一、相似
1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得
解得
∴抛物线解析式为：y= x2− x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-
＝1
（2）解：存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=- ∴y=- x
则P点坐标为（1，- ）
（3）解：当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，- a−1） ∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a， a−1） 把M代入y= x2− x−1，解得 a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。
（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。
（3）分情况讨论：当△AOC∽△MNC时，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E，由∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°得出∠CDN=∠CAO，再证明∠CDN=∠CMN，根据MN⊥AC，可得出M、D关于AN对称，则N为DM中点，设点N坐标为（a，- a-1），根据△EDN∽△OAC，得出点D、M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得出点N的坐标；当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM，得出CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N，就可求出点N的坐标。
2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ 连接 ,
.
，
均为半圆切线，
≌
，
则 ∴四边形 ∴DQ∥ ，
，
为菱形，
∵
均为半圆切线，
为平行四边形 ∴
∽
，
，
∴ ∥ ， ∴四边形
（2）证明：易得 ∴ = ， ∴ ∵ ∴ 过 点作
. 是半圆的切线，
. 于点 ，
则 在 ∴ 解得： ∴ ∴
， . 中，
， ，
【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形 ，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。
，可得
BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．
（1）若AB=3，AD=
，求△BMC的面积；
BN ．
（2）点E为AD的中点时，求证：AD= 【答案】（1）解：如图1中，
在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，∴BM=AD= ×23=3．
（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．
，∴AM=
=1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= •CM•BA=
∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，∴△ABM∽△ECM，∴
，∴
，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，
∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC ∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC=
EC，∴AD=2EC，∴2NC= 得出BM=AD=
AD，∴AD= NC，∵BN=NC，∴AD=
BN．
【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等
，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用
S△BCM= •CM•BA即可得出答案；
（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶ CM= AM∶ EM,从而得出BM∶ AM= CM∶ EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= AD=
NC，又BN=NC，故AD=
BN．
EC，根据AD=2EC，2NC=
AD，
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF； （3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长． 【答案】（1）证明：如图，连接OE． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF．
（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1 ∴HF＝1
在Rt△HFE中，EF= ∵EF⊥BE ∴∠BEF=90° ∴∠EHF=∠BEF=90° ∵∠EFH=∠BFE ∴△EHF∽△BEF ∴ ∴BF=10 ∴
,
, ,
,
，即
＝
∴在Rt△OHE中， ∴在Rt△EOA中， ∴ ∴
∴
.
【解析】【分析】（1）连接OE．利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE∥BC，从而得∠AEO=∠C=90°，可得到证明；
（2）连结DE．利用AAS可证△CDE≌△HFE，从而得到证明；
（3）证△EHF∽△BEF，由相似三角形的性质可求得BF，从而得到OE，在Rt△OHE和△EOA中，由cos∠EOA可求出OA，从而求出AF.
5．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E.F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC.设点P的运动时间为x（秒）.
（1）用含有x的代数式表示CE的长； （2）求点F与点B重合时x的值；
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）.求y与x之间的函数关系式；
（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x值. 【答案】 （1）解：∵∠C=90°，PD⊥BC， ∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形， CE=PD.. ∴ ∴CE=6x；
.
（2）解：∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角， ∴△CEF∽△CBA， ∴ ∴
当点F与点B重合时，
.
.
CF=CB，9x=20. 解得
.
（3）解：当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20， 解得 当
. 时，
=-51x2+120x.当 ＜x≤ 时，
= （或
）
（20-4x）2.
（4）解：①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x= ；△B′DE为拼成的三角形；
②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x= ；△BDC为拼成的三角形；
③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x= ，△DPF为拼成的三角形.
【解析】【分析】（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；（3）首先证明
Rt△DOE∽Rt△CEF，得出 边长相等得出答案.
，即可得出y与x之间的函数关系式；（4）根据三角形
6．
（1）【探索发现】 如图1，是一张直角三角形纸片， 以
，小明想从中剪出一个
为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得
的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________. （2）【拓展应用】如图2，在 用含a、h的代数式表示 ；
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，
，小明从中剪出了一个面积最大的矩形
矩形的面积. 【答案】 （1） （2）解：
∽ ，可得
设
当
，由
时，
最大值为 .
于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P
， ，
，
，
，
，
，
为所剪出矩形的内角 ，直接写出该
中，
，BC边上的高
，矩形PQMN
的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值
（3）解：如图，过DE上的点P作 作
于点H，
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形， 设
，则 ， ，
由 即
∽
，得
， ， 知
， ，
，
则矩形BGPH的面积
当
，
中位线， ，
，
，
，
时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
、ED为 ，
【解析】【解答】（1）解：
，
又
，
四边形FEDB是矩形，
，
则
故答案为： ；
，
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 △APN∽△ABC知
，可得PN=a-
，设PQ=x，由S
可得；（2）由
PQMN=PQ•PN=
矩形
，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长
GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知
，据此求得EI=
，PH= 可得答案.
，再根据矩形BGPH的面积S=
7．在平面直角坐标系中，点A
.
