第6节 非正弦周期电流电路分析

主要内容

1. 信号的基本概念和分类。 2. 信号的基本运算。 3. 常用非正弦周期信号。

4. 非正弦周期信号的傅里叶级数分解。 5. 周期信号的频谱。

6. 非正弦周期电流电路分析。 6.1信号

6.1.1 信号的基本概念

宇宙万物都处在不停的运动中，物质的一切运动或状态的变化，从广义上讲都是信号（Signal），即信号是物质运动的表现形式。例如，钟鼓楼的报时钟声和轮船的汽笛声是声信号；烽火台的烽火和交通路口的红绿灯信号是光信号；电路中的电流和无线电基站发射的电磁波是电信号。在社会活动和日常生活中，人们总要使用语言、文字、数据、图像等多种媒体来传递消息（Message），消息是这些语言、文字、数据、图像等信号所代表的具体内容。通信的目的在于通过各种消息的传递，使人们获取不同的信息（Information），信息就是指具有新内容、新知识的消息。为了有效地传输和利用消息，通常需要将消息转换成各种便于传输和处理的信号。可见，信号是消息的载体，消息是信号的具体内容。

信号通常表现为某种随时间变化的物理量，在各种信号中，电信号最便于传输、控制和处理。因此，在实际应用中通常将各种非电信号（如声音、图像、温度、压力、位移、转矩、流量等）通过适当的传感器转换成电信号。 6.1.2 信号的描述和分类

电信号通常表现为电压信号和电流信号，它们都是时间的函数，可分别用u（t）和i（t）表示，或一般地表示为f（t）、y（t）等。信号的描述方法通常包括函数表达式法、波形图法、频谱图法和数据列表法。信号的变化规律是多种多样的，可以从不同的研究角度进行分类。

1.确定信号与随机信号

若信号随时间的变化表现为某种确定的规律，能用确定的函数表达式来描述，或者说对于任意一个确定的时刻，信号都有确定的函数值，这种信号称为确定信号。例如，正弦信号就是典型的确定信号。相反，如果信号的取值在不同时刻随机变化，事先无法预知它的变化规律，不能用确定的函数表达式来描述，这种信号称为不确定信号或随机信号。例如，噪声信号就是典型的随机信号。图6-1所示为几种常用信号的波形图，其中（a）～（e）是确定信号，（f）是随机信号。

由于信号在传输过程中不可避免地要受到各种噪声和干扰的影响，所以在实际应用中，理想的确定信号并不存在。但作为科学的抽象，研究确定信号仍然十分重要，它是研究随机信号的基础。

2.周期信号与非周期信号

周期信号是按某一固定周期重复出现的信号，它可以表示为

f（t）= f（t+nT） n=0，±1，±2，… （6-1）

式中，T称为信号的周期。周期信号的特点在于只要给定任意一个周期内信号的变化规律，就可以确定它在其他时间内的变化规律，如图6-1（c）所示。

非周期信号不具有周期性，它通常有两种表现方式：一种是仅在某些时间区间存在的信号，如图 6-1（a）、（b）、（d）、（e）、（f） 所示；另一种是拟周期信号（概周期信号），例如f(t)sintsin(2t)，它的两个正弦分量频率之比为无理数。另外，通常也可以将非周期信号看作是周期为无穷大的周期信号。

图6-1几种常用信号的波形图

3.连续信号与离散信号

如果一个信号在某个时间区间内除了有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。应该指出的是，这里所谓的“连续”是指自变量（时间）的连续，而信号的取值可以是连续的，也可以是离散的，如图6-2所示。

f（t） f（t） 0 t 0 t 图6-2连续时间信号

若信号的取值只在某些离散的时间点上才有定义，则称该信号为离散时间信号，简称离散信号，如图6-3所示。一般来讲，离散信号的时间变量取值只能是某个时间间隔的整数倍，如f（kτ），其中τ为时间间隔，k取整数，由于时间间隔τ处处相同，故可将τ略去而把信号改写为f（k），这样的信号也称为序列。可见，离散信号自变量（时间）的取值是离散的。离散信号的振幅取值可以是实数域内的任意值，如果离散信号的振幅取值只能是某些规定的数值，则将这种离散信号称为数字信号。

f（k） f（k） … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k

图6-3离散时间信号 4.能量信号与功率信号

设信号f（t）为电压或电流信号，其加载在单位电阻上产生的瞬时功率为f(t)，则在一定的时间

2区间,内会消耗一定的能量，把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。222现将时间区间无限扩展，定义信号f（t）的能量E为

