取最小值,最小值为2,A错误;对于B,因为1,所以点P的坐标为2,4,所以点P到边AB的距离为4,所以ABP的面积S对于C,因为1244,B正确;21,所以点P的坐标为2,2,2
所以PA2,2,PB22,2,
若PAPB,则44240,化简得210,
方程210无实数根,即满足PAPB的点P不存在,C正确;对于D,因为
2128,,所以点P的坐标为,,3333188
2,D正确;233)所以ABP的面积为故选:BCD.12.已知圆锥的母线长为6,侧面积为18π,则下列说法正确的是(A.该圆锥的体积为93πC.该圆锥的外接球的表面积为48π
B.该圆锥的内切球的体积为23πD.该圆锥的内接正方体的棱长为12318
【正确答案】AC【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径,由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A:设圆锥底面半径为r,母线为l,则侧面积为则圆锥高为l2r233,故圆锥体积为V对于B:由于l=6=2r,所以ABO60,12πr618πr3,21π323393π,故A正确;3如图,内切球和圆锥侧面和底面分别切于C,O,OOⅱB@COB,故内切球半径r3tan303,故内切球的体积为4π3343π,故B错误;3对于C:外接球的球心为M,半径R,则满足:R33R
2
2
3R23,∴S4π232
2
48π,故C正确;对于D:以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下,设内接正方体的棱长为a,2a33a则由相似可得2,故D错.a9263333故选:AC三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知复数zmmm1imR为纯虚数,则复数2
2
z的虚部为______.1i【正确答案】1##0.52【分析】根据纯虚数的定义可得m0,进而利用复数的除法运算即可化简求解.【详解】zmmm1imR为纯虚数,则m2m=0且m210,故m0,22i1izi1i1z
===则zi,所以,故的虚部为,1i1i1i1i21i2故12π
,AB23,AC2,则BC______.614.ABC中,B【正确答案】2或4【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosB,又B
π
,AB23,AC2,6所以BC26BC80,所以BC2或BC4,满足构成三角形.故2或415.将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转几何体的表面积为______.【正确答案】2
3弧度,则纸片扫过的区域形成的2π31,如下图:6【分析】确定几何体的结构特征,计算各面的面积相加即可.【详解】由已知可得该几何体为底面半径为1,高为1的圆柱的所以该几何体的表面积S22π1故答案为.2
162
12π2π12,632π
3
16.如图所示,ABC中,ABAC5,BC2,以BC的中点O为圆心,BC为直径在三角形的外部作半圆弧BC,点P在半圆弧上运动,设BOP,0,π,则当PAPB取最大值时,cos______.【正确答案】
55【分析】建立直角坐标系,利用单位圆以及向量数量积的坐标运算,结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算,由数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】法一:如图建立平面直角坐标系,0,P得A0,2,B1,cos,sin,
PAPBcos,2sin1cos,sin12sincos21cos∴PAPB15sin15sin15,其中为锐角且551π15,此时cossin.2255法二:PAPBPOOAPOOB1POOBOAPO1OPOBOAOPtan
π
1cos12cos12sincos,以下同上.2
故
5、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知am,2,bm4,m,c3,1,mR.
(1)若a∥b,且方向相反,求实数m的值;
(2)若a与c的夹角为120,求实数m的值.【正确答案】(1)2(2)0【分析】(1)由向量共线的坐标运算即可求解,(2)由数量积的坐标运算以及定义,列方程即可化简求解.【小问1详解】由a与b平行得:mm2m4m2m80,2∴m2m40m2或m4,b2,2当m2时,a2,2,,a与b平行,且方向相反,满足要求;
当m4时,a4,2,b8,4,方向相同,不满足要求;故m2.【小问2详解】
ac3m2m242cos120,即3m2m24,平方得:3m243m4m24m223m0,∴m0或m23,由于3m-2<0,所以m23不符合要求,故舍去;∴m0
18.某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示,该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成,已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm和100cm,棱台的高为40cm,中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm.计算时π取3.14.(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土;(2)为防止该预制件风化腐蚀,需要在其表面涂上一层保护液,若每升保护液大约可以涂7000cm2,请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升?(结果取整数)【正确答案】(1)1940cm3(2)4升【分析】(1)由台体体积公式求正四棱台的体积,再求所挖去的圆柱的体积,相减可得几何体的体积;(2)计算该几何体的表面积,由此计算所需购买保护液的体积.【小问1详解】22
由已知正四棱台的上底面积S1401600,下底面积S210010000,高h40,所以正四棱台的体积V114040210024021002208000;3由已知圆柱的底面半径r10,高h40,2
所以圆柱的体积V2π10404000π40003.1412560;故该预制件的体积V208000125601940cm3故浇制一个这样的预制件大约需要1940cm3混凝土.【小问2详解】作该几何体的截面,过点A作AMCD,垂足为M,如下:由已知DM1004030,AM40,2该正四棱台侧面梯形的高为:30240250,故该预制件的表面积S40210024
40100502π1022π104025600600π,2∴S256006003.1427484cm2,2748470003.94,所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.
19.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量.
