维普资讯 http://www.cqvip.com ２００６年４月 护理学报 Ａｐｒｉｌ，２００６ Ｖｏ１．１３ Ｎｏ．４ ９３ 第１３卷第４期 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｎｕｒｓｉｎｇ（Ｃｈｉｎａ） 【继续教育园地】 统计学系列讲座 第３讲抽样误差与参数估计 安胜利 （南方医科大学生物统计学系，广东广州５１０５１５） １ 均数的抽样误差 即使你确知某市健康成年男子的平均身高为１７４ ｃｍ，如 果你随机抽取１份５０人的样本，所得样本均数一般也不会 恰好等于１７４ ｃｍ这个总体均数。这就是由于抽样而引起的 误差——抽样误差。在实际工作中，由于各种条件所限，一般 不可能也没有必要观察总体中的每一个个体，常常是通过抽 样来进行研究的。虽然抽样误差是不可避免的，但其大小是 可以度量的。 例１：某地区正常成年男子的红细胞计数服从正态分布 Ｎ（５．００，０．５Ｏ２），从该总体中随机抽取１００份样本，每份样本含 有１０个个体，结果如下。 表１ 正常成年男子红细胞计数抽样实验结果 由表１可见，各个样本均数 ｉ并不等于相应的总体均数 ５．００，相互问也不完全相同。由数理统计可证明，这些样本均 数服从均数为 （本例为５．００），方差为叮；的正态分布。其中 ｏｌ－的汁算公式为 叮Ｔ＝叮／、／ｎ （１） 本例，ｃｒ＝Ｏ．５０， ：叮／、／ｎ＝０．５０／、／１０＝Ｏ．１６。ｃｒ＝Ｏ．５０表示 正常成年男子红细胞计数的个体变异大小，而ｃｒｘ＝Ｏ．１６表示 ｎ＝１０时各样本均数 ｉ的变异大小，即均数的标准差。后者是 统汁学上义一个重要指标——标准误（Ｓｔａｎｄａｒｄ Ｅｒｒｏｒ，ＳＥ）。 般地，统计上将统计量（如样本均数 、样本率Ｐ等）的标 准差称为标准误，它可用于说明抽样误差的大小。由式（１）可 见，当样本含量ｎ一定时，叮越大，即个体变异越大，则样本均 数的抽样误差叮＿就越大；反之，当叮固定时，ｎ越大，则Ｏ＂Ｔ就 越小。在实际工作中，由于叮通常是未知的，常用样本标准差 Ｓ来代替叮。 ｓＴ＝５／、／ｎ （２） 例２：由上例的第２份样本Ｘ＝５．０３，Ｓ＝０．５２，ｎ＝ｌＯ，计算均 数的标准误。 解：利用式（２）计算，．ｓＴ＝．ｓ／、／ｎ＝Ｏ．５２／、／１０－－０．１６４４。 通过上面的抽样实验，已知从均数为 ，标准差为叮的 正态总体中反复抽取样本含量为ｎ的样本，各样本均数冠也 服从正态分布，其均数为 ，标准差为ＧＴ＝－－Ｇ］、／ｎ。事实上， 由数理统计的中心极限定理可知，无论原始总体为何种分 布，只要它具有总体均数 和标准差叮，当样本含最足够大 时（ｎ≥６０）， 都近似服从均数为 ，标准差为叮＿的正态分布。 这一点可是具有很高的实用价值的。因为在实际工作中，许 多医学测量结果，我们并不知道它的确切分布。有了这条性 质，就可以利用正态分布原理对其特征进行推断了。 ２ ｔ分布 大家对上次讲座的标准化变换还有印象吧。既然在例１ 的抽样实验中，各个 ｉ也服从总体均数为 ，标准差为Ｇ／、／ 的正态分布，不妨对各个 ．也做一下标准化变换 ｘ 一 Ｕ－－———－——．．．－－ ：－－．－．： ．一 （２） Ｇ｜ 同样，由于在实际工作中，叮通常是未知的，我们用各个 样本标准差Ｓ 代替叮的话，则式（２）变为式（３）。 