一、选择题
1. 设Sn是等比数列{an}的前项和,S45S2,则此数列的公比q( )
A.-2或-1 B.1或2 C.1或2 D.2或-1 2. 已知Py)(x,为区域z=2x﹣y的最大值是 内的任意一点,当该区域的面积为4时,( )
A.6
B.0
C.2
D.2
3. 已知x,y满足时,z=x﹣y的最大值为( ) A.4
B.﹣4 C.0
D.2
4. 已知,则f{f[f(﹣2)]}的值为( )
A.0
B.2
C.4
D.8
5. 为了得到函数的图象,只需把函数y=sin3x的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度
D.向左平移
个单位长度
6. 已知函数
,,若,则( )
A1 B2 C3 D-1
7. 某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为( )
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8A. 316C. 3
何体的表面积为 ( )
B.4 20D. 3
的半圆,则该几
8. 某个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中的圆弧是半径为2
A.9214 B.8214 C.9224 D.8224
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用,难度中等.
9. a=﹣1是直线4x﹣(a+1)y+9=0与直线(a2﹣1)x﹣ay+6=0垂直的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
10.若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1} 11.若某算法框图如图所示,则输出的结果为( )
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A.7 B.15 C.31 D.63
12.若圆x2y26x2y60上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数)的距离为, 则a( )
A. 1 B. 23 C.2 D. 42二、填空题
13.将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中,则正四棱柱容器的高的最小值为 .
1的一条对称轴方程为x,则函数f(x)的最大值为( ) 26A.1 B.±1 C.2 D.2 14.已知函数f(x)asinxcosxsinx2【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想.
1,3),B(1,1,1),且|AB|22,则m . 15.在空间直角坐标系中,设A(m,16.若函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增,则实数的取值范围是__________.
三、解答题
17.已知函数f(x)=lnx的反函数为g(x).
(Ⅰ)若直线l:y=k1x是函数y=f(﹣x)的图象的切线,直线m:y=k2x是函数y=g(x)图象的切线,求证:l⊥m;
(Ⅱ)设a,b∈R,且a≠b,P=g(大小,并说明理由.
),Q=
,R=
,试比较P,Q,R的
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18.已知函数f(x)(xk)ex(kR). (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)求f(x)在x1,2上的最小值.
(3)设g(x)f(x)f'(x),若对k,及x0,1有g(x)恒成立,求实数的取值范围.
22
19.已知函数f(x)353x,x2,5. x1(1)判断f(x)的单调性并且证明;
(2)求f(x)在区间2,5上的最大值和最小值.
20.已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,|AB|=4.
(I)求p的值;
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(II)若经过点D(﹣2,﹣1),斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点,求k的取值范围.
21.一艘客轮在航海中遇险,发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查,发现遇险客轮的航行方向为南偏东75,正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
(1)为了在最短的时间内追上客轮,求海难搜救艇追上客轮所需的时间; (2)若最短时间内两船在C处相遇,如图,在ABC中,求角B的正弦值.
22.(本小题满分12分)如图所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边 三角形,ADDE2AB,F为CD的中点. (1)求证:AF//平面BCE; (2)平面BCE平面CDE.
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南山区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(参)
一、选择题
1. 【答案】D 【解析】
试题分析:当公比q1时,S45S20,成立.当q1时,S4,S2都不等于,所以
S4S2q24, S2q2,故选D.
考点:等比数列的性质. 2. 【答案】A 解析:解:由
作出可行域如图,
由图可得A(a,﹣a),B(a,a), 由
∴A(2,﹣2),
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,
∴当y=2x﹣z过A点时,z最大,等于2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 3. 【答案】A
【解析】解:由约束条件
作出可行域如图,
,得a=2.
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联立,得A(6,2),
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z,
由图可知,当直线y=x﹣z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为4. 故选:A.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
4. 【答案】C 【解析】解:∵﹣2<0 ∴f(﹣2)=0
∴f(f(﹣2))=f(0) ∵0=0
∴f(0)=2即f(f(﹣2))=f(0)=2 ∵2>0
2
∴f(2)=2=4
即f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4 故选C.