(1)若4e1ke22ke13e2,求实数k的值;
(2)若两向量e1e2与e12e2的夹角为钝角,求实数的取值范围.【正确答案】(1)k1或k6;(2),
115,224
【分析】(1)根据向量垂直的性质列方程,利用数量积运算化简方程求k的值;(2)结合向量夹角公式列不等式求的取值范围.【小问1详解】因为4e1ke22ke13e2,1
2
1
2
所以4eke2ke3e0,又e,e是夹角为60的两个单位向量.12所以8k3k2k1211所以k1k60,所以k1或k6;【小问2详解】210,化简得k25k602
因为两向量e1e2与e12e2的夹角为钝角,
所以e1e2e12e20,且向量e1e2与e12e2不共线,1
由e1e2e12e20,可得221110,2所以
5,4t1
,当向量e1e2与e12e2平行时,e1e2te12e2
212t
实数的取值范围是,
115,.224
20.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
b2cABACbBABC0.(1)求角A;(2)若D为BC的中点,且ADa.3,BAC的角平分线交BC于点E,且AE4,求边长32【正确答案】(1)π3(2)27【分析】(1)利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出cosA的值,结合角A的取值范围可得出角A的值;12ABAC,从而得到bc3bc12,再根据(2)根据D为BC的中点,有AD2SABCSABESAEC,从而得到bc
【小问1详解】4
bc,再结合余弦定理即可求得a的值.3
b2cABACbBABC0,由则b2cbccosAbaccosB0,所以b2ccosAacosB0,则由正弦定理得sinB2sinCcosAsinAcosB0,即sinBcosA2sinCcosAsinAcosB0,所以sinAB2sinCcosA0,即sinC2sinCcosA0,又C0,π,则sinC0,所以12cosA0,得cosA又A0,π,所以A【小问2详解】1
,22π.311
ABAC,即ADABAC,由D为BC的中点,则AD2222222所以4ADbc2bccosπ,即12b2c2bcbc3bc,即3bc2
3bc12,由AE是BAC的角平分线,所以BAECAE又SABCSABESAEC,则π,312π1π1πbcsincAEsinbAEsin,2323234bc,3所以bcAEbc,得bc2所以bc4bc12,解得bc6,bc8由余弦定理得abc2bccos2222π2bcbc36828,3故a27.21.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB33,AA12,F为线段A1B1上的动点,设
A1FA1B1,0,1.(1)当
1
时,求三棱锥FACC1的体积;2(2)求AFFC1的最小值,并求取最小值时的值.【正确答案】(1)(2)7,934213【分析】(1)根据锥体体积公式求解即可;(2)将矩形A1B1BA沿A1B1展开,使之与A1B1C1共面,利用余弦定理求AC1,即得AFFC1的最小值,利用正弦定理求sinA1AC1,再求A1F,由此的值.【小问1详解】当
1
时,得出F为A1B1的中点,则2211139VFACC1VFAC1A1VAFC1A1VAB1C1A1332322344【小问2详解】将矩形A1B1BA沿A1B1展开,与A1B1C1共面,如图所示,C1A1A150,∴AC1233222233cos1507,故AFFC1的最小值为7C1AC1A173333sinAAC11△C1A1A中,由正弦定理得:sin150sinAAC1sinAAC14,11112因为A1AC10,30
,2∴cosA1AC11sinA1AC1所以tanA1AC1
13,143313∴A1F2tanA1AC1
63,1363A1F132则.A1B133131
22.已知在ABC中,D为边AB上的点,且ADDB,BC2.3(1)若AB4,sinCDB(2)若2,求边AC的长;3CD2
,设CDB,0,π,试将ABC的面积S表示为的函数,并求函数DB3yS最大值.【正确答案】(1)(2)y221316sin16
,0,π;1312cos5【分析】(1)由条件求DB,根据正弦定理求sinDCB,由此可求cosDBC,再由余弦定理求AC;(2)设DB3t,根据余弦定理用表示t2,结合三角形面积公式用表示ABC的面积,方法一:利用正弦函数的范围求函数yS的最大值,2,结合基本不等式求其最大值.方法二:利用二倍角公式和同角关系化简可得y
25tan21
232tan
【小问1详解】1
由ADDB,AB4,则DB3,3BCDB23
sinDCB1
2sinDCB在△BCD中,sinCDBsinDCB,3∵DCB0,π,∴DCB∴cosDBCsinCDB
π,22;3在ABC中,由余弦定理得.AC【小问2详解】2242224222133CD2
,设DB3t,则CD2t,DB31
∵ADDB,∴ADt,3由在△BCD中,由余弦定理得:44t9t22t3tcost2224,1312cosABC的面积S∴y44116sinSBCD2t3tsin4t2sin,3321312cos16sin,0,π.1312cos16sin16sin12ycos13y(※)1312cos2法一:y
21612ysin13y,其中cos
4169y2,sin
3y169y2,∴sin
13y16212y21169y2162144y216
,当且仅当sin1时等号成立,5∴25y2162,又y0,所以0y所以当sincos函数y512,cossin时,131316sin16取最大值,最大值为1312cos516
.5故函数yS最大值为法二:32sincos16sin22∴y1312cos222213sin13cos12cos12sin22222,又0,π,25sin2cos225tan2122232sincos2232tany
所以25tan
1
2tan232
32225tan12tan2
165,当且仅当25tan
1
15
tantan,即,即取最大值,2tan
2512216.5故函数yS最大值为.
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