Elim2f(t)dt （6-2）

2信号f（t）的平均功率P为

Plim212f(t)dt （6-3）

2如果在无限大的时间区间内信号的能量为有限值（此时平均功率P=0），则称该信号为能量有限信

号，简称能量信号。如果在无限大的时间区间内，信号的平均功率为有限值（此时信号能量E=∞），则称该信号为功率有限信号，简称功率信号。

根据上述定义可知：时限信号（在有限时间区间内存在的非零值信号）必然是能量信号；周期信号是功率信号；非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。 6.1.3信号的基本运算

信号的基本运算包括信号之间的相加、相乘，信号的反折、平移、尺度变换、微分与积分等。 1.相加和相乘

（1）两个信号相加

两个信号f1（t）与f2（t）相加，其和信号f（t）在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和，记作：f（t）= f1（t）+ f2（t），如图6-4（a）所示。

（2）两个信号相乘

两个信号f1（t）与f2（t）相乘，其积信号f（t）在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积，记作：f（t）= f1（t）× f2（t），如图6-4（b）所示。

f1（t） f1（t） 2 1 1 0 t 0 t ﹣1 f2（t） f2（t） 1 0 t 1 ﹣1 0 t f（t） f（t） 1 1 0 t 0 t ﹣1 (a)两个信号相加 (b)两个信号相乘

图6-4信号的相加和相乘

2. 反折、平移和尺度变换

（1）信号的反折

若将信号f（t）的自变量t换成﹣t，则得到另一个信号f（﹣t），称这种变换为信号的反折，如图

6-5所示。可见， f（﹣t）与f（t）关于纵轴对称。

f（t） f（﹣t） 2 2 ﹣2 0 2 t ﹣2 0 2 t

(a) (b) 图6-5 信号的反折

（2）信号的平移

若将信号f（t）的自变量t换成t+t0（t0为常数），则得到另一个信号f（t+t0），称这种变换为信号的平移。当t0为正数时，是将f（t）向左平移t0个单位；当t0为负数时， 是将f（t）向右平移t0个单位。图6-6（b）所示是将信号f（t）向左平移1个单位，图6-6（c）所示是将信号f（t）向右平移1个单位。

f（t） f（t+1） f（t－1） 2 2 2 0 2 t ﹣ 3 ﹣ 1 0 1 t ﹣1 0 1 3 t ﹣2 (a) (b) (c)

图6-6 信号的平移

（3）信号的尺度变换

若将信号f（t）的自变量t换成at（a为正数），则得到另一个信号f（at），称这种变换为信号的尺度变换，或称为信号的展缩。当a﹥1时，是将f（t）波形以坐标原点为中心，沿t轴压缩为原来的1/a；当0﹤a﹤1时，是将f（t）波形以坐标原点为中心，沿t轴展宽为原来的1/a倍。如图6-7（b）所示是将信号f（t）压缩为原来的1/2，图6-7（c）所示是将信号f（t）展宽为原来的2倍。

f（t） f（2t） f（t/2） 2 2 2 ﹣2 0 2 t ﹣1 0 1 t ﹣4 0 4 t (a) (b) (c)

图6-7 信号的尺度变换

例6-1：已知信号f（t）的波形如图6-8(a)所示，试画出f（﹣2t+2）的波形。 解：

方法1：（按照平移反折尺度的顺序）

f（t） f（t+2） f（﹣t+2） f（﹣2t+2），如图6-8所示。

f（t） f（t+2） f（﹣t+2） f（﹣2t+2） 2 2 2 2 ﹣2 0 2 t ﹣4 ﹣2 0 t 0 2 4 t 0 1 2 t

(a) (b) (c) (d)