5. 【答案】A
个单位长度,可得y=sin3(x﹣
)=sin(3x﹣
)的图象,
【解析】解:把函数y=sin3x的图象向右平移
故选:A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
6. 【答案】A
【解析】g(1)=a﹣1, 若f[g(1)]=1, 则f(a﹣1)=1,
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即5|a﹣1|=1,则|a﹣1|=0, 解得a=1 7. 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知,该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点,上底面
120
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图,其体积V=23-×2×2×1=,故选D.
338. 【答案】A
9. 【答案】A
=﹣1,解得a=.
【解析】解:当a=﹣1时,两条直线分别化为:4x+9=0,y+6=0,此时两条直线相互垂直; 当a=0时,两条直线分别化为:4x﹣y+9=0,﹣x+6=0,此时两条直线不垂直; 当a≠﹣1,0时,两条直线的斜率分别:
,
,∵两条直线相互垂直,∴
2
综上可得:a=﹣1是直线4x﹣(a+1)y+9=0与直线(a﹣1)x﹣ay+6=0垂直的充分不必要条件.
故选:A. 中档题.
10.【答案】D
【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线的充要条件,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于
【解析】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选D.
11.【答案】 D
【解析】解:模拟执行算法框图,可得 A=1,B=1
满足条件A≤5,B=3,A=2 满足条件A≤5,B=7,A=3 满足条件A≤5,B=15,A=4 满足条件A≤5,B=31,A=5 满足条件A≤5,B=63,A=6
不满足条件A≤5,退出循环,输出B的值为63.
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故选:D.
【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环A,B的值是解题的关键,属于基础题.
12.【答案】B 【解析】
试题分析:由圆x2y26x2y60,可得(x3)2(y1)24,所以圆心坐标为(3,1),半径为r2,要使得圆上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数)的距离为,则圆心到直线的距离等于
1r,即23aa211,解得a2,故选B. 1 4考点:直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系,其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力和转化的思想方法,本题的解答中,把圆上有且仅有三个点到直线的距离为,转化为圆心到直线的距离等于是解答的关键.
1r2二、填空题
13.【答案】 4+
∵底面边长为6,∴BC=则∴
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为:4+
.
.
,
,
=
,
.
【解析】解:作出正四棱柱的对角面如图,
,
球O的半径为3,球O1 的半径为1, 在Rt△OMO1中,OO1=4,
【点评】本题考查球的体积和表面积,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.
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14.【答案】A 【
解
析
】
15.【答案】1 【解析】 试题分析:AB16.【答案】a2 【解析】
试题分析:因为f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增,所以x(1,2)时,f'xm1211231222,解得:m1,故填:1.
考点:空间向量的坐标运算
a10恒成立,即xax恒成立,可得a2,故答案为a2.1
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式恒成立问题.
三、解答题
17.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=lnx的反函数为g(x).
x
∴g(x)=e.,f(﹣x)=ln(﹣x),
则函数的导数g′(x)=e,f′(x)=,(x<0),
x
设直线m与g(x)相切与点(x1,则切线斜率k2=
=
),
,则x1=1,k2=e,
=
,则x2=﹣e,k1=﹣,
设直线l与f(x)相切与点(x2,ln(﹣x2)),则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1,则l⊥m. (Ⅱ)不妨设a>b, ∵P﹣R=g(
)﹣
=
﹣
=﹣
<0,∴P<R,
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∵P﹣Q=g()﹣=﹣
==,
xxxx
令φ(x)=2x﹣e+e﹣,则φ′(x)=2﹣e﹣e﹣<0,则φ(x)在(0,+∞)上为减函数,
故φ(x)<φ(0)=0, 取x=
,则a﹣b﹣
⇔
令t(x)=﹣1+则t′(x)=﹣
,
=
≥0,
+
<0,∴P<Q, =
=1﹣
则t(x)在(0,+∞)上单调递增, 故t(x)>t(0)=0, 取x=a﹣b,则∴R>Q, 综上,P<Q<R,
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小,考查学生的运算和推理能力,综合性较强,难度较大.
