课程教育研究 Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ２０１４年１月 下旬刊 教学・信息 该题以饼状图为表现形式，考察对古代雅典民主的理解。 根据图示可知少于半数的居民有公民权，排除Ａ选项。外邦人 占少数不享有最广泛的民主，排除Ｄ选项。ｃ选项图中无法体 现。根据图中数据的多少可以读出雅典民主的实质是建立在奴 隶制基础上的少数人的民主，其民主的对象是除妇女、儿童、奴 隶之外的自由民。所以正确答案Ｂ 做历史数据统计表（图）的试题还要注意各种细节，比如注 意看解释说明，有利于把握图表主题；看图列说明。有利于帮助 我们读懂图表等等。总之，只要学会对典型历史试题进行归纳 总结，善于从中总结做题的方法，学会从单纯的知识记忆型学 习向方法与能力结合型学习的转变，各位考生在解答历史数据 统计表（图）的试题定会受益匪浅。 叠加法在求解数列通项中的应用 毕淑玲 康瑞铁ｚ （１．吉林省敦化市实验中学 １３３７００ ２．吉林省敦化市职业中专 １３３７００） 【摘要】求数列通项公式的方法有很多种，其中”叠加法”由于其应用的广泛性，使得其地位在求解数列通项公式问题中的地位尤 为突出。本文将举例说明叠加法在求数列通项公式中的应用与推广，以帮助学生掌握这一重要的解题方法。 【关键词】叠加法递推公式通项公式 【中图分类号】Ｇ６３３．６ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５—３Ｏ８９（２０１４）１—０１９１一Ｏ２ ２．３． ＝ｐａｔ１＋ｑｎ＋ｒ（其中ｐ，ｑ，ｒ均为常数，ｐ≠ｏ）型 求数列通项公式的方法有很多种．其中”叠加法”由于其应 用的广泛性，使得其地位在求解数列通项公式问题中的地位尤 为突出。本文将举例说明叠加法在求数列通项公式中的应用与 推广，以帮助学生掌握这一重要的解题方法。 １． 叠加法数学模型： 当数列｛ａｎ）的递推公式为ａｎ ＝ａｎ＋ｆ（ｎ）时，可将原递推公式 转化为 广ａｎ＝㈣，再利用累加法求解。 ［例１】已知数列｛ａｎ｝满足ａｌ＝２， ＝ａｒＩ＋３ ＋２． 解：。．‘ １一ａ￣＝３ｎ＋２， ’．．【方法１将递推公式各项均除以ｐ 转化为 ａｔａ＋ ｌ—ａｎ ｐｎｎ＋ｒｑ一，再利用叠加法求解． ｐ［例４］已知数列｛ａｎ｝中，ａ１：４， ＝３ ２ｎ＋１，求ａｎ． ‘ ．３ａｎ＋２ｎ＋１’．－． 一争。等 －・・・ａｎ—ａ ３ｎ一１（ｎ≥２）， 争 （争一 ）＋（争一争）＋．．．＋（争一｝）＋｝ 州３・．．ａｎ＝（ａｎ—ａ ＋（ａ，Ｈ—ａ札一２）＋…＋（ａ２－ａ０＋ａｌ＝里ｉ （ｎ≥２）．（经 ｎ＝丁２ｎ－１＋－２３＋ ＋３ ＋ ４＝２３一 Ｌ（ｎ≥２） ‘检验当ｎ＝ｌ时也满足）．・． ÷ｎ２＋ ． ２．能转化为叠加法求通项的几类常见模型 ．．ａｎ＝２・３￣－ｎ－１（ｎ＝ｌ时也满足） ２．４．ａ ＝ｐ靠 ＞０， ＞Ｏ）型 【５．ｒ法】将递推公式两边取对数得， ｑ ２．１： ．１＝ｐａｎ＋ｑ（其中ｐ，ｑ均为常数，ｐ≠Ｏ）型 将各项均除以 转化为 者 一 ： ，再利用叠 加法．ｇ／￣－． 【方法】将递推公式各项均除以ｐ 转化为 ａｎ＋ｌ一 ．ｐｎ 再利用叠加法求解． 【例５】已知数列｛ａｌ１）中，ａ ＝１， ＝３ａ２ｎ（ａ＞ｏ），求数列｛ａｎ｝Ｃａ￣ 项公式． ［例２］已知数列｛ａｎ）中ａ１＝１， ＝３ ２，求 ． 解：‘．’ ＝３ａ￣＋２ ． ａｎ＋ｌ一著＝寺， ・［解］对 ＝３ａ２ｎ的两边取对数， ・・争 （争一 ）＋（争一劳）＋．．‘＋（争一｝）＋｝ 得ｌｇ ａｎ＋１＝２ｌｇ ａ．＋ｌｇ３．即 一 ：簪 －（＿ｌｇａｎ一一 ）＋（ｆ ｌｇ ａ，＿￣一 ）＋．．．＋（ 一 ＝ ３＋砉＋“３ ．．・＋ ３＋ ３ ３一（、 … ３）“（ｎ≥２） ２ ａ￣＝２ｘ３ｎ－ｌ＿１．（ｎ＝ｌ时也满足） ２．２．ａｎ＋１＝ｐａ．＋ｑ％Ｒ－中ｐ，ｑ均为常数，ｐ≠Ｏ）型 ‘．．， ）＋ ＝， ０等＋ｎ 劳＋９ｎ＋ｌ ．．