图6-8 例6-1图

方法2：（按照平移尺度反折的顺序）

f（t） f（t+2） f（2t+2） f（﹣2t+2），如图6-9所示。

f（t） f（t+2） f（2t+2） f（﹣2t+2） 2 2 2 0 2 t ﹣ 4 ﹣2 0 t ﹣2 ﹣1 0 t 1 0 2 t ﹣2 (a) (b) (c) (d)

图6-9 例6-1图

可见，上述两种方法得到的结论是一样的。读者可自行证明：采用其他的方法，例如尺度平移反折、尺度反折平移等都会得到相同的结论。但需要注意的是：每一次变换都必须单独对t进行。

3. 微分和积分

微分和积分运算是经常用到的关于连续信号的运算。 （1）连续信号f（t）的微分 y(t)f(t)（2）连续信号f（t）的积分 y(t)f(1)'df(t) （6-4） dtt(t)f()d （6-5）

(1)如图6-10（b）所示是信号f（t）的微分，图6-10（c）所示是信号f（t）的积分。

f（t） f’（t） f(t) 2 1 ﹣2 0 1 t 2 ﹣2 0 1 2 t ﹣ 2 ﹣2 0 2 t

(a) (b) (c)

图6-10 信号的微分和积分

6.2非正弦周期信号

当正弦信号作用于电路时，电路各部分的电压、电流都是同频的正弦量。但在生产实践中，几乎所有的信号都是非正弦信号。例如，转子绕组产生的磁通 t在气息中的不均匀性导致交流发电机产生的电压并不是理想的正弦信号，即使产生了理想的正弦信号，由于电路中存在非线性元件，也会使其变成非正弦信号。非正弦信号又可分为周期和非周期的两种，非周期非正弦信号可看成周期为无穷大的非正弦信号。图6-11所示为几种常见的非正弦信号波形。

图6-11几种常见的非正弦信号波形

6.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数分解

周期信号可以展开为直流分量和一系列谐波分量之和的形式，这就是周期信号的傅里叶级数分解。如果f(t)的周期是T，则其傅里叶级数展开式为

f(t)a0a1cos(t)b1sin(t)a2cos(2t)b2sin(2t)

即 f(t)a0(ak1kcosktbksinkt) （6-6）

式中：k为正整数；2，称为f(t)的基波频率；k称为f(t)的谐波频率；a0为f(t)的直流T分量，ak和bk分别是各余弦、正弦分量的幅度。

1Ta0T0f(t)dt2T akf(t)cosktdt （6-7）

T02TbkT0f(t)sinktdt 也就是说，当f(t)给定后，a0、ak和bk就可以确定，因而f(t)的傅里叶级数展开式就可以写出。

根据三角公式，akcosktbksinktAksin(ktk)

Aa2b2kkk 其中：ak （6-8）

karctanbk所以式（6-6）又可以写为

f(t)a0Aksin(ktk) （6-9）

k1值得说明的是并非所有的周期信号都能按傅里叶级数展开，被展开的函数f(t)需要满足下面的充分条件，即狄利克雷（Dirichlet）条件。

（1）在一个周期内，如果间断点存在，则间断点的数目应该是有限的； （2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应该是有限的； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即

T2T2f(t)dt等于有限值。

通常，我们所遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这个条件。

例6-2：如图6-12所示的周期性方波，求其三角形式的傅里叶级数。

f(t) A -T/2 0 -A T/2 T t

图6-12 周期性方波 解：因为这里f(t)是奇函数，故有

1Tf(t)dt0 0T2T akf(t)cosktdt0

T02Tbkf(t)sinktdt

T04T2f(t)sinktdt T0 a04Acoskt Tk0T24A(k1,3,5) k

0(k2,4,6)代入式（6-6）可得

f(t)4A11(sintsin3tsin5t) 35以上计算说明，矩形波f(t)的傅里叶级数展开式是由上式各项的奇次谐波相叠加得到的，如图6-13(a)、(b)所示。

