──集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定、互异、无序对象全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合表示方法有列举法：将集合中元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中元素属性写在大括号内表示集合方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中元素，则A叫做B子集，记为，例如。规定空集是任何集合子集，如果A是B子集，B也是A子集，则称A与B相等。如果A是B子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若定义6 差集，定义7 集合
。 记作开区间
，集合
；
或或
，即，即
且
称为A在I中补集。
记作闭区间，R记作
定理1 集合性质：对任意集合A，B，C，有： （1）
（2）
（3） （4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若
，则；反之，
或
，即（3）若所以
，即且
，则
，即
或，且
或
，所以，则 ，所以，反之也有
或
，所以
，又，
定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有方法，…，第类办法中有
种不同方法，第二类办法中有种不同
种不同方法，那么完成这件事一共有
种不同方法，第二步有
种不同方法。
种不同方法。 种不同方法，…，第
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有步有
种不同方法，那么完成这件事一共有二、方法与例题
1．利用集合中元素属性，检验元素是否属于集合。 例1 设（1）（2）（3）若[证明]（1）因为
； ； ，则
，且
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，求证：
，所以
（2）假设性，所以
（3）设（因为
，则存在，使，由于和有相同奇偶
是奇数或4倍数，不可能等于
，则
）。
，假设不成立，所以
2．利用子集定义证明集合相等，先证，再证例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
，则A=B。
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证
；
再证若
，则
综上， 3．分类讨论思想应用。 例3
，求
【解】依题设，因为因为则
或
，所以，所以，解得
；
或
。
，求有序集合对（A，
，再由
，所以，若
解得，所以，则
或或2，所以，即
，
或3。
，若
，
，若
，若
，则。所以
1）若
，则
；2）
，若
，因为
，所以
，所以
综上所述，或4．计数原理应用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}子集，（1）若B）个数；（2）求I非空真子集个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交子集；A\\B，B\\A，中每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件集合对，所以集合对有310个。
（2）I子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合
个子集：
个，
，满足任何两个子集交集非空，并且再添加I
对，每一对不能同在这个子集中，
任何一个其他子集后将不再具有该性质，求值。
【解】将I子集作如下配对：每个子集和它补集为一对，共得因此，A，并设
；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与
，则
，从而可以在个子集中再添加
，与已知矛盾，所以
。综
上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用
表示集合A元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个
集合情况，即
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定义8 集合划分：若，且I一个-划分。
定理5 最小数原理：自然数集任何非空子集必有最小数。
，则这些子集全集叫
定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除数个数。
【解】 记
，由容斥原理，
，
，所以不能被2，3，5整除数有个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}子集，S中任意两个数差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数
，使得存在实数
【解】 当
时，
。下证当
令
所以必存在某两个下标即
，所以（ⅰ）若设
考虑
，则，有
或
，推出矛盾，设
故当
（ⅱ）若
，推出矛盾，故
=3，于是只有
，所以
，矛盾。因此。故当，则
，使得
或，考虑
，有
，设
，则
，又推出矛盾， 所以
；当
时，
；当
满足条件。
时，
满足：
时，恰有
，
时，不存在
，所以
，
或
。
或
，即
，
，
，导致矛盾，故只有
，即，则
时，不存在满足条件实数。
，考虑
，有。考虑
，有，所以
或
或
，即
，这时，即
，这又矛盾，所以
时，不存在满足条件实数。
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例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素集合
，
中最多重复出现次，则必有
。若不然，数
出现次（
），则
求最小值。
【解】
设B中每个数在所有在
出现所有
}
中，至少有一个A中数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，
，其中
，为满足题意集合。
必各不相同，
但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中数有40个，因此至少是10个不同，所以。当时，如下20个集合满足要
求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交三元集合小正整数
【解】 设其中第个三元集为所以
。当为偶数时，有
则1+2+…+，所以
，其中
，求满足条件最
，所以
，
，当为奇数时，有
当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以最小
值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合2．若集合3．集合4．已知集合P=___________。
5．已知
6．若非空集合S满足个。
7．集合8．若集合9．集合___________。
10．集合
___________。
11．已知S是由实数构成集合，且满足1）有多少个元素？说明理由。 12．已知范围。
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）若
，则
。如果
，S中至少含
，其中
，，且，且若
，则实数取值范围是___________。
中只有一个元素，则=___________。
非空真子集有___________个。
，若
，则由满足条件实数组成集合
，则常数取值范围是___________。 ，则
，那么符合要求集合S有___________
之间关系是___________。 且，且
，若
，则A中元素之和是___________。 ，则满足条件
值构成集合为
，则
，又C为单元素集合，求实数取值
四、高考水平训练题 1．已知集合 2．
，则
3．已知集合是___________。
___________。
，当
时，实数
取值范围
，且A=B，则
___________，
___________。
4．若实数为常数，且5．集合6．集合7．集合8．已知集合9．设集合是否存在
，使得
。
，并证明你结论。
10．集合A和B各含有12个元素，且C中含有3个元素；2）
，且
___________。 ，若
，则
，且A=B，则
，则
，则
___________。
中最小元素是___________。 ___________。
取值范围是___________。
，问：
含有4个元素，试求同时满足下列条件集合C个数：1）
11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，都有
，则必有五、联赛一试水平训练题
，证明你结论。
，若对任何，
1．已知集合___________。 2．集合
是___________。 3．已知集合___________。 4．已知集合顶点所构成集合，则
子集B满足：对任意
，其中
，且
，则实数取值范围是
，则集合B中元素个数最大值
，若P=Q，则实数
，若
___________。
，集合
，集合A满足：
，且当
，≤则使
时，
是平面上正八边形
，则集
，则A中元素最多成立所有集合是
5．集合
合M与N关系是___________。 6．设集合
有___________个。 7．非空集合___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）并集个数是___________。
9．已知集合时，
, 则满足条件有序三元组（A，B，C）
，问：当取何值
