概率与数理统计习题1-5答案

练习：

一、判断正误

1．必然事件在一次试验中必发生,小概率事件在一次试验中一定不发生.（Х） 2．事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（Х） 3．事件的对立与互不相容是等价的。（Х） 4．若P(A)0, 则A。（Х）

5．若P(A)0.4,P(B)0.5,则P(AB)0.2。 （Х）

6．A,B,C三个事件至少发生两个可表示为ABBCAC（√）

7．考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{(两个男孩)（ ，两个女孩),(一个男孩，1（Х） 一个女孩)}，则P 两个女孩=。38．若P(A)P(B)，则AB。（Х）

9．n个事件若满足i,j,P(AiAj)P(Ai)P(Aj)，则n个事件相互独立。（Х） 10．只有当AB时，有P(B-A)=P(B)-P(A)（Х） 二、选择题

1．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数为2的概率为（ B ）

3917A． B． C． D．

81616162． 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 ( D ) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销”

D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”

3．若A, B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是 ( A ) A. P(A∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)

C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 4．设P(AB)a,P(A)b,P(B)c，则P(AB)等于 ( B ) A. (ac)c B. ac1 C. abc D. (1b)c

1

5.假设事件A和B满足P(B|A)=1, 则(B)

A. A是必然事件 B. P(B|A)0 C. AB D. AB 6.设0A. 事件A, B互不相容 B. 事件A和B互相对立 C. 事件A, B互不独立 D. 事件A, B互相独立 7.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ C ）

A．3p(1p) B．6p(1p)2 C．3p2(1p)2 D．6p2(1p)2

1418.已知P(BA),P(BA),P(AB),则P(A),P(B)的值分别为：(D)375

14131433A.,B.,C.,D.,37351535105三、解答题

1.设P(A)p,P(B)q,P(AB)r,求下列事件的概率：P(AB),P(AB),P(AB),P(AB).解：由德摩根律有P(AB)P(AB)1P(AB)1r;

____

P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)qr;

P(AB)P(A)P(B)P(AB)(1p)q(qr)1rp;

P(AB)P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]1(pqr).

________2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：设事件A 甲表示甲命中，A乙表示乙命中，B表示目标被命中。P(A甲B)P(A甲B)P(A甲)0.6=0.75P(B)P(A甲A乙)0.6+0.5-0.60.5

（因为A甲B，所以A甲BA甲），目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以P(B)=P(A甲A乙)甲乙独立射击，所以P(A甲A乙)P(A甲)P(A乙)。3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的

概率。

2

解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以 设B表示潜艇被击沉，Ai,i1,2,3,4为第i枚深水炸弹击沉潜艇。

P(B)P(A1A2A3A4)1P(A1A2A3A4)1P(A1A2A3A4)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)10.44_______________________

4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中患肺癌的概率。 解：设A表示吸烟，B表示患肺癌。

P(AB)90%,P(AB)20%,P(B)0.1%.已知条件为P(BA)P(B)P(AB)P(AB) P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)0.0010.90.0010.90.9990.2第二章 随机变量及其分布

练习题：

一、判断正误：

1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（ X ）

2.当n充分大时，二项分布B(n,p)可近似成泊松分布，也可近似成正态分布。( X )

3.设X是随机变量，有P(aXb)P(aXb)。( X )

4.若X的密度函数为f(x)=cosx,x[0,]，则P(0X)costdt. ( X )

02二、选择题

11．已知离散随机变量X的概率函数为P(Xk)a()k,(k0,1,2)则系数

3a=( C )

14912A. ; B. ; C. ; D. ;

131313132.设在[a, b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a, b]外，f(x)=0，则区间[a,b]等于：( A )

3 A. [0,]; B. [0,]; C. [,0]; D. [0,].

2223.设随机变量X~B(2, p), 随机变量Y~B(3, p),若P(X≥1)=5/9, 则 P(Y≥1)=( B ).