（a） （b）

图6-13 谐波合成示意图

图6-13(a)中虚线所示曲线是取到3次谐波时的合成曲线，图6-13(b)是取到11次谐波时的合成曲线。可见，谐波级数取样越多，合成的曲线越接近矩形波。

除了用数学方法求解周期信号的傅里叶级数外，工程上常采用查表法得到周期信号的傅里叶级数。表6-1列出了几种典型非正弦周期信号的傅里叶级数。

表6-1 几种典型非正弦周期信号的傅里叶级数

波形 傅里叶级数（基波角频率2T） 有效值 f(t) Im t -T/4 O T/4 f(t)2Im111(costcos2tcos4t 24315 k22coskt)k2,4,6, k1cosf(t)4Im111(cos2tcos4t 2315Im2 f(t) Im -T/2 O T/2 Im2t k22coskt)k2,4,6, k1cos8Im f(t) Im -Im t f(t)-T/2 O T/2 211(costcos3tcos5t 925Im3 12coskt)k1,3,5, kf(t)Im -T O T f(t)t ImIm11(sintsin2tsin3t 223Im3 1sinkt)k1,2,3,4, kf(t)Im -T/2 O T/2 f(t)t 4Im11(sintsin3tsin5t 351sinkt)k1,3,5, kIm -Im f(t) Im -τ/2 τ/2 f(t)t ImT2Im(sincost2sin222cos2tsink 2coskt) k1,2,3, Im2 T k例6-3：试将图6-14(a)所示波形展开成傅里叶级数。

（a） （b） （c）

图6-14 例6-3图

解：将图6-14（a）所示波形分解成图6-14（b）、（c）的叠加，通过查表6-1得到图6-14（b）所示波形的傅里叶级数展开式为

f1(t)4A11(sintsin3tsin5t) 35图6-14（c）所示波形为直流分量，即

f2(t)A

因此有

f(t)f1(t)f2(t)A4A11(sintsin3tsin5t) 356.2.2几种特殊的非正弦周期信号的傅里叶级数

1.偶函数的傅里叶级数

对于偶函数，满足ftft，即函数的波形关于纵轴对称，如图6-15所示，这种函数的傅里叶级数中不含正弦分量，即bk0。

图6-15 偶函数的波形

因此，偶函数的傅里叶级数的一般表达式为 f(t)a0ak1kcoskt (6-10)

关于偶函数的傅里叶级数中是否含有直流分量，要看f(t)的曲线所包围的面积对横轴上、下是否相等，若相等则不含直流分量，即a00。

2.奇函数的傅里叶级数

对于奇函数，满足f(t)f(t)，即函数的波形关于原点对称，如图6-16所示，这种函数的傅里叶级数中不含余弦分量，即ak0；也不含直流分量，即a00。

图6-16 奇函数的波形

因此，奇函数的傅里叶级数的一般表达式为

f(t)bksinkt (6-11)

k13.奇谐波函数的傅里叶级数

对于奇谐波函数，满足f(t)ftT，即函数波形的后半周期是前半周期的镜像，如图6-172所示，有a2kb2k0，即奇谐波函数的傅里叶级数中只含有奇次谐波，不含偶次谐波和直流分量。

图6-17 奇谐波函数的波形

4.偶谐波函数的傅里叶级数

对于偶谐波函数，满足f(t)f(tT)，即函数的前半周期波形后移半个周期与后半周期重合，2如图6-18所示，有a2k1b2k10，即偶谐波函数的傅里叶级数中只含有直流分量和偶次谐波，不含奇次谐波。

图6-18 偶谐波函数的波形

6.2.3 周期信号的频谱

由以上讨论可知，周期信号可以展开为直流分量和一系列谐波分量之和的形式，通过式（6-6）可以求出各分量的振幅和相位，这样虽然可以详尽而确切地表示信号的分解结果，但是不够直观。为了直观地表示一个信号中所包含的频率分量以及各频率分量所占的比重，就采用了频谱图的表示方法。用一些不同长度的线段来分别表示基波、各次谐波的振幅，然后将这些线段按着频率高低顺序依次排列起来，这种图就是频谱图。频谱图中的每一条谱线代表一个基波或者一个谐波分量，谱线的高度即谱线顶端的纵坐标位置代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率。这种频谱，因为只表示出各频率分量的振幅，所以称为振幅频谱。如果把各频率分量的相位用一个个线段代表并且按频率高低顺序排列成谱状，这样得到的频谱称为相位频谱。本书如果没有特别说明，今后所提到的频谱指的是振幅频谱。