韭 （３） ｓ ｜ ｎ 之所以式（３）左侧用ｔ，是因为这时该式已经不服从标准 正态分布了，而是ｔ分布了，它是英国统计学家Ｇｏｓｓｅｔ于１９０８ 年以笔名“Ｓｔｕｄｅｎｔ”在其发表的论文中提出来的，又称Ｓｔｕｄｅｎｔ 分布。ｔ分布同自由度ｖ有关，就如同正态分布同均数和标准 差有关一样。随着自由度的增大，１分布接近于标准正态分 布，当ｖ＝。。时，ｔ分布的极限分布是标准正态分布，见图１。 Ｏ．５Ｏ ０．４０ Ｏ－３Ｏ Ｏ．２Ｏ Ｏ．１Ｏ Ｏ．ＯＯ ４ —３ —２ —１ ０ １ ２ ３ ４ 图１ 不同自由度下的ｔ分布 不同自由度下ｔ分布的尾部面积大小及其所对应的ｔ界值 在各教科书后的附表中都会给出。例如：ｔ ＝ｔ０，ｌ￣２．９＝２．２６２，即 表示当自由度为９时，ｔ分布双侧尾部面积之和为０．０５的ｔ界值 是２．２６２，ｔ卸９＝１．８３３表示当自由度为９时，ｔ分布一侧尾部面积 为０．０５的ｔ界值是１．８３３。而当自由度为无穷大时，ｔｏｔｗｚ ＝１．９６。 维普资讯 http://www.cqvip.com 护理学报 ２００６，１３（４） 大家其实可以把ｔ界值表的最后一行看成一个简化了的Ｍ界 值表。大家看一下ｔ界值表，会发现当自由度比较大时（例如 ｖ＞６０）。ｔ界值已经比较接近ｆｚ界值了。所以在实际工作中，如 果ｎ比较大，而手边无ｔ界值表可查或无软件的话，可考虑用 １．９６近似代替￡ ３参数估计 可信区间意味着如果做１００次抽样，得到１００份样本的话， 可算得１００个可信区间，理论上平均有９５个包括 ，只有５ 个不包括。实际工作中，为估计总体均数，事实上，我们只做 次抽样，只算得一个可信区间，用以估计 的范围，理论上 ＣＩ的优劣由两个指标来衡量，即准确度和精密度。前者 。 有９５％的可能是正确的（１一 ）％，只有５％的可能发生错误。 由１一 的大小反映，也就是区间包括 的概率；后者由区间 的宽度反映，当然是越窄越好。但在ｎ确定时，两者无法兼 顾，所以不能简单地认为９９％的ＣＩ比９５％的好。在实际工作 统计推断是统计学的主体内容，它不仅仅指我们通常所 说的假设检验（如ｔ检验、方差分析等），还包含参数估计。 ３．１参数估计方法参数估计包含点估计（ｐｏｉｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ） 中，９５％ＣＩ更为常用。可信度确定的情况下。增加ｎ可减小区 和区间估计（ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）。前者就是直接用样本均数作 间宽度。 为总体均数的估计值，由于它没有考虑到抽样误差，我们一 例４：已知某市１００名健康成年男性工人血红蛋白量资 般不用这种方法，除非ｎ很大。后者给出一个区间（常称为可 料服从正态分布，其Ｘ＝１４１．８ ｇ／Ｌ，Ｓ＝１２．２ ｇ／Ｌ。试计算双侧 信区间，ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ，ＣＩ），并同时给出该区间包含总体 ９５％参考值范围及９５％可信区间。 均数的概率。在统计学上，参数估计一般指的就是区间估计， 解：由题意可知，用正态分布法计算双侧９５￣／￣考值范围 见式（４）。 ±１．