简易逻辑

考纲导读 1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．知识网络 逻 辑 联 结 词 命题 简易逻辑性 简单命题与复合命题 四种命题及其关系 充分必要条件 高考导航 1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．

2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．

第1课时 逻辑联结词和四种命题

基础过关 一、逻辑联结词

1． 可以 的语句叫做命题．命题由 两部分构成；

命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题．2．逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题．

由 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题)．

3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形 ．二、四种命题

1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .

2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．

3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．

典型例题 - 1 -

例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 （ ）A．p:0＝；q:0∈B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； q:y＝sinx在第一象限是增函数C．p:ab2ab(a,bR)；q:不等式xx的解集为,022x2y21的一条准线方程是D．p：圆x1(y2)1的面积被直线x1平分；q：椭圆43x＝4

变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ）A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p和命题“非q”真值不同D．命题q和命题p的真值不同

例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:

2

(1) 若q<1，则方程x＋2x＋q＝0有实根；(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；

22

(3) 若x＋y＝0，则x、y全为零.

变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.

例3. 已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

x

变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.

例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x－2y＋

2

22

，b＝y－2z＋，c＝z－2x＋．求证：2632

2

2

a、b、c中至少有一个大于0．

变式训练4：已知下列三个方程：①x＋4ax－4a＋3＝0，②x＋(a－1)x＋a＝0，③x＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．

2

1(4a)24(4a3)022则2(a1)4a023(2a)8a0解得a1．故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－．

小结归纳

1．有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式．

2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．

3232- 2 -

3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．

第2课时 充要条件

基础过关 1．充分条件：如果pq则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．2．必要条件：如果qp则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．3．充要条件：如果pq且qp则p叫做q的 条件．

典型例题 例1．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．1． A：p2,pR，B：方程x2pxp30有实根；2． A：2k,(kZ)，B：sin()sinsin；3．A：2x31；B：

1xx620；

4．A：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，B：c2(a2b2)r2.

变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB （2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; （3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B

22

（4）已知x、y∈R，p：（x-1）+（y-2）=0，q：（x-1）（y-2）=0.

2

例2. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

2

变式训练2：证明一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p： |1－

x122

|≤2，q：:x－2x+1－m≤0(m>0)，若p是q的必要而不充分条3件，求实数m的取值范围.

解： 由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.

变式训练3：已知集合M{x||x1||x3|8}和集合P{x|x2(a8)x8a0}，求a的一个取值范围，使它成为MP{x|5x8}的一个必要不充分条件.

22

例4. “函数y＝(a＋4a－5)x－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？

变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2＋(a1)xa0，且xP的充要条件是xS，求实数a的取值范围．

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归纳小结 1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．

3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．

4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．

5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．

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简易逻辑章节测试题

一、选择题

1．设集合M{xx2},P{xx3},那么\"xM或xP\"是\"xMP\"的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2

3.已知条件p：（x+1）>4，条件q:x>a,且p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ）

A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-3 D.a≤-3

4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）

7.已知a,b都是实数，那么“a>b”是“a>b”的 （ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2

8.若集合A={1，m}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

an21*

9.若数列{an}满足2=p（p为正常数，n∈N），则称{an}为“等方比数列”.

an2

2

甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则 ( ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

10.命题p:若a、b R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=

|x1|2的定义域是

，13，，则

（ ）

A．“p或q”为假 B．“p且q”为真

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C．p真q假 D．p假q真 二、填空题

11．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点Pn(n,an)都在直线y2x1上”是“{an}为等差数列”的 条件．

12.设集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B= .

2

13.已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x，则非p是非q的 条件. 14.不等式|x|15.已知下列四个命题： ①a是正数；②b是负数；③a+b是负数；④ab是非正数.

选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题

22

16．设命题p：（4x-3）≤1;命题q:x-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

22

17．求关于x的方程ax-(a+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.

2222

18．设p：实数x满足x-4ax+3a<0,其中a<0；q：实数x满足x-x-6≤0，或x+2x-8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.

2

19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；

2

（2）是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.

20．已知c0，设p:函数ycx在R上单调递减，q：不等式x|x2c|1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

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