以图6-12所示的周期性方波信号为例，作出它的频谱图，如图6-19所示。通过观察可总结出周期性方波信号频谱的特点：第一，离散性，因为频谱图由不连续的线条组成，每条线代表一个正弦分量，所以将这样的谱线称为不连续频谱或者离散谱；第二，谐波性，因为频谱的每条谱线都只能出现在基波频率或者谐波频率上，频谱中不存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量；第三，收敛性，各条谱线的高度，也就是各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的，当谐波次数无限增高

时，谐波分量的振幅无限趋小。上述三个特点，虽然是从周期性方波信号得出的，但具有普遍意义。

在通信工程中，信号的振幅频谱可以通过频谱分析仪直接测试得到。

图6-19 周期性方波信号的频谱

6.2.4 有效值、平均值和平均功率

1.有效值

对于正弦电流i的有效值，其定义为

I1T21idtT0220i2dt （6-12）

设非正弦周期电流i分解为傅里叶级数为 iI0Ik1kmsin(ktk)，则有

iI220Ik12kmsin(ktk)2I0Ikmsin(ktk)

2k12IkmIqmsin(ktk)sin(qtq)

k1q1kq将上式中i的展开式中各项分别积分，可以得到

21220I02dtI02

121212201Isinktdtk2k12km22IkmIIk2 k1k12k12km202I0Ikmsin(ktk)dt0

k12I0k1q1kq2kmqmIsin(ktk)sin(qtq)0

由此可得到i的有效值为

IIIIII202k202122k1Ik02k （6-13）

即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论可推广用于其它非正弦周期量，如非正弦周期性电压的有效值为

UU0U1U2222Uk02k （6-14）

2当非正弦周期电流通过电阻时，其功率损耗为PIR。应该指出的是：通常所说的非正弦周期信号的电流或电压值均指有效值。

2.平均值

非正弦周期信号的平均值定义为该信号绝对值在一个周期内的平均，以电流i(t)Imsint为例，即为

I1Tidt （6-15） 0TT将上式进一步展开可得

T2I2I1T222 IImsintdtImsintdtm[cost]0m （6-16）

T0T0T它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，如图6-20所示，这是因为取电流的绝对值相当于把负

半周的值变为对应的正值。

图6-20 正弦电流的平均值

对于同一个非正弦周期电流，用不同类型的仪表进行测量，会得到不同的结果。如用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的直流分量，这是因为磁电系仪表的偏转角仪表测量时，所得结果为电流的有效值，因为这种仪表的偏转角1TT0idt。用电磁系

1T2idt。用全波整流仪表测量时，0T1所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角TT0idt。由此可见，在测量非正弦周期信号

的电流和电压时，要注意选择合适的仪表，并注意不同类型仪表读数所表示的含义。

3.平均功率

非正弦周期电流电路的瞬时功率为

puiU0Ukmsin(ktuk)I0Ikmsin(ktukk)

k1k1U0I0UkmIkmsin(ktuk)sin(ktukk)U0Ikmsin(ktukk)K1k1 I0Ukmsin(ktk)UkmIqmsin(ktk)sin(qtuqq)k1k1q1kq

式中，u、i取关联参考方向，k为各次谐波电压分量与相应谐波电流分量之间的相位差。平均功率，又称有功功率，仍然定义为该电路瞬时功率在一个周期内的平均值，即

1PTT01pdt220pdt

将瞬时功率p中各项分别积分可得

1212202U0I0dtU0I0

UkmIkmsin(ktuk)sin(ktukk)dt

0UkmIkm21cosktukktukkcosktukktukkdt 2021UkmIkmcoskUkIkcosk 2根据三角函数的正交性可知其它项的积分都为0。所以，平均功率（有功功率）为 PU0I0UIk1kkcoskU0I0U1Ics1os1U2Ic2o2 （6-17）