A. 1/27; B. 19/27; C. 1/9; D.7/9 4. 设F1(x)与F2(x)分别为任意两个随机变量的分布函数，令

 3

则下列各组数中能使F(x)为某随机变量的分布函数的有F(x)aF1(x)bF2(x)，（ A ）

32223113A. a,b; B. a,b; C. a,b; D. a,b;

55332222

三、解答题

1. 口袋中有7个白球，3个黑球.

(1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率分布； (2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，求此时X的概率分布. 解：X的首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1, 2, 3, 4，记Ai为“第i次取出的球为黑球”i=1,2,…，10.

7(1)由乘法公式得P(X1)P(A1),

10377P(X2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),

10930

P(X3)P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)3277,1098120

P(X4)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

32171,10987120故X的概率分布为

X 1 2 3 4  P 7/10 7/30 7/120 1/120

(2) 如果取出黑球不放回，而另外放入一个白球，则由乘法公式得：

P(X1)P(A1)7, 10P(X2)P(A1A2)386 ,10102532927

P(X3)P(A1A2A3),101010500321103 ,10101010500P(X4)P(A1A2A3A4)故X的概率分布为 1 2 3 4 X

4

P 7/10 6/25 27/500 3/500 112． 设X的概率分布是P(X1),P(X1),求它的分布函数。

22解：当x1时，F(x)P(Xx)0;

1当1x1时，F(x)P(Xx)P(X1);

2当x1时，F(x)P(Xx)P(X1)P(X1)111; 220,x1;1故F(x),1x1;

2x1.1,3. 设随机变量X的概率密度为

Ax(1x)3,0x1;f(x)

0,其他(1) 求常数A；(2) 求X的分布函数；(3) 求P(X>1)

解: (1)由概率密度的性质得

1f(x)dxAx(1x)3dx1

011001故A=20.

0Ax(1x)3dxA(1x)4dxA(1x)3dx

AAA, 5420x(2)当x<0时，F(x)P(Xx)0dx0

0当0≤x<1时，F(x)P(Xx)0dx20t(1t)3dt1(14x)(1x)4

0x当x≥1时, F(x)P(Xx)20x(1x)3dx1

01所以X的分布函数为

x0;0,F(x)1(14x)(1x)4,0x1;

1,x1.(3)P(X1)1P(X1)1F(1)110.

4.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等

于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

5

443004解：P0.1689，np3000.013。 1(x4)C3000.010.99343P2(x4)e0.1680

4!R

P1-P20.53% P1第三章 随机变量的数字特征

练习

一、判断正误：

1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )

2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)

3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X ) 4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)

5.对于任意的X,Y，都有D(XY)DXDY成立。( X ) 二、选择题

1.X~B(n,p),EX2.4,DX1.44,则n,p的值为（ B ）

A. 4, 0.6； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 2.随机变量X的数字期望为2，方差等于4，则E[D(X)], D[E(X)]的值分别为( D ) A. X, X； B. 2, 4； C. 4, 2； D. 4, 0. 3. 设X~P(1),则Y3X22X1的数学期望为( C )

A. 8; B. 1; C. 7; D. 2;

4.设X是随机变量,E(X),D(X)2,则对于任意的常数c, 有（D ）

A.E(Xc)2E(X2)c2； B.E(Xc)2E(X)2 C.E(Xc)2E(X)2； D.E(Xc)2E(X)2 5.对于X与Y，若EXY=EXEY，则下列结论不正确的是（A） A. X与Y相互独立 B. X与Y必不相关 C. D(X+Y)=DX+DY D. cov(X,Y)=0 三、计算题

1.设X的概率密度为

6

cosx,0x; f(x)20,其他试求E(X),D(X).

解：E(X)xf(x)dx2xcosxdx2xdsinxxsinx|22sinxdx1

00002E(X)xf(x)dx2xcosxdx0222242

故D(X)E(X2)[E(X)]23

2.设X与Y独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设U2XY,V2XY

求U与V的相关系数。 解：cov(U,V)EUVEUEV.