－＋ ［９２ ９Ｌ争一 ／，（１）￣１ｇ３’ １ｇａＩ１＝（２ｎ－ｌｍ１）１ｇ３（ｎ≥２） ａｒ ３ Ｌｌ（ｎ＝ｌ时也满足） ２．５．ａｎ＋１＝ｆ（ｎ） ｇ㈤型 ’．．’【方法】将递推公式各项均除以 ”转化为 ＿ａｐ＋ ｉ 一 ，．．再利用叠加法求解－ 【方法】设ｆ¨ｎ） ｎ茄ｌ ｎ ，Ｊ 则ａｎ＋１＝ ｎｍ） ｇ（ｎ）将递推公式转 ［例３］已知数列｛ａｎ）中，ａ ＝ ， １＝ 一ａｎ＋（｝） ，求ａｎ． 换为：丽ａｒｒ＋ｌ 南＋ｉ １Ｌ再利用叠加法求解 ［例６】已知数列｛ｒｍ｝满足ｎ １＝（ｎ＋２）ａ札＋ｎ且ａｌ＝１，求ａｎ． 解： ．’ａｎ＋・ ｝ａｎ＋（争） ・．．［解］由ｎ ＝（ｎ＋２） ｎ得 令 则 １， ３ ． 一３“．ａｎ＝（ ） ３ ．ａｎ＝（３ ．ａｎ一３，－ａ．ａ￣－１）＋（３ｎ－Ｉ．ａｎ．ｑ一３ｎ－２．ａｎ ＋…＋（３２．ａ２—３ａ）＋ ｈ（ｎ） （‘ｈ㈣ｎ－１）‘丽ｈ（ｎ－２）… ｈ・ ‘ ２ ＿ｈ（１） ｆ【１） — ＝（手） ＋（手） ｌ＋＿．．＋（ ） ＋３． ５＝２（手） 一２（ｎ≥２） ａｒｌ：３（｝） ２（｝）“．（ｎ １时也满足） ・．＝ ｎ＋ｌｎ一１ ｎ－２ ｎ－３ ・ … ２ １ ｈ（１） …３— ．４－ｆ（１）－＇２￣ｈ（ｎ）＝ １）ｎ，所以 １ ・１９１・ 教学・信息 即 一 ： 课程教育研究 一 ，Ｃｏｕｒｓｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅｉｉｒｃｈ Ｑ ！ 旦 ！ ’ｈ（ｎ＋１） ｈ（ｎ）ｈ（ｎ＋１） １ 于是 恭 一面ａｌｎ＿１）ｎ＝ （ｎ＋２）（ｎ＋１） （ｎ＋１Ｌ）＝『一 …一一— ￡Ｌ１＋ｆ— 廷Ｌ一——— —一１＋…＋ ｎ 。（ｎ＋１）ｎ ｎ（ｎ一１） ｎ（ｎ一１） （ｎ一１）ｎ～２） ［例７１已知： ＋ａｎ＝＝４ｎ一３，且ａｌ＝１，求ａｎ． 【解】由ａ￣＋ａｎ＝４ｎ一３得（～１）“（ａ ，＋ａ０：（一１） （４ｎ一３） （－１）扩 ａｎ＝ａ１一（ａ１＋ａ２）＋（ａ２＋ａ３）一（ａ３＋ａ４）＋…＋（一１）廿＿ （ａ １＋ａ ＝１一（４．１—３）＋（４．２—３）一（４．３—３）＋・＿。＋（一１）ｎ 【４．（ｎ一１）一３Ｊ 当ｎ为奇数时有： ａｎ＝１＋４（一１＋２）＋４（一３＋４）＋．．．＋４ 一２）＋ｎ一１）】＝１＋４． ａ２ａ．， １＋争 ２ｎ－１ （ 一 以 ＝ｎ 一 ）…（｝一 １）＋ １ 者，所 ＝１＋４・—堕 当ｎ为偶数时有： 一ａｎ＝１＋４（一１＋２）＋４（一３＋４）＋・・‘＋４【一ｎ一３）＋（ｎ一２）１一【４（ｎ一１）一３】 一（４ｎ一７）＝一２ｎ＋４ ２．６．ａｒａ１＋ａｒＩ＝ｆ（ｎ）型 所以ａ￣＝２ｎ一４ 【方法】将递推公式两边同乘以（一１）”使其转化为：（一１） ＋ ａｒ）＝（一１）￣ｎ）４ｇｌ＇ｌ用叠加法求解 综上ａｎ＝｛ ：二 譬 袭萋：： 浅谈数学解题中的常用方法——转化 鲍健慧 （西宁市城西区胜利路小学青海西宁８１０００１） 【中图分类号】Ｇ６２３．５ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５—３０８９（２０１４）１—０１９２—０ｌ 知、化繁为简。例如平行四边形、三角形、梯形等图形的面积公 式推导，它们均是在学生认识了这些图形，掌握了长方形面积 的计算方法之后安排的，是整个小学阶段平面图形面积计算的 个重点，也是整个小学阶段中能较明显体现转化思想的内容 之一。教学这些内容，一般是将要学习的图形转化成已经学会 的图形，在引导学生比较之后得出要学习图形的面积计算方 法。随着教学的步步深入，转化思想也渐渐浸入学生们的头脑 中。 例如平行四边形面积推导．我通过创设情境使学生产生迫 切要求出平行四边形面积的需要时，可以将”怎样计算平行四 一莫斯科大学教授Ｃ．Ａ．雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克 参赛者发表《什么叫解题》的演讲时阐述道：”解题就是把要解 题转化为已经解过的题”。