可见，平均功率等于直流分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。应该注意的是：只有同频

率的电流和电压才产生平均功率，否则只产生瞬时功率，不产生平均功率。

非正弦周期电流电路的视在功率定义为非正弦电压有效值和非正弦电流有效值的乘积，即

SUIU0U1U2I0I1I2 （6-18） 非正弦周期电流电路的无功功率定义为通过该电路的非正弦周期电压和电流各次谐波无功功率的总和，即 Q222222Uk1kkIsinkU1I1sin1U2I2sin2 （6-19）

S2(P2Q2)。

222在一般情况下，S(PQ)，非正弦周期电流电路的畸变功率为T例6-4：如图6-21所示单口网络N的端口电流、电压分别为：

i(t)5sint2sin2t，u(t)sintsin2tsin3t

4434求：网络消耗的平均功率，电压、电流的有效值。 解： I152 , U1, 1u1i1242

图6-21 例6-4图

I22, U22, 2u2i2 2252520W 44网络消耗的平均功率为： PU1I1cos1U2I2cos22226111V 电压有效值为：U22225电流有效值为：I222258A 26.3非正弦周期电流电路分析

非正弦周期电流电路是指所加激励信号为非正弦周期信号的电路，通常可按下列步骤对非正弦周期电流电路进行分析：

（1）通过查表，将给定的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，高次谐波取到哪一项为止要根据所需准确度的高低而定。

（2）分别求出电源电压或电流的直流分量及各次谐波分量单独作用时的响应。当直流分量单独作用时，采用直流电路分析法；当各次谐波分量单独作用时，采用相量分析法。其中，

a) 直流分量单独作用时

XL(0)L0，即将电感看作短路；

XC(0)1，即将电容看作开路。 Cb) 基波单独作用时 XL1L

XC11 Cc) 高次谐波单独作用时 XLkk LXck1 kC（3）应用叠加原理，将步骤（2）中计算出的各个时域形式（即瞬时值形式）的结果进行叠加，即可求得所需响应。

例6-5：已知图6-22（a）所示滤波电路中，输入电压ui(t)的波形如图6-22（b）所示，f2KHz，

R20K，C0.47F，试求输出电压uR(t)（计算到三次谐波）。

图6-22 例6-5图

解：（1）利用例6-3题的结论可得图6-22(b)中矩形波ui(t)的傅里叶级数展开式为

uit50200sin(4103t)200sin(12103t) 3 5063.7sin(4103t)21.2sin(12103t)

题中要求计算到三次谐波，故取三个电压分量，即

uitU0u1tu3t

其中

U050mV

u1(t)63.7sin(4103t)mV Um163.70mV u3(t)21.2sin(1210t)mV Um321.20mV

（2）分别计算直流分量、基波和三次谐波单独作用时的输出电压。

直流分量单独作用时，电容相当于开路，故I00，UR00。 基波u1(t)63.7sin(4103t)mV单独作用时，由相量法得 URm13.Um1Rj1CR63.703201063.70.5mV 32010j169.5即

uR1(t)63.7sin(4103t0.5)mV

三次谐波u3(t)21.2sin(1210t)mV单独作用时，由相量法得

3URm3Um3Rj13CR21.202010321.20.2mV 32010j56.3即

uR3(t)21.2sin(12103t0.2)mV

（3）运用叠加原理，可得

uR(t)UR0uR1uR363.7sin(4103t0.5)21.2sin(12103t0.2)mV

例6-6 ：如图6-23所示电路，输入激励 uS(t)为非正弦波，1rad/s，其中含有3次谐波和7次谐波，要求输出电压u(t)不含有这两个谐波分量，求L、C。

图 6-23 例6-6图

解：若要求输出电压u(t)中不含有3次和7次谐波分量，需满足当uS(t)的3次和7次谐波单独作用时，b、c两点间电压为零。有两种情况： （1）3次谐波作用时：Zbc0， 即 j3110  CF j3C9110  LH j7L49 7次谐波作用时：Zab， 即 Yabj7（2）3次谐波作用时：Zab， 即 Yabj3110  LH j3L9 7次谐波作用时：Zbc0， 即 j7110  CF j7C491CF9所以得到  或

