高中数学第一章 数列人教版必修五

一、课程要求

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。 1、了解数列的概念，概念

2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。

4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。

5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。

6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 二、编写意图：

1、 数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。

2、 本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。

3、 教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。 4、 教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。

5、 教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。 三、教学内容及课时安排建议。本章教学时间约13课时。

§1数列 1.1数列的概念 约1课时

1.2数列的函数特性 约1课时

§2等差数列 2.1等差数列 约2课时

2.2等差数列的前n项和 约2课时

§3等比数列 3.1等比数列 约2课时

3.2等比数列的前n项和 约2课时

§4数列在日常经济生活中的应用 约1课时

问题与小结 约2课时 评价建议：

1、 重视对学生数学学习过程的评价。关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

正确评价学生的数学基础知识和基础技能。关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体问题。

1.1 数列的概念

教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

了解数列是一种特殊的函数；

2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列

的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列

的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。 教学方法：讲授法为主

教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

①

自然数排成一列数：

②

③

3个1排成一列： 无数个1排成一列：

④

⑤

的不足近似值，分别近似到 排列起来：

正整数 的倒数排成一列数：

⑥

当 依次取

时得到一列数：

⑦

函数

函数 当 依次取 时得到一列数：

⑧

请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． 数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项． 以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系． 2．数列与函数的关系

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集

，或是正整数集

的有限子集

．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． 3．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

表示第一项，用

表示第一项，……，用

表示第 项，依次写出成为 ．

（1）列举法: ．简记为

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． （2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐

标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 做数列的通项公式． （3）通项公式法:如数列

，这个函数式叫

的通项公式为

；

；

的通项公式为

的通项公式为 ；

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列

的通项公式

，则

．

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．

（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第 关系是

，再给定

层钢管数

与第 层钢管数

中，

的

，便可依次求出各项．再如数列

．

，这个数列就是

像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 可由学生举例，以检验学生是否理解． 三．小结: 1．数列的概念 2．数列的四种表示

四．作业 习题1---1 P9 A组第4题；B组第1题。 五．板书设计

数列 （一）数列的概念 涉及的数列及表示 1．数列的定义 2．数列与函数的关系 3．数列的表示法 （1）列举法 （2）图示法 （3）通项公式法 （4）递推公式法 1.2数列的函数特性

教学目的：

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3．理解数列的前n项和与 的关系；

4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式. 教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系

内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负

担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不

同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ，或简记为 ，其中an是数列的第n项

⒋ 数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来

表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5．数列的图像都是一群孤立的点.

6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法. 7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列. 8． 无穷数列：项数无限的数列.

二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3

第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3 若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）

模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推： （2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要 定义：

1．递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式 说明：递推公式也是给出数列的一种方法

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为： 2．数列的前n项和：数列中， 称为数列 的前n项和，记为 . 表示前1项之和： =

表示前2项之和： =

……

表示前n-1项之和： = 表示前n项之和： = .

∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义. 3． 与 之间的关系：

由 的定义可知，当n=1时， ； 当n≥2时， ， 即

说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法. 三、例题讲解

例1已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项 分析：题中已给出 的第1项即 ，递推公式： 解：据题意可知：

例2已知数列中， ≥3），试写出数列的前4项 解：由已知得

例3已知 ， 写出前5项，并猜想 ． 法一： 法二：

例4 已知数列 的前n项和，求数列的通项公式： ⑴ an =n2 +2n； ⑵ an =n -2n-1.

解：⑴①当n≥2时， an= - =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时， an =1 +2×1=3； ③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3， ∴ an =2n+1为所求.

⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；

③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2， ∴ an = 为所求. 四、练习：

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3 －2 (n∈N).

解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1) ; (2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴ ＝ ; (3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 , ＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴ ＝1＋2·3 ;

2． ．已知下列各数列 的前n项和 的公式，求 的通项公式 (1) ＝2n －3n; (2) ＝ －2. 解：(1) ＝－1,

= - ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5, 又 符合 ＝4·1－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, = - ＝ －2－( －2)＝2· , ∴ ＝

五、小结:1．递推公式及其用法；

2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，

而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.