E(UV)E(2XY)(2XY)E(4X2Y2)4(DXE2X)(DYE2Y)3(2).EUEVE(2XY)E(2XY)(2)(2)32. cov(U,V)EUVEUEV3(2)323.

DUD(2XY)4DXDY5;DVD(2XY)4DXDY5.

cov(U,V)33.

DUDV5553．游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行。一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望. 解：因X~U(0,60),故其概率密度为

1,0x60 f(x)600,其它由题意得

5X,0X5;25X,5X25; Yg(X)55X,25X55;60X5,55X60;所以E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx160g(x)dx 60025556015[(5x)dx(25x)dx(55x)dx(65x)dx]

525556002555606015[5dx25dx55dx65dxxdx]525550 60011.67(分钟) 7

第四章 正态分布

练习：

一、判断题

1.若X~N(0,1),Y~N(2,1),则XY~N(2,2).（ X ） 2.若X~N(,2),则P(X0)1. （ √ ） 23.正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于y轴对称。（X） 4.正态分布密度函数的图象对称轴由决定，平坦度由2决定。（√） 5. P(aXb)(b)(a)（√） 二、选择题

1. 已知连续随机变量X的概率密度函数为

f(x)1ex22x1

则X的数学期望、方差分别为（ B ）.

1A．2,1 B. 1, C. 1,0 D. 无法计算

22.若X~N(0,1),Y~N(2,1),且相互独立，则2X3Y服从（ C ）分布. A. N(0,1) B. N(-6,-1) C. N(-6,13) D. N(-6, -5) 3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：

X~N(,42),Y~N(,52)

而p1P(X4);p2P(Y5),则(B).

A.对任何实数，都有p1p2;C.只对的个别值，才有p1p2;B.对任何实数，都有p1p2D.对任何实数，都有p1p2.4.若两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则（ B ）。

1A.P(XY0);B.P(XY1)21C.P(XY0);B.P(XY1)21;21;2

2XN(,)，则随的增大，P(X)的值（ C ）5.已知。

8

A.单调增加；C.保持不变；B.单调减少；D.非单调变化.

6.在本门课程中，习惯上用u表示标准正态分布的上侧分位数，则

(u)(B)

A.;B.1;C.12;D.无法确定。

7.若X~N(0,1),且P(Xu),则P(Xu)(B).

A.B.2C.2D.12

三、计算题

2XN(8,0.5),求 1.已知

P(X9),P(7.5X10),P(X81),P(X90.5).。解：

98)(2)0.9772,0.51087.58P(7.5X10)F(10)F(7.5)()()0.50.5(4)(1)(1)0.8413,P(X9)F(9)(X81P(X81)P()2(2)10.9544,0.50.5P(X90.5)P(0.5X90.5)P(8.5X9.5)(

9.588.58)()10.84130.1587.0.50.52. 某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从正态分布，平均

成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在6084分之间的概率。

解：设X表示考生的英语成绩，则XN(72,2)，由已知有

P(X96)0.023,则P(X96)10.0230.977,

即P(X729672)(24)0.977,查正态分布表知

242,所以12.要求

6072X728472P(60X84)P()(1)(1)2(1)10.6826.