９６Ｓ＝１４１．８￣１．９６ｘ１２．２＝１１７．９—１６５．７（ Ｌ） ｔ，ａ２Ｓｒ＜ｌＬ＜Ｘ＋ｔｏｎ （４） ９５％可信区间用公式（４）计算，若无法得到准确ｔ值，鉴 或缩写为Ｘ￣ｔ以 。考虑到我们的读者重在应用，这里就不给 于本研究ｎ较大，可考虑用１．９６近似代替ｔ值。标准误Ｓｔ＝Ｓ￣ 出其推导过程了。 、／ ＝１２．２／＼／ ：１．２２．则 例３：２ｏｏ３年，在某地２０岁应征男青年中随机抽取８５ ±ｔ以 １４１．８±１．９６ｘ１．２２＝１３９．４—１４４．２（ ） 人。平均身高为１７１．２ ｅｍ，标准差为５．３ ｃｍ，试估计２００３年 即估计该市９５％成年男性工人血红蛋白量在１１７．９— 当地２０岁应征男青年身高总体均数的９５％可信区间。 １６５．７ ｇ／Ｌ之间；我们有９５％的把握，他们的平均血红蛋白量 解：已知Ｘ＝１７１．２ ｃｍ。Ｓ＝５．３ ｅｍ，ｎ＝８５， 在１３９．４￣１４４．２之间。显然后者范围要窄于前者。 贝０￡ｎｏ５ ．８４ ｔｏ ｏ５ ． ＝１．９６，Ｓｘ＝Ｓ／ｘ／ｎ＝５．３／ｘ／ｓ５＝０．５７ ｃｍ。 需要说明的是。本次讲座只涉及均数方面的内容，当然 由式（４）可得１７１．２￣１．９６ｘ０，５７＝（１７０．１，１７２．３）。 率也有抽样误差和其相应的参数估汁方法。我们将在以后的 即２００３年当地２０岁应征男青年身高总体均数的９５％可信 讲座中提到。 区间为１７０．１—１７２．３ ｃｍ。 【参考文献】 两个总体均数之差的区间估计也是参数估计中的重要 ［１】徐勇勇．医学统计学【Ｍ】．２版．北京：高等教育出版社，２００１． 内容，限于篇幅，感兴趣的读者请参考有关教科书。 【２】方积乾．卫生统计学【Ｍ】．５版．北京：人民卫生出版社，２００４． ３．２可信区间的解释从总体中做随机抽样，据每份样本 【３】孙振球．医学统计学【Ｍ】．２版，北京：人民卫生出版社，２００４． （而不是每个观察单位）都可算得一个可信区间，例如９５％的 ［本文编辑：方玉桂】 ｇ始●※ 十鼯※母 ●鼯母※◇夺母※ 夺母鼯●※◇母鼯● 母●※夺母◇ 母 串啦◇ ※● 积 思 考题 １．均数的标准误—— Ｃ Ｘ￣Ｉ．９６岛Ｄ Ｘ￣２．５８ Ａ是反映个体差异大小的指标 ３．下面——越小，表示用该样本均数估计总体均数的可靠 Ｂ随样本例数增加而减小 性大。 Ｃ可用来估计个体值的参考值范围 Ａ ＣＶ Ｂ ｓ Ｃ Ｄ Ｒ Ｄ是说明均数代表性好坏的指标 ４．一般用 ±Ｍ斯计算总体均数的（１一 ）％可信区间。 ２．当样本含量ｎ很大时，总体均数的９５％可信区间可用—— Ａ对 Ｂ错 近似计算 ５．统计推断的内容包括参数估计和假设检验。 Ａ Ｘ￣Ｉ．９６ Ｓ Ｂ Ｘ￣２．５８ Ｓ Ａ对 Ｂ错 温馨提醒 各位学员： ２００６年第１一第１０期有《继续教育园地》，每期附有练习题，大家每期学习后做好练习并妥善保存。２００６年７月发放上 半年学分，１１月发放全年学分或下半年学分。请已办理学分ＩＣ卡的学员在第６和第１０期答卷的相应位置准确填写ＩＣ卡 卡号．到时学分会登记入您的卡中；对还没有办理学分ＩＣ卡的学员。本刊仍将以挂号倍的方式邮寄学分证。同时提醒大家 留意每期《继续教育园地》相关信息，严格按要求参与学习和答题，并按要求准时寄回答卷，以保证学习效果和继续教育项目 的顺利进行。