3． an的定义及与n 之间的关系 作业：P9 第4题

1.2 等差数列

教学目标

1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在

具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象

出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；

会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括

出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学设想:[创设情景]

上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 教学过程：一、引导观察数列：

0，5，10，15，20，…… ① 48，53，58，63 ② 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

二、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．

1．名称：等差数列，首项 (a1) ， 公差 (d) 2．若d0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2a1da3a2d(a1d)da12d

a4a3d(a12d)da13d 由此归纳为 ana1(n1)d 当n1时 a1a1 （成立） 注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数；

2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A 它是以AB为首项，A为公差的AP。 3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减；

4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：

以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为：ana1(n1)d；知等差

数列的首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项an就可以表示。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）： {an}是等差数列，所以 anan1d, an1an2d, an2an3d, …… a2a1d,

两边分别相加得 ana1(n1)d, 所以 ana1(n1)d （迭代法）：{an}是等差数列，则有：

anan1dan2ddan22dan3d2dan33d……a1(n1)d

所以 ana1(n1)d

三、例题讲解：注意在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求出另一个。 例一 （课本）判断下面数列是否为等差数列. 例二 已知数列首项与公差,求通项公式.

例三（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项,求其余各项 例四 已知数列其中两项,求通项公式.

四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则Aab 2 证明：设公差为d，则Aad ba2d ∴

abaa2dadA 22 例四：在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列，求此数列。 解一：∵1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

17133 a又是-1与3的等差中项 ∴a1 2237 c又是1与7的等差中项 ∴c5

2 ∴ b 解二：设a11 a57 ∴71(51)d d2 ∴所求的数列为-1，1，3，5，7 例五:已知是等差数列图像上的两点.

(1) (2) (3)

求这个数列的通项公式; 画出这个数列的图像;

判断这个数列的单调性. (解略)

例六:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33，75，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而成等差数列。解略 五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项 六、练习:P13练习 1、2、3 P14 1、2、3、4

作业：P19 习题1——2第7题 P19 习题1——2第8、9题

2.2等差数列前n项和

教学目标

1.掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）了解等差数列前 项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求

；等差数列通

项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究

的最值.

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.

3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.

教学重点:等差数列的前 项和公式的推导和应用，

难点:获得推导公式的思路. 教学方法:讲授法. 教学建议 （1）知识结构

本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用， 一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.

②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式. 教学过程:一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？ 问题就是（板书）“

”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三

个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课:（板书）等差数列前 项和公式 1.公式推导（板书）问题：设等差数列

的首项为 ，公差为 ，

由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

和 表示，得

，有以下等式

，问题是一共有多少个

思路一：运用基本量思想，将各项用

，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二：上面的等式其实就是 改写

右分别相加，得:

，

，为回避个数问题，做一个

，

，两式左

于是有： .这就是倒序相加法.

，于是

思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得

.

于是得到了两个公式： 和 .

2.公式记忆:用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.

3.公式的应用:公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一. 例1.求和：（1） （2）

；

（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法. 例2.等差数列

中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数. 三.小结:1.推导等差数列前 项和公式的思路； 2.公式的应用中的数学思想. 四.练习:P17练习 1、2、3 P18 1、2、3

作业：P19 习题1——2第11、12题 P19 习题1——2第13题

§3.1等比数列

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；

过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点:等比数列的定义及通项公式

●教学难点:灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程:Ⅰ.课题导入;

复习：等差数列的定义： an－an1=d ，（n≥2，n∈N）

等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊

的数列。(4个例子：)

①1，2，4，8，16，… ②1，

1111，，，，… ③1，20，202，203，204，… 24816④100001.0198，100001.01982，100001.01983，100001.01984，100001.01985，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课:

四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …

②1,

111，，，… 2482

3

③1,20 ,20 ,20 ,…

④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985

观察四个数列:

对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于

1 2对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198

可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义:

等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：

an=q（q≠0） an1an1=q（nN,q≠0） an1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q,｛an｝成等比数列2 隐含：任一项an0且q0.“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 3 q= 1时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0) 由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2；

a4a3q(a1q2)qa1q3；

… … … … … … …

anan1qa1qn1(a1q0)

3.等比数列的通项公式2: anamqm1(a1q0) 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

等比数列与指数函数的关系：等比数列｛an｝的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线ya1xq（q>0）上的一些孤立的点。 q当a10，q >1时，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1时，等比数列｛an｝是递减数列； 当a10，q >1时，等比数列｛an｝是递减数列；

当q0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q1时，等比数列｛an｝是常数列。 [注意几点]

(1)不要把an错误地写成an=a1qn

(2)对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒

(3)公比q是任意常数,可正可负 (4)首项和公比均不为0 [例题分析]

例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这

种物质的半衰期为多长(精确到1年)?

评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1

例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列

是等比数列吗?

评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,

an1是一个常数就行了 an例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.

评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系

例4 已知{an}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什

么结论?证明你的结论.

评注:两个等比数列的积仍然是等比数列

[范例讲解]课本P22例1、例2、P24例3 解略。 Ⅲ.[随堂练习]第23页练习1 [补充练习]

2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：a1=2916） （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a1=

a4=a3q=40）

a2=5, q4913 [课堂小结]

（1） 首项和公比都不为0

（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列

（五）：（1）课后思考：课本第59页[探究] （2）课后作业：第25页第1、2、3题 小结:等比数列的概念和等比数列的通项公式．

作业：P30习题A组6题 P30习题A组8题

等比数列

教学目标: 1．明确等比中项概念．

2．进一步熟练掌握等比数列通项公式. 3．培养学生应用意识.

