行星齿轮优化设计

行星减速器的优化设计

机械最优化设计,就是在给定的载荷或环境条件下,在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的(约束) 范围内,选取设计变量,建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。 设计变量、目标函数和约束条件这三者在设计空间(以设计变量为坐标轴组成的实空间) 的几何表示中构成设计问题。任何一个最优化问题均可归结为如下的描述,即:在满足给定的约束条件(决定n 维空间En 中的可行域D) 下,选取适当的设计变量X ,使其目标函数f ( X) 达到最优值。 其数学表达式(数学模型) 为:设计变量X = [ x1 x 2 ⋯

x n ] T , X ∈D < En 在满足约束条件等式约束hv ( X) = 0 , v = 1 ,2 , ⋯, p 和不等式约束gu ( X) ≤0 , u = 1 ,2 , ⋯, m 的条件下,求目标函数f ( X) =wjfj1qj(X)的最优值, wj 为第j 项指标

的加权因子, f j ( X) 为第j 项指标的目标函数。 现以常用的2K-H 型行星减速器的齿轮机构的最优化设计为例,介绍如下。 1 目标函数的建立

对于行星轮传动,当给定了功率、转速和传动比,各个参数(如传动比的分配、各齿轮的齿数、模数、齿宽、内外啮合角、行星轮个数以及螺旋角等) 的组合是多解的,但这些参数一经选定,最直接得到的综合反映是其结构尺寸的大小,因此,可选用体积最小作为本程序的目标函数。

对于非变位的单斜齿,其目标函数形式为

V (4mn(za22npzg)cos22 式中: mn 为模数,mm ;β为螺旋角。

该式是对单级行星齿轮传动而论的,对于三级行星齿轮传动,则可写成如下形式:

V min =V ( x1) + V ( x2) + V ( x3) 约束方程:

(1) 配齿条件

装配条件为 zazb = 正整数

np同心条件为 zazgcosagzacosz ggb式中:ag为太阳轮- 行星轮副啮合角;gb为行星轮- 内齿圈副啮

合角。 邻接条件为 2asin180≥ dga + mn np式中: a 为中心距,mm ; dga为行星轮顶圆直径,mm ; mn 为法向模

数。

(2) 重合度要求 εa =12 [ z a ( tgαaa - tg a′ag) + z g (tgαga - tgα′a g) ] ≥1. 2 (8) 式中:αaa ,αga分别为太阳轮和行星轮的齿顶压力角。

(3) 等接触强度要求(按滑动率相等确定)

zgtgag1tgaa — zgtgag1tgga = 0

(4) 行星轮个数的

3 ≤ np ≤6 (5) 螺旋角的要求:对于螺旋角β,根据有关单位的加工条件,把螺旋角在15°,18°,23°和25°51′31″这4 档中。 (6) 工艺条件:齿轮最小直径的。 (7) 强度条件:接触与弯曲强度条件为

σH ≤σHP , σF ≤σFP

式中:σH 为计算所得接触应力;σF 为计算所得弯曲应力。 2 求解方法

此问题是一个具有复杂约束条件的非线性规划问题,其中有等式和不等式的约束,有整变量、离散实型及连续变量混合。 根据这些情况,可采用直接求解方法中的复合形法,其程序结构的框图如图1 所示

图1 行星轮系优化设计的程序结构框图

3 常规设计与优化设计的比较

行星传动变速箱具有结构紧凑,体积小、重量轻、传动效率高等特点,近年来在工程机械上得到广泛的应用。 过去人工设计行星轮机构只能从少数的几种方案中进行比较决定。 用这种方法选择的方案和参数,没有明确的评价指标,因此用常规设计方法只能找一个满足要求的可行方案,此方案不一定是最佳方案。 采用优化设计方法,按某种