点B
已知
满足
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交 轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标；
（3）在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。 【答案】 （1）（-4,0）；（0，-4） （2）解：作FH⊥OA于H，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，
∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°， ∴∠AFH=∠OAE, ∵AF=OA， ∴△AFH≌△EAO， ∴FH=OA，
∵点A（-4,0），点B（0，-4） ∴FH=OA=OB=4，
∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO, ∴△FDH≌△BDO，
∴OD=DH=1， ∴AH=OH=OE=2， ∴E（0，-2）
（3）解：结论：MN=OM,MN⊥OM， 理由：连接OH，OM与BN交于G，
∵OA=OB,∠AOB=45°， ∴∠OAB=45° ∵OE=EB=2，EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°， ∵∠MON=45° ∴∠GON=∠GHM, ∵∠NGO=∠MGH, ∴△NGO∽△MGH， ∴ = , ∴ = , ∵∠NGM=∠OGH, ∴△NGM∽△OGH， ∴∠NMG=∠OHG=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴MN=OM,MN⊥OM. 【解析】【解答】（1）∵ ∴a=-4，b=-4,
∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4）
【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出 = ,再推出
=0,
= ,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
8．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。 【答案】（1） 或 或 （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB =∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴ = ， 即CA2=BC·AD， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2=BC·AB， ∴△ABC是比例三角形.
.
（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,
∴BH= BD,
∴AD∥BC，∠ADC=90°, ∴∠BHA=∠BCD=90°, 又∵∠ABH=∠DBC, ∴△ABH∽△DBC, ∴ = , ∴AB·BC=DB·BH, ∴AB·BC= BD2, 又∵AB·BC=AC2, ∴ BD2=AC2, ∴ =
.
【解析】【解答】解：（1）∵已知△ABC是比例三角形，依题可得： ①当AB2=BC·AC时， ∵AB=2，BC=3． ∴4=3AC， ∴AC= ； ②CB2=AB·AC， ∵AB=2，BC=3． ∴9=2AC， ∴AC= ； ③AC2=BC·AB， ∵AB=2，BC=3． ∴AC2=2×3， ∴AC=
.
.
综上所述：AC的长为： 或 或
【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：①当AB2=BC·AC时，②CB2=AB·AC，③AC2=BC·AB，代入CB、AB的数值分别求得AC长.
（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得△ABC∽△DCA，由相似三角形的性质得CA2=BC·AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得∠ADB=∠ABD，根据等腰三角形等角对等边得AB=AD，将此代入上式即可得证.
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH= BD,由相
似三角形的判定和性质得AB·BC=DB·BH,即AB·BC= BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.
9．如图，抛物线 连接AB，AC，BC．
经过
，
两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB平分
；
是以AB为直角边的直角三角形，若
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得
存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：将 解得：
，
，
，
代入得：
，
抛物线的解析式为
，
，
（2）解：
，
取
，则
，
由两点间的距离公式可知
，
，
，
， ，
在
和 ≌ 平分
中， ， ，
，
，
，
（3）解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为
， ， ， ， ， ，
同理： 又
， ， ，
点M的坐标为
或 ， ，则
，
．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B两点坐标分别代入抛物线的解析式，求出a、b的值，即可解答。
（2）利用勾股定理，在Rt△AOC中，求出AC的长，再根据两点间的距离公式求出BD的长，由点B、C的坐标，求出BC的长，可证得BD=BC，然后证明△ ABC ≌ △ ABD ，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（3）抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．求出抛物线的对称轴，就可求出AE的长，再利用点A、B的坐标，求出tan∠EAB的值，再由∠ M'AB = 90 °，求出tan∠∠M'AE的值，求出M'E的长，就可得出点M的坐标，再用同样的方法求出点M的坐标，即可解答。
10．如图，在四边形
ABCD
中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，
AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC， ∴∠FDE=∠CDE，
在△FED和△CDE中， DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE ∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90° ∴∠DEF=∠DEC， ∵AD=AB+CD，DF=DC， ∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL） ∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。 ∴AE⊥DE
②解：过点D作DP⊥AB于点P，
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM， ∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值， ∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6， ∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°， ∴四边形DPBC是矩形， ∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2， 在Rt△APD中，DP= ∴FN∥DP， ∴△AFN∽△ADP ∴ 即 解得FN=
， ， ，
=
，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴BM+MN的最小值为
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM， 当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= 角形性质得
=
；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三
，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A ， C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝ AC ．
（1）在x轴上找一点D ， 连接DB ， 使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如P ， Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ， 设AP＝DQ＝m ， 问是否存在这样的m ， 使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：如图1，过点B作BD⊥AB ， 交x轴于点D ，
∵∠A＝∠A ， ∠ACB＝∠ABD＝90°，
∴△ABC∽△ADB ，
∴∠ABC＝∠ADB ， 且∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴△ABC∽△BDC ， ∴
∵A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC＝4， ∵BC＝ AC ． ∴BC＝3， ∴AB＝ ∵ ∴
， ，
＝
＝5，
∴CD＝ ，
∴AD＝AC+CD＝4+ ＝ ， ∴OD＝AD﹣AO＝ ， ∴点D的坐标为：（ ，0）；
（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，
∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ ， ∴△APQ∽△ABD ， ∴
，
∴
∴m＝ ，
如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，
∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD ， ∴△APQ∽△ADB ， ∴
，
∴ ∴m＝
；
综上所述：当m＝ 或
时，△APQ与△ADB相似．
【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB ， 交x轴于点D ， 可证△ABC∽△ADB ， 可得∠ABC＝∠ADB ， 可证△ABC∽△BDC ， 可得 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
，可求CD
12．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC ， 过A点的切线AP与BC的延长线交于点P ， ∠APB的平分线分别交AB ， AC于点D ， E ， 其中AE ， BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M ， 使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）解：∵PD平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切， ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴
，
∴PA•BD=PB•AE
（2）解：如图，过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，
∵PD平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易证：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0的两个实数根， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知：
，
∴cos∠APC=
，
∴cos∠BDF=cos∠APC= ， ∴
，
∴DF=2， ∴DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD=DF，
∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC= ， ∴sin∠BAC= ∴ ∴DG=
， ，
=
.
，
∴菱形ADME的面积为：DG•AE=2×
【解析】【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案.（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：
，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而
可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容