教学重点: 1.等比中项的理解与应用

2.等比数列定义及通项公式的应用

教学难点: 灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法: 启发引导式教学法 教学过程:

(I)复习回顾:我们共同来回忆上节课所学主要内容. 生：等比数列定义：

anq(q0) 等比数列通项公式：ana1qn1(a1,q0) an1（Ⅱ）讲授新课:与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？

生：（1）a,A,b成等差数列Aab 2Gb G2ab aG如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，即若G2ab，则

Gb，即a,G,b成等比数列 ∴a,G,b成等比数列G2ab (ab0) aG师：综上所述，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等经中项.

生：（2）若m+n=p+q，则amanapaq

师：若在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,aq有什么关系呢？

生：由定义得：ama1qm1 ana1qn1 apa1qp1 aqa1qq1

amana1qmn2apaqa1q2pq22

（2）若m+n=p+q，则amanapaq

师：下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？

例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么：a1q212，①a1q318， ②

316③ 把③代入①可得a1 a2a1q8 2316答：这个数列的第1项与第2项是和8.

3 由②÷①可得第q

例2：已知an,bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.

证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：a1q1n1b1q2n1与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)n

nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2. n1anbna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列. （Ⅲ）课堂练习:课本P23练习1.(老师结合学生所做，讲评练习.)

书面练习:课本P25练习1、2、3 （Ⅳ）课时小结:

（1） 若a，G，b成等比数列，则G2ab,G叫做a与b的等经中项.

（2） 若m+n=p+q，amanapaq 2．预习提纲：①等比数列前n项和公式； ②如何推导等比数列的前n项公式？ 小结：

课题 一、 定义 二、 例题 例1 例2 复习回顾 a,A,b成等差数列 等比中项 G2aba,G,b成等比数2Aab若mnpq 列若m+n=p+q 则amanapaq 作业：P30习题A组7题

则amanapaq 2.5等比数列的前n项和

教学目标

1、知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题 2、过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式 3、情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力 重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学设想: 教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。 一般地，对于等比数列: a1，a2，a3，．．．, an,．．． 它的前n项和是: Sn= a1+a2+a3+．．．+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成: Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1 ① ① 式两边同乘以公比q 得 qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn ② ①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得: (1-q)Sn= a1－a1qn

a1(1qn) 当ｑ≠１时: Sn= （q≠1）

1q又an =a1qn-1 所以上式也可写成: Sn=

a1anq（q≠1） 1q推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了

[相关问题]

①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1

a1(1qn)a1(qn1)② 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）

1qq1③ 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 [例题分析]

例1 求下列等比数列前8项的和: (1)

1111,,,．．．； (2) a1=27, a9=,q<0 248243评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求

得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.

例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,

那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第28页第1.2题； 第29页第1.2题 [课堂小结]

(1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2)如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个 作业:第31页3、4题

§4 数列在日常经济生活中的应用（一）

教学目标： 1．知识与技能

（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用； （2）了解银行存款的种类及存款计息方式；

（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题； （4）了解“教育储蓄”.

2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用. 3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.

教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题； 难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”；

关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金.

学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学设想：1.创设情境：①温故知新

等差数列； 等比数列；定义； 通项公式； 前n项和公式

②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.

师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？ 2.探索新知：

（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款 （2）银行存款计息方式：

①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为： 利息=本金×利率×存期

以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有 ②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 （3）零存整取模型

例1.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).

(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;

(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?

(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?

分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息： 利息=本金×利率×存期

（学生思考并解答，教师利用多媒体点评）

解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x•r•n元; 第二个月存入的x元,到期利息为x•r•（n-1）元; 第n个月存入的x元,到期利息为x•r•1元.

不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为 而本金为nx元,这样就得到本利和公式为

即 ①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为 （3）依题意,在①式中, ，所以 答：每月应存入163.48元. （4）定期自动转存模型

例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题： （1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式;

（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.98%，那么5年后共得本利和多少万元？

师：定期存款自动转存储蓄，第二年的本金是什么？（第一年的本利和），这种储蓄的计息方式是什么？（按复利计息）

（学生思考并独立解答，教师利用多媒体点评） 3.发展思维：

例3 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).

(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;

(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少? 师：从1999年11月1日起，国家开始征收储蓄存款利息税：

应纳税额=应纳税利息额×税率

（学习小组开展讨论，由学生自己解答） 解：(1)根据例1，各月利息之和为 ， 税后实得利息为 .