121212

9

3.设X1,,X100相互独立，且Xi~U(0,20),i1,,100,令XXi,

i1100求P(X1100).(查表(3)0.9582)

(200)2100解：由X1,,X100相互独立， 且Xi~U(0,20),得E(Xi)10,D(Xi)1231001002100 E(Xi)1000,D(Xi),(Xi)33i1i1i1100100由独立同分布的中心极限定理，

P(X1100)1P(X1100)

1P(X100011001000) 100100331P(X10003)1(3)0.0418. 1003第五、六章 数理统计的基本知识及参数估计

练习

一、判断题

1.若(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，则X1,X2,,Xn相互独立. （ √） 2.不含总体X的任何未知参数的样本函数g(X1,X2,,Xn)就是统计量. ( √ ) 3.样本矩与总体矩是等价的。（ X ）

4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )

1nˆX，ˆ(XiX)25.设总体X~N(,),其中，未知，则估计量ni1222分别是，2的无偏估计量.( X )

6.参数的点估计适用于总体分布中参数未知的情形。（ √） 7.同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。（ X ） 8.同一参数的两个估计量方差越小的越有效。（ X ） 二、选择题

1.设X1，X2，下面不是统,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，其中,2未知，计量的是（ D ）

10

A.max(X1,X2,,Xn);1nC.S(XiX)2;n1i121nB.XXi;ni1D.(Xi)2.

i1n

2. 若X~N(0,1),Y~24X2服从（ A ）分布. (4),且X，Y相互独立，则YA. F(1,4) B. t(2) C. N(0,1) D. F(4, 1) 3. 设总体X~N(,2),其中，2未知, (X1,X2,,Xn)是来自X的样本，则估计量X,S2的E(X),D(X),E(S2)分别为（ D ）

A．X,, B. ,, C. 0,1,1 D. ,24.下列统计量服从(n)分布的是：（D）

n2222n,2

A.(n1)S22(n1)S1221B.(Xi1iX)2n2D.2(X)ii1C.21n,S(XiX)2ni12

5.设X~N(0,1),且t0.025()1.96,则P[Xt0.025()](C)

A．1.96； B.0.05; C.0.025; D.0.95 6.若1，1，1，0，1，1是来自总体B(1,p)的观察值，则p的矩估计量是（D ）

A.35B.25C.125D. 67.总体X服从(0,)上的均匀分布，0未知，X1,X2Xn是来自总体X的一个样本，则的矩估计量为：（B ）

A.XB.2XC.min{X1,X2Xn}D.max{X1,X2Xn}

8.总体X的分布律为P(Xx)xex!,x0,1,2，而1，2，5，7，8是来自X的观察值，则的最大似然估计值为（ C）

23A.4B.5C.D.3

59.X1,X2,X3是来自总体X的一个样本，DX2，则以下无偏估计量中（ B）

11

最有效。

312A.X1X2X3555111C.X1X2X36321B.(X1X2X3)3

111D.X1X2X3442三、计算题

1.X1,X2Xn是来自总体X的一个样本，其中总体有密度

2,(x),0x（i）求未知参数的矩估计量 f(x,)20,其他（ii）判断矩估计量的无偏性

（iii）计算估计量的方差

解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望

EXx02(x)dxx202dx202x2x2xdx222x30230令EXX即=X，得=3X。3EE(3X)3E(X)3E(X)3， （ii）

3所以该估计量是无偏估计量。 （iii）估计量的方差

3

.DXEXEXx0(x)dx();318

DX2D()D(3X)9D(X)9.n2n22222222. 设总体X的概率密度为

(1)x,0x1f(x)，1

0,其他(X1,X2,,Xn)是来自总体X的一个样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求参数的估计量。

解：(1) 矩估计法

E(X)xf(x)dx(1)x1dx011211x|022用样本一阶原点矩代替总体一阶原点矩， XE(X)，即

12

X1 2ˆ2X1 解得1Xˆ2X1. 所以参数的矩估计量为1X(2) 样本(X1,X2,,Xn)的似然函数为

n(1)xi,L()f(xi,)i1i10,nn0xi1,(i1,2,,n)其它.0xi1,(i1,2,,n)其它.n(1)n(xi)n,i10,nnn

lnL()ln[(1)(xi)]nln(1)lnxi

i1i1ndlnL()nlnxi0 d1i1解得

ˆ1nn

ilnxi1从而的最大似然估计量为

ˆ1nlnXi1n

i

13