设计指标直接达到最佳参数设计方案,这无论对减轻变速箱的重量,缩小其体积或提高承载能力、节约材料及降低成本,均有重大的现实意义。应用实例分析:行星齿轮传动装置经优化计算后,结果对比如表1

np za zg z bmmm齿宽/mm h 啮比例 目标*a体积齿 合系数函数变化 圈值v(x) 量/% 直角k0 / 径减少量/% 原始设计 标准齿 4 22 20 62 6 3 22 20 62 6 39.30.4 8 20 2.818 20 2.818 20 2.846 1873.-21.15 80 6.50 6.50 7.50 4 28 26 80 5 35.00.0 8 20 2.857 2396. 51 30.10.8 8 1767.-26.75 24 5 26 24 74 5 27.60.2 8 1914.-20.56 10

3 22 20 72 6 高度变位齿 6 48 150 4 5 26 24 74 5 4 26 24 74 5 32.40.6 8 20 2.818 20 2.846 20 2.846 20 2.777 15.-35. 50 7.00 7.50 7.75 28.50.4 8 1670.-30.49 30 25.00.0 8 1745.-27.55 20 20.00.0 8 4207.75.523 0 表 1 优化前后的对比数据

由表1的数据分析,可得如下结论:

(1) 经优化设计后,体积比原设计有显著的减少。 (2) 采用优化设计程序来计算,大大缩短了设计周期。

(3) 在输出结果中,还给出了各方案的应力水平,这更便于设计者进行分析比较,选择满意的方案,有利于提高设计质量。

(4) 当然, 体积最小并不是机械产品最理想的唯一优化目标。 还有很多其他指标来衡量机械产品的优劣,例如:材料消耗少、生产周期短、制造成本低等,所以还需要进一步的研究。

心得体会

优化方法是20世纪60年代随着计算机的应用而迅速发展起来，较早应用于机械工程等领域的设计。采用优化方法，既可以使方案在

规定的设计要求下达到某些优化的结果，又不必耗费过多的计算工作量，因而得到广泛的重视，其应用也越来越广。据统计，目前传统优化方法仍有较为广泛的应用，具有不可忽视的作用。在机械工程领域，传统优化方法主要应用于机构或机械零部件的优化设计，在结构、形状、性能和可靠性等方面进行优化，改善了机械产品的质量，减轻了重量，提高了性能。在优化设计中，随机方向法、复合形法、增广拉格朗日乘子法、惩罚函数法等应用都十分广泛。

本文采用的是直接求解方法中的复合形法对行星减速器进行优化设计，因为该问题是一个具有复杂约束条件的非线性规划问题,其中有等式和不等式的约束,有整变量、离散实型及连续变量混合，这些特点都适用于复合形法。通过优化设计达到了减轻变速箱的重量,缩小其体积或提高承载能力、节约材料及降低成本的目的。

随着工程问题的日益扩大，优化要面对的问题的规模和复杂程度的逐渐增大，传统优化方法解决这些问题时，就显露出了其局限性与缺陷，于是就出现了在分析现有算法的基础上，针对方法的不足或应用问题而做出的改进。例如针对广泛采用的基本复合形法存在着搜索不完全、映射系数取值不灵活、复形多样性保持差等缺陷，提出了相应的改进措施，如动态全域映射收缩算子以及最大冗余点映射准则，形成了一类新型的复合形法，大大提高了寻优成功率。利用改进的离散变量惩罚函数法解决离散变量的工程问题，将整个优化过程分为连续变量惩罚函数法的初始优化、带离散变量的惩罚函数法优化和网格法检验三步进行，消除了优化变量初始值对优化结果的影响，使优化

结果更为准确合理。根据提出的连续变量及非均匀离散变量的均匀离散化处理方法，并借鉴离散变量的搜索优化法，在连续变量的复合形法基础上，探讨了一种求解有约束非线性混合离散变量的优化设计问题的方法——混合离散复合形法，该算法可用于工程结构优化设计中，其结果不需圆整，解题可靠性和效率大大提高。20世纪80年代初期，应运而生了一系列现代优化计算方法，如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等，它们的共性是基于客观世界中的一些自然现象，通过与组合最优化求解进行类比，找出它们的一些共性，建立相应的算法。合理快捷准确的算法是机械优化设计的核心，因此我们要在现有算法的基础上不断的努力和探索。