L1H491LH9 C1F49例6-7：如图6-15所示电路，R250，L300，

111200，400， C1C2（1）iL；（2）i的有效值I；（3）iL的有效值IL。 u(t)(7505002sint1002sin2t)V，试求：

图6-24 例6-7图

解：（1）当直流电压U0750V单独作用时，由于电容C1、C2对直流电压相当于开路，因此

I00，IL00。

（2）一次谐波u15002sintV单独作用时，有

11200j300jC11j)j400 ZabjL//(j1C1j300j1200jLjC1jL则 Z1RZabj1250j400j400250 C2所以 I1mU1m50020220A Z1250UL1mI1mZab8002902.6720A jLjL30090 IL1m即 i1(t)22sintA iL1(t)2.672sintA

（3）二次谐波u21002sin2tV单独作用时，有

Zabj2L//(jj2C11600600)

12C1j(600600)j2Lj2C1j2L1可见，C1与L产生并联谐振阻抗近似于无穷大，全部u2都降落于该并联电路两端，所以有

I2m0

IL2mU2m100200.167290A j2Lj600即 iL2(t)0.1672(sin2t90)A （4）由叠加定理可得

iL(t)2.672sint0.1672sin(2t90) A

有效值为 I22I0I12I202202A

ILIL0IL1IL2022.6720.16722.675A

例6-8：如图6-25所示RLC串联电路，已知f50Hz，R10，C200F，

222L100103H，u[2020sin(t)10sin(3t90)]V，试求：(1) 电流i；(2) 外加电压和电

流的有效值；(3)电路中消耗的功率。 解：（1）应用叠加定理来求电流i

当直流分量U020V单独作用时，由于电容的隔直作用，I00 当基波分量u120sin(t)V单独作用时，设U1200V 2

则 I1U1Rj(L1)C200V2[10j(31410010310)]3142006

图6-25 例6-8图

201.08A57.2A

2(10j15.5)2即 i11.08sin(t57.2)A

当三次谐波分量u310sin(3t90)V单独作用时，设U31090V 21090VU310900.1122则 I3A6.4A 12(10j88.9)2Rj(3L)10j(94.25.3)3C即 i30.112sin(3t6.4)A 通过叠加定理可得

ii1i3[1.08sin(t57.2)0.112sin(3t6.4)]A

（2）电流有效值为

1.0820.1122II12I32()()A0.589A0.767A

22电压有效值为

2UU0U12U32202(202102)()650V25.5V 22（3）电路中电阻R消耗的功率即为整个电路消耗的功率

PI2R(0.767A)2105.9W

亦可用式PP0P1P2进行计算，有

P0U0I00

P1U1I1cos1201.08cos57.2W5.85W 22100.112cos(906.4)W0.062W 22P3U3I3cos3PPW 1P3(5.850.062)W5.91由以上分析可知，感抗和容抗随频率的变化而变化，这种性质在工程上有广泛的应用。例如，将电

容和电感所组成的各种不同的电路接在电源和负载（输入端和输出端）之间，可使信号中的某些谐波分量顺利通过，而另一些不需要的谐波分量得到抑制，这种电路称为滤波器。滤波器可分为四类：低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）、带阻滤波器（BRF）。图6-26(a)所示为一个简单的低通滤波器，其中电感L对高频电流有抑制作用，电容C对高频电流有分流作用，输出端的高频电流分量被大大削弱，低频电流则能够顺利通过。图6-26(b)所示为一个简单的高通滤波器，其中电容C对低频电流有抑制作用，电感L对低频电流有分流作用，输出端的低频电流分量被大大削弱，高频电流则能够顺利通过。

