复数相等的充要条件及应用

一．复数相等的充要条件 1．充要条件

如果两个复数的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R），那么z1=z2a1=a2且b1=b2．

2．注意点

（1）一般地说，两个复数只能说是相等或不相等，而不能比较大小． （2）利用复数相等的充要条件解答问题时，这类问题往往容易忽略题意中给出的条件，得出错误的结论．应引起重视，认真审题，理清题目中给出的条件后再加以分析求解．

二．复数相等的充要条件的应用

复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要解题途径之一，要加以切实地掌握．

1．参数取值问题

a22abb2a2b2278i例1．已知=，求实数a，b的值．

32iababi分析：通过复数的四则运算，结合两个复数相等的充要条件加以求解实数a，b的值．

(ab)2(abi)2(ababi)(ababi)解析：已知等式左边===a+b－abi，

(ab)abi(ab)abi而等式右边=

278i(278i)(32i)6578i===5－6i，

1332i(32i)(32i)那么有a+b－abi=5－6i，

ab5a3a2由两个复数相等的充要条件可得，解得或．

ab6b2b3点评：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而

得到．其关键是对式子进行变形．在变形中，可以结合复数的四则运算，也可以结合相应的公式加以变形．

变式练习1：若（2x－y）－（x+2y）i=－1+2i（x，y∈R），则x+y等于______．

答案：－

7． 52．二次方程问题

例2．若方程（1+i）x2－2（a+i）x+（5－3i）=0（a∈R）有实数解，求实数a的值． 分析：设原方程的实数解为x0，代入后整理，利用复数相等的充要条件可得有关x0的解，并结合题目条件求解对应的实数a的值．

解析：由原方程整理可得（x2－2ax+5）+（x2－2x－3）i=0，

设原方程的实数解为x0，代入上式可得（x02－2ax0+5）+（x02－2x0－3）i=0，

x022ax050根据复数相等的充要条件，可得2，

x02x030由方程x02－2x0－3=0，解得x0=3或x0=－1，

把x0=3或x0=－1分别代入方程x02－2ax0+5=0，可得a=

7或a=－3． 3点评：对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的实根问题，一般把实根代入方程，再利用复数相等的充要条件建立相应的关系式来分析与求解．

a

变式练习2：关于x的方程3x2－ x－1=10i－ix－2ix2有实数根，求实数a的值．

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答案：a=11或a=－ ．

53．方程组问题

例3．已知关于x，y的方程组(2x1)iy(3y)i有实数解，求实数a，

(2xay)(4xyb)i98ib的值．

分析：把问题中的方程组有实数解问题转化为复数相等的问题，根据复数相等的充要条件加以判断求值．

52x1yx解析：由方程（2x－1）i=y－（3－y）i可得，解得， 21(3y)y45x把2代入方程（2x+ay）－（4x－y+b）i=9－8i， y4可得（5+4a）－（6+b）i=9－8i，则有54a9a1，解得．

(6b)8b2点评：一般情况下，一个有关复数的方程，相当于两个实数方程，能求出两个未知数．而

用复数相等的条件，将复数问题转化为实数来解决，这是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法．

|z|1变式练习3：满足方程组13的复数z的集合是______．

|z||z|22答案：{

1133+i，－i}． 22224．不等问题

例4．使不等式m2－（m2－3m）i<（m2－4m+3）i+10成立的实数m的取值集合为______． 分析：要使两个复数可以比较大小，那么这两个复数都是实数，根据复数的实部与虚部的关系及不等式条件，从而联立不等式求解．

解析：因为只有两个复数均为实数时，才能比较大小，

m23m0m0或m32所以由条件得m4m30，即m1或m3，解得m=3，故填答案：{3}．

210m10m10点评：只有两个复数均为实数时才能比较大小，所以问题中的不等式就转化为两端必须

同时为实数，并比较大小．把复数问题实数化是解决此类不等问题的关键所在．

变式练习4：已知复数z=k2－3k+（k2－5k+6）i<0，则实数k=______． 答案：2．