为恰有2个元素集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
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10．求集合B和C，使得11．S是Q子集且满足：若
，则
，并且C元素乘积等于B元素和。
恰有一个成立，并且若
，则
，试确定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}若干个五元子集满足：S中任何两个元素至多出现在两个不同五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．
是三个非空整数集，已知对于1，2，3任意一个排列
。求证：
中必有两个相等。
，使得（1）每个
，如果
，
，则
2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交子集
恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错情况有多少种？
4．设合
5．设S是由6．对于整数
是20个两两不同整数，且整合中不同元素个数最小可能值。
个人组成集合。求证：其中必定有两个人，他们公共朋友个数为偶数。 ，求出最小整数
，使得对于任何正整数
，集合
任一个
中有201个不同元素，求集
元子集中，均有至少3个两两互质元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S任意一个元子集中都存在两个不同数a和b，满足
。
8．集合，试作出X三元子集族&，满足： （1）X任意一个二元子集至少被族&中一个三元子集包含； （2）9．设集合某个集合
，在
。
，求最小正整数
，使得对A任意一个14-分划
。
，一定存在
中有两个元素a和b满足
高中数学精神讲义（二）
──二次函数与命题
一、基础知识 1．二次函数：当
0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x二次函数，其对称轴为直线x=-，
另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函数性质：当a>0时，f(x)图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1 ，f(x)图象与x轴有唯一公共点。 6 / 18 ,不等式②和不等式③解集分别是{x|x }和空 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③解集分别是R和当a<0时，请读者自己分析。 4．二次函数最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)= .f(x)图象与x轴无公共点。 ,若a<0，则当x=x0=时，f(x) 取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上最小值为f(x0); 当x0 定义1 能判断真假语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成命题由复合命题。 注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题逆命题和否命题同真假。 注3 反证法理论依据是矛盾排中律，而未必是证明原命题逆否命题。 定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q充分条件；如果qp，则称p是q必要条件；如果pq但q不p，则称p是q充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q必要非充分条件；若pq且qp，则p是q充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x2-x+1=0两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△0， 所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 2．方程思想。 例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)-f(1), 所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4, 所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函数性质。 例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x两根x1, x2满足0 , （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x 【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x) , 所以， 所以 5．构造二次函数解题。 例5 已知关于x方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上二次函数最值。 例6 当x取何值时，函数y=【解】 y=1-,令 取最小值？求出这个最小值。 u,则0 即x= 3时，ymin= , . ，求b值。 例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx最小值是【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). ⅰ)-ⅱ) -≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx最小值为- ，所以b2=2，所以（舍去）。 >-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， ,b=-. 所以x2+bx最小值为b+1,b+1=-综上，b=-. 7.一元二次不等式问题解法。 例8 已知不等式组 ①②整数解恰好有两个，求a取值范围。 【解】 因为方程x2-x+a-a2=0两根为x1=a, x2=1-a, 8 / 18 若a≤0，则x1 ⅲ）当a>时，a>1-a，由②得x>1-2a， 所以不等式组解集为1-a 所以1 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。 定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥ (证略) 注 定理2可以推广到n个正数情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1．下列四个命题中属于真命题是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”逆命题；②“两个全等三角形面积相等”否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”逆否命题；④“不等边三角形三个内角相等”逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q: N=Z. 3. 当|x-2| 8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B=, 则(CRA)∩B=_________. 9. 设a, b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b值是_________. 9 / 18 10．设集合A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________. 11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立a取值范围。 12．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k取值范围。 四、高考水平训练题 1．若不等式|x-a| 4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5| 那么“”是“M=N”_________条件。 6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a取值范围是_________. 7．已知p, q都是r必要条件，s是r充分条件，q是s充分条件，则r是q_________条件。 8．已知p: |1-|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q必要不充分条件，则实数m取值范围是 _________. 9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2) (3)当a>0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x). 11.设实数a,b,c,m满足条件：满足0 1．不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0解集是_________. =0，且a≥0,m>0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0 2．如果实数x, y满足：，那么|x|-|y|最小值是_________. 3．