这句话提出了数学教学中常用的解 题方法一一转化。转化是指把未知的，陌生的，复杂的问题，通过 观察分析、类比联想、演绎归纳等思维过程转化为已有已知的， 熟悉的，简单问题，从而使问题顺利解决的一种思维方式。可以 说每道数学题的解题过程都是转化的过程 转化既是一种思想．又是一种策略，更是一种方法，转化的 思想方法应渗透到相应的数学教学和解题过程中。当我们遇到 道较难解决的数学题时，可以不去直接解决原题，而是运用 转化的方法．将原题转化为一道已经解决的或比较容易解决的 数学题，进而使原题得以解决。在数学教学中，解题过程恰恰是 个不断转化的过程，就是在转化思想的指导下．通过细致的 观察、合理联想、缜密推理、提取相关知识、调用合适的方法加 Ｘ－处理信息、逐步缩小题设与结论间差异的过程。 在小学的数学教材中，特别重视转化思想的渗透．特别突 出了转化思想在解决实际问题中的应用。主要通过让学生感 知、领悟、掌握、应用的过程．使学生初步树立转化意识，达到主 动应用的目标，这个过程是潜移默化的．长期的、逐步累积的。 在日常教学中我们不应只以学生能够解决教材里的各个问题 为目的，同时应渗透转化的数学思想方法．让学生通过对转化 一一边形的面积？”直接抛向学生，让学生独立自由地思考。这个完 全陌生的问题，需要学生调动所有的相关知识及经验储备，寻 找可能的方法．解决问题。当学生将没有学过的平行四边形的 面积计算转化成已经学过的长方形的面积的时候，要让学生明 确两个方面：一是在转化的过程，把平行四边形剪一剪、拼一 拼．最后得到的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的。 在这个前提之下，长方形的长就是平行四边形的底， 毫平 行四边形的高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。二赴在 转化完成之后应提醒学生反思”为什么要转化成长方形的”。因 为长方形的面积我们先前已经会计算了，所以，将不会的生疏 的知识转化成了已经会了的、可以解决的知识，从而解决了新 问题。在此过程中转化的思想也就随之潜入学生的心中。其他 图形的教学亦是如此 需要注意的是转化应该成为学生在解决 问题过程中的内在的迫切需要．而不应该是教师提出的要求． 因为这样，学生的操作、思考都将处于被动的状态，对转化的理 、策略的体验与应用具有初步的转化意识和能力，学生在掌握表 层知识的同时领悟到深层知识，使所学知识成为一个相互联 系、组织缜密的知识结构，有效地提高学生思维的灵活性，提高 自己获取知识和解决实际问题的能力。例如在教学”异分母分 数加减法”一课时，我是这样设计的：首先在情境中出示有关异 解则可能浮于表面 分母分数加减法的问题，引入异分母分数加减法的学习，再让 运用转化策略解决问题还需要具体的方法进行操作 学生 学生思考，利用同分母分数加减法的方法类推出异分母分数加 在平时学习数学的过程中，经常无意识的使用转化策略：在探 减法的计算方法，尝试计算异分母分数加法，然后小组交流异 索解决问题时，根据数学知识发生形成的过程，设计具有内在 分母分数加法的方法，最后归纳整理，渗透转化思想。在转化完 联系和一定坡度的数学问题，并引导学生通过自己的积极思 成之后及时的反思，是对转化思想的进一步巩固与提升．再次 维，拾级而上，这些是感悟策略的富贵资源。事实证明学生容易 深刻理解 体验出转化策略的意义和价值 小学数学知识很多都是以旧知识为基础．在旧知识的基础 在数学课堂教学的新形势下，我认为转化思想是一种重要 上不断发展、变化、提升，从而形成新知识。主要表现为数学的 的数学思想方法，如果能够正确地运用转化思想必将有效的提 某一形式向另一形式转变，通过不断的转化。把不熟悉、不规 高数学教学，达到事半功倍的效果。对于培养学生数学学习能 范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至简单的问题，化未知为已 力，提高学生素质，打造新型人才也具有十分重要的意义 ・１９２．