（a）低通滤波器 （b）高通滤波器

图6-26 简单滤波器

本 章 小 结

1．信号是随时间变化的某种物理量，是传送各种消息的工具。电信号通常表现为某种形式的电压或电流。

2．信号通常可分为：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；功率信号和能量信号。

3．信号的基本运算包括信号之间的相加、相乘，信号的反折、平移、尺度变换、微分与积分等。 4．非正弦周期信号f(t)可分解为傅里叶级数 f(t)a0(ak1kcosktbksinkt)a0Aksin(ktk)

k1式中2/T，T为f(t)的周期，有

1a0TT012f(t)dtf(t)dt

202T12f(t)cos(kt)dtf(t)cos(kt)dt T002T12bkf(t)sin(kt)dtf(t)sin(kt)dt

T00aka2Akakbk2，karctank

bk5．非正弦周期信号的有效值等于其直流分量、基波和各谐波分量有效值的平方和的平方根，即 AA0A1A2A02222Ak12k

6．非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量、基波和各谐波分量分别产生的平均功率之和，即 PU0I0Uk1kIkcosk

7．计算非正弦周期电流电路的步骤为：

（1）通过查表法将非正弦周期性激励分解为直流分量、基波和各次谐波分量。

（2）分别计算激励中不同频率分量所引起的响应：直流分量单独作用时采用直流电路分析法；各次谐波分量单独作用时，采用相量分析法。

（3）最后将响应的各分量的瞬时值表达式相叠加。

习 题 六

6-1．试分析题6-1图所示的信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？

f（t） f（t） 0 t 0 t (a) 电报信号 (b) 温度信号 f（t） f（t） … … 0 t 0 t (c) 触发脉冲 (d) 高频脉冲

题6-1图

6-2．试分析下列表达式所对应的信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T。 （1）

f(t)1sin(10t) （2）f(t)cos(10t45)

t（3）f(t)ecost （4）f(t)sin(2t)sin(4t)

（5）f(t)sin(2t)cos(4t) （6）f(t)sin(2t)sin(4t)

6-3．信号f（t）的波形如题6-3图所示，试分别画出 f（2t）、f（﹣t/2）、2 f（t）、f（t－2）、f（2t+2）和f（﹣2t+2）的波形。

题6-3图

6-4．试求题6-4图所示波形的傅里叶级数展开式。

题6-4图 题6-5图 6-5．试用查表法求题6-5图所示波形的傅里叶级数展开式。

6-6．已知非正弦周期电压u(t)波形如题6-6图所示，求u(t)的傅里叶级数展开式及其有效值。

题6-6图 题6-7图

6-7．已知题6-7图所示单端口网络的端口电压u(t)和电流i(t)均为非正弦周期信号，其表达式分别为

u(t)10100sint40sin(2t30)V，i(t)24sin(t60)2sin(3t45)A，试求： （1）u和i的有效值；（2)此单端口网络吸收的平均功率。

6-8．如题6-8图所示R L串联电路，已知L1H，R100，f50Hz，输入激励为 uS(t)20100sint70sin3tV，求u(t)及输入端的平均功率。

题6-8图 题6-11图

6-9．当有效值为100V的某正弦电压加在电感L两端时，得电流有效值I=10A；当含有基波和3次谐波分量且有效值为100V的某非正弦电压加在电感L两端时，得电流有效值I=8A，试求这一非正弦电压的基波和3次谐波电压的有效值。

6-10．已知RC串联电路中，C100F，R20，外加电压为

u(t)100sin(314t)50sin(942t90)V，试求通过该电路的稳态电流的瞬时表达式，并求其有效值

及电源发出的功率。

6-11．如题6-11图所示电路，已知R15，R230，L10，

140， Cu(t)70502sint52sin(2t15)V，求电流i的瞬时值和有效值。

6-12．已知RLC串联电路的端口电压和电流分别为：u(t)[100sin(314t)50sin(942t30)]V，

（1）R、L、C的值；（2）的值；（3）电路消耗i(t)[10sin(314t)1.755sin(942t)]A，试求：

的功率。

6-13．如题6-13图所示电路，已知R5，L0.507H，C20F，f50Hz

u(t)[2050sint20sin3t15sin5t)]V，试求电流表和电压表的读数。

题6-13图 题6-14图

6-14．如题6-14图所示电路，已知R40，L30，u(t)(10040sint5sin2t)，（1）uR(t)100URm1sin(t)V，试求：

1；（2）UR；（3）。 C