而本金为nx元,这样就得到本利和公式， ②

(2) 若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为 答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元. 4．巩固深化：

例4 “教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元?

（学习小组开展讨论，由学生自己解答）

解：根据题意，“教育储蓄”是一种零存整取的定期储蓄，由例1到期一次可支取本利公式为 当

答：到期一次可支取本利和共为19971元.

师：同学们，大家都知道有“教育储蓄”这种储蓄业务，但大家知道“教育储蓄”是从什么时候开始的？“教育储蓄”所得利息纳税吗？是否谁都可以办理“教育储蓄”吗？… （教师提出问题，随即打开网页搜索，引导学生学会学习） 5．课外作业： 课题学习: “教育储蓄”

要求课后以学习小组为单位，弄清（网上查找或调查）以下问题，合理使用计算机或计算器等数学工具，解决教材中第46页的10个问题，写成课题学习报告. （1）.教育储蓄的使用对象； （2）.储蓄类型；

（3）.最低起存金额、每户存款本金的最高限额； （4）.支取方式；

（5）.银行现行的各类、各档存款利率，及利率的换算； （6）.零存整取、整存整取的本利计算方式. 6.小结：

（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型; （2）.银行存款的计息方式;

（3）.银行的储蓄业务种类; （4）.零存整取储蓄模型; （5）.定期自动转存模型； （6）.教育储蓄模型.

作业： P36 习题1——4第2题

第一章 数列小结与复习

目的要求:通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。 内容分析:1．本章内容大致分为两个部分。

（l）数列概念

a.按照一定次序排列的一列数叫做数列。

b.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，...n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

c.有些数列可用通项公式表示，有些数列可用递推公式表示。 d.数列按项数的有限和无限分为有穷数列和无穷数列。 (2)等差数列和等比数列

2．教科书中的两个例题均是属于有一定综合性的题目，其中例1是一个证明题。它涉及几何、充要条件的知识。充要条件的知识是一个教学难点，虽然在本书第一章已作介绍。

但还需在后续学习中不断提及、应用，才能逐步掌握。在教科书中，采用了“必要性”、“充分性”的术语，这两个术语都较为抽象，学生不易掌握，因此教学中可先复习其意义。在证明A的充要条件是B这一命题时，证明“若A则B”，就是指证明“必要性”；证明“若B则A”，就是指证明“充分性”。对此，应让学生真正弄清，不能搞反了。

在此题的证明中，还可向学生强调：“三角形中有一个角是直角”是本命题中的一个大前提，是在这个大前提之下来证明“若A则B”和“若B则A”，而不能把它看成是A中的一部分。

3．例2是一个有关等比数列和对数的综合题。证明这道题的思路是利用对数的性质将待证等式简化，并利用同底的对数相等等价于真数相等的性质将对数表示式甩掉，从而使问题进一步简化。注意这里的指数运算学生可能会出错，例如认为生可能出现的错误进一步复习指数运算的法则。

，可结合学

等差数列 从第2项起，每一项与等比数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。 定义 它的前一项的差等于同一个常数。 (d为公差) 一般形式 (q为公比，且 ) 通项公式 。 前n项和的公式 a与b的等差中项是 中项 a与b的等比中项是 由于等差数列与等比数列在内容上完全平行，在复习时可采用对比的方法，比如可采用上面表格的形式。 教学过程:

1．内容小结:对全章的知识内容，作一次小结。可采用填表的方式，让学生自己填类似上面的表格。在填完表的基础上，教师可对一些关键处予以强调。例如，对于等差数列的定义，可强调要符合任意一项与前面一项的差等于同一个常数中的“同”字，证明一个数列是等差数列的基本方法是取数列中的任意相邻两项，证明后一项与前一项的差是同一个常数。这里要强调所取相邻两项的任意性。

2．指出本章学习要求和需要注意的问题:可重申对数列递推公式的学习要求，即只要求会根据数列的递推公式写出数列的前n项。

3．讲参考例题。

讲例1时，可先复习充要条件、必要性、充分性的意义，以弄清本题到底要证明什么。 在此基础上，证明可作为课堂练习由学生完成。在小结例1的证明方法时，可强调成等差数列的3个数的“设法”：a－d，a，a＋d，因为这样往往可使问题得到简化。例2的证明，除了教科书提供的证法外，还可采用下面的证法。即

所以等式获得证明。

例2难度不大，证明可由学生在课堂完成，然后组织学生对证明方法进行讨论、小结。 4．归纳总结:由于本课的前半部分本身带有总结性质，这里可着重对两个例题的解题思路和方法进行小结。

四、作业：复习参考题一A组第4、9题。