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数最小值取最大值时，a+b2+c3=_________. 4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。 5．若关于x方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________. 6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________. 7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a 8．函数f(x)=ax2+bx+c图象如图，且=b-2ac. 那么b2-4ac_________4. （填>、=、<） 9．若a 11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|最大值。 六、联赛二试水平训练题 1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足|f(x)|≤50整数x最多有几个？ 2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定负数a，有一个最大正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)最大值及相应a值。 10 / 18 3．设x1,x2,…,xn∈[a, a+1]，且设x=, y=, 求f=y-x2最大值。 4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|最大值。 5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件： 1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； ,求△=a2-4b最大值和最小值。 2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤; 3）f(x)在R上最小值为0。 求最大m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x. 7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。 8．设a,b,A,B∈R+, a a, b, c值： （ⅰ）=381; （ⅱ）g(x)max=444; （ⅲ）g(x)min=364. 高中数学竞赛讲义（三） ──函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。 定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。 定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上满射。 定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反对应法则f-1构成映射，记作f-1: A→B。 定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中y），则y叫做x象，x叫y原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义未知数取值范围，如函数y=3-1定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它逆映射f-1: A→B叫原函数反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数定义域即原函数值域。例如：函数y=反函数是y=1-(x0). 定理1 互为反函数两个函数图象关于直线y=x对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1) 11 / 18 （2）奇偶性：设函数y=f(x)定义域为D，且D是关于原点对称数集，若对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。 （3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数周期，如果周期中存在最小正数T0，则这个正数叫做函数f(x)最小正周期。 定义8 如果实数a 定义9 函数图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)图象，其中D为f(x)定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)图象与其他函数图象之间关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b图象；（4）与函数y=f(-x)图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)图象关于x轴对称。 定理3 复合函数y=f[g(x)]单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y= , u=2-x在（-∞,2）上是减 函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然。 二、方法与例题 1．数形结合法。 例1 求方程|x-1|= 正根个数. 图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 【解】 分别画出y=|x-1|和y= 例2 求函数f(x)= 最大值。 【解】 f(x)= 则f(x)表示动点P到点A和B距离差。 ，记点P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1）， 因为|PA|-|PA|≤|AB|=所以f(x)max= 2.函数性质应用。 ,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2交点时等号成立。 例3 设x, y∈R，且满足 12 / 18 ，求x+y. 【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2. 例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上解析式。 【解】 设x∈Ik，则2k-1 例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(+1)+n(+1)=0. ① 若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以mⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x= ,但与m<0矛盾。 +1)=0. 0, n0. +1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以 ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=综上，方程有唯一实数解x=3.配方法。 例7 求函数y=x+【解】 y=x+= ( +1)-1≥ = 值域。 [2x+1+2-1=-. ，+∞）。 +1]-1 当x=-时，y取最小值-4．换元法。 例8 求函数y=(【解】令≤2，1≤ + + ，所以函数值域是[-+2)( +1),x∈[0,1]值域。 ≤4,所以 ≤u≤2,所以 ≤ =u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2 ,u2∈[ +2，8]。 ≤2，所以y= ，8]。 所以该函数值域为[2+5．判别式法。 例9 求函数y=值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y1时，①式是关于x方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1. 又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 13 / 18 所以函数值域为[，7]。 6．关于反函数。 例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x1 例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x). 【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1 所以f(x)在（-∞，- >0, ）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。 在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）. 若xy，设x 因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 三、基础训练题 1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意x∈X，它在Y中象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样映射有_______个。 