数学花园漫游记之五补充答案

1.已知函数f(x)xxa2x.若存在a4,4，使得关于x的方程f(x)tf(a)有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是 （ A ）

（A） 1, （B） 1, （C） , （D）1, 2.已知函数yf(x),xN*,yN*，满足：

①对任意x1,x2N*,x1x2,都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)；②对任意nN都有f[f(n)]（2）求3n.（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；

**9832938254f(1)f(6)f(28)；

解：（1）由①知，对任意a,bN*,ab，都有(ab)(f(a)f(b))0，

由于ab0，从而f(a)f(b)，所以函数f(x)为N上的单调增函数. 3分 （2）令f(1)a，则a…1，显然a1，否则f(f(1))f(1)1，与f(f(1))3矛盾.

从而a1，而由f(f(1))3,即得f(a)3. 又由（I）知f(a)f(1)a，即a3. 于是得1a3，又aN5分

进而由f(a)3知，f(2)3. 于7分

是

**

，从而

a2，即f(1)2.

f(3)f(f(2))326,

f(6)f(f(3))339,

f(9)f(f(6))3618,f(18)f(f(9))3927,

f(27)f(f(18))31854,f(54)f(f(27))32781, 由于5427815427,

而且由（I）知，函数f(x)为单调增函数，因此f(28)54155.

从而f(1)f(6)f(28)295566.

3．设f(x)loga(x2a)loga(x3a)，其中a0且a1．若在区间[a3,a4]上f(x)1恒成立，求a的取值范围．

a6)解 f(x)loagx(ax522a5a2a2lxog[()．

24]3(a2)0，2调

递增

.

由5ax2a0,3得x3a，由题意知a33a，故a，从而(a3)22x3a0,数

故函

5ag(x)x(22a2)在区间[a3,a4]4上单

------------------------------------------5分

（1）若0a1，则f(x)在区间[a3,a4]上单调递减，所以f(x)在区间[a3,a4]上

的最大值为f(a3)loga(2a29a9)．

在区间[a3,a4]上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a29a9)1成立，从而2a29a9a，解得a结

5757或a． 22合

0a10a1． ------------------------------------------10分

得

（2）若1a3，则f(x)在区间[a3,a4]上单调递增，所以f(x)在区间[a3,a4]2上的最大值为f(a4)loga(2a212a16).

在区间[a3,a4]上不等式f(x)1恒成立，等价于不等式loga(2a212a16)1成立，从而2a212a16a，即2a213a160，解得

易

知

13411341． a4413413，所以42合． ------------------------------------------15分

不符

综上可知：a的取值范围为

(0,1)． ------------------------------------------20分