2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)] =f(x)映射有_______个。 3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。 4．函数y=f(x)值域为[ ]，则函数g(x)=f(x)+ 值域为_______。 5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]值域为_______。 6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a取值范围是_______。 7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)单调递减区间为_______。 8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)图象与y=-(-x)图象关于直线_______对称。 9．函数f(x)满足10. 函数y= =1-，则f( )=_______。 , x∈(1, +∞)反函数是_______。 11．求下列函数值域：（1）y=y= ; (2)y=; (3)y=x+2; (4) 12. 已知定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)解析式。 四、高考水平训练题 14 / 18 1．已知a∈, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)定义域为_______。 2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。 3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足10 、 ）。 5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)（4）y= 6. 设函数y=f(x)(x∈R且x函数，则不等式f(x)+f(x- ；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=； 0)，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增 )≤0解集为_______。 7．函数f(x)=，其中P，M为R两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，则f(P) ∩f(M)；③若P∪ M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪MR，则f(P) ∪f(M)R. 其中正确判断是_______。 8．函数y=f(x+1)反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _______。 9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)解析式。 10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)= ，求证：f(x)为周期函数。 ,（1）求f(α)、f(β)；（2） 11．设关于x方程2x2-tx-2=0两根为α，β（α<β），已知函数f(x)= 求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：<2|α-β|. 五、联赛一试水平训练题 1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到曲线所对应函数是________. 2．若a>0，a 1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x) 是________（奇偶性）. 3．若=x，则下列等式中正确有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x. 4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________. 5．已知f(x)是定义在R上函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________. 6. 函数f(x)=7. 函数f(x)=8. 函数y=x+ 单调递增区间是________. 奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。 值域为________. 9．设f(x)=, 对任意a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)最小值。 15 / 18 10．解方程组： （在实数范围内） 11．设k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤ 六、联赛二试水平训练题 1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·fx≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y). ；（2）对所有 2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f=1，试求f(1). 3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）函数f(x)都有f(x)≤cx. 4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)最小值。 5．对给定正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)大值。 + 在[1-q,p]上最 6．已知f: (0,1)→R且f(x)=当x∈ 时，试求f(x)最大值。 . 7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)= 8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它图象在围绕坐标原点旋转角有一个解；（2）试给出一个具有上述性质函数。 ，求f(100)值。 后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰 9．设Q+是正有理数集合，试构造一个函数f: Q+→Q+，满足这样条件：f(xf(y))= x, y∈Q+. 高中数学竞赛讲义（四） ──几个初等函数性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0 2．分数指数幂：。 3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0 4．对数性质（M>0, N>0）； 1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 16 / 18 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1). 5. 函数y=x+（a>0）单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数性质：若a 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1 例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0实数，b1, b2,…,bn∈R，则（等号当且仅当存在 R，使ai= , i=1, 2, …, n时成立。 ）x2-2( )x+ = , ）·（ ）≥( )2， 【证明】 令f(x)= （因为所以△=4(展开得（ ）( >0，且对任意x∈R, f(x)≥0， )-4（ )≥( ）( )≤0. )2。 ，使ai= , i=1, 2, …, n。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在 例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=最小值。 【解】u==xy+ +2. =xy+≥xy++2· 令xy=t，则0 + ≤1，所以f(t)在，所以u≥ ++ 上单调递减。 +2. +2. 当x=y=时，等号成立. 所以u最小值为2．指数和对数运算技巧。 17 / 18 例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求值。 【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+ 记x=又 >0，所以 = ，则1+x=x2，解得 例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70， ，求证：a+b=c. 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底对数，得 ， 因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题桥梁。 3．指数与对数方程解法。 解此类方程主要思想是通过指对数运算和换元等进行化简求解。值得注意是函数单调性应用和未知数范围讨论。 18 / 18 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容