18.【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(k1,),单调递减区间为(,k1),
﹣1+
>0,
f(x)极小值f(k1)ek1,无极大值;(2)k2时f(x)最小值f(1)(1k)e,2k3时f(x)最小值f(k1)ek1,k3时,f(x)最小值f(2)(2k)e2;(3)2e.
【解析】
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(2)当k11,即k2时,f(x)在1,2上递增,∴f(x)最小值f(1)(1k)e; 当k12,即k3时,f(x)在1,2上递减,∴f(x)最小值f(2)(2k)e2; 当1k12,即2k3时,f(x)在1,k1上递减,在k1,2上递增, ∴f(x)最小值f(k1)ek1.
(3)g(x)(2x2k1)ex,∴g'(x)(2x2k3)ex, 由g'(x)0,得xk当xk
3, 23时,g'(x)0; 23当xk时,g'(x)0,
233∴g(x)在(,k)上递减,在(k,)递增,
223k3故g(x)最小值g(k)2e2,
23k3335又∵k,,∴k0,1,∴当x0,1时,g(x)最小值g(k)2e2,
2222∴g(x)对x0,1恒成立等价于g(x)最小值2e又g(x)最小值2e∴(2ek32k32;
k3235对k,恒成立.
22)mink,故2e.1
考点:1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值;2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有:函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等,分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想
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之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题(2)就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 19.【答案】(1)增函数,证明见解析;(2)最小值为,最大值为2.5. 【解析】
3(x1x2)0,所以f(x)在2,5(x11)(x21)5上是增函数;(2)由(1)知,最小值为f(2)2,最大值为f(5).
2试题分析:(1)在2,5上任取两个数x1x2,则有f(x1)f(x2)试题解析:
在2,5上任取两个数x1x2,则有
f(x1)f(x2)所以f(x)在2,5上是增函数.
3x13x23(x1x2)0, x11x21(x11)(x21)所以当x2时,f(x)minf(2)2, 当x5时,f(x)maxf(5)考点:函数的单调性证明.
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间,考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数x1x2,然后作差f(x1)f(x2),利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积,判断最后的结果是大于零韩式小于零,如果小于零,则函数为增函数,如果大于零,则函数为减函数.1 20.【答案】
,准线方程为
.
2
【解析】解:(I)由题意可知,抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标为
5. 2
所以,直线l的方程为由
…
…
消y并整理,得
设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1+x2=3p,
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4, 所以,3p+p=4,所以p=1…
2
(II)由(I)可知,抛物线的方程为y=2x.
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由题意,直线m的方程为y=kx+(2k﹣1).… 由方程组
(1)
.…
2
可得ky﹣2y+4k﹣2=0(2)…
当k=0时,由方程(2),得y=﹣1.
2
把y=﹣1代入y=2x,得
.
这时.直线m与抛物线只有一个公共点
当k≠0时,方程(2)得判别式为△=4﹣4k(4k﹣2).
2
由△>0,即4﹣4k(4k﹣2)>0,亦即4k﹣2k﹣1<0.
解得于是,当
.
且k≠0时,方程(2)有两个不同的实根,从而方程组(1)有两组不同的解,这
.…
时,直线m与抛物线有两个不同的公共点,… 因此,所求m的取值范围是
【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21.【答案】(1)【解析】
233小时;(2). 314试
题解析:(1)设搜救艇追上客轮所需时间为小时,两船在C处相遇. 在ABC中,BAC4575120,AB10,AC9t,BC21t. 由余弦定理得:BCABAC2ABACcosBAC, 所以(21t)10(9t)2109t(),
2222221225或t(舍去). 3122所以,海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.
32化简得36t9t100,解得t第 15 页,共 17 页
(2)由AC9226,BC2114. 33在ABC中,由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点:三角形的实际应用.
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用,其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用,注重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中,可先根据题意,画出图形,由搜救艇和渔船的速度,那么可设时间,并用时间表示AC,BC,再根据正弦定理和余弦定理,即可求解此类问题,其中正确画出图形是解答的关键. 22.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】
试题分析:(1)推导出ACBC,ACCC1,从而AC平面BCC1B1,连接CA1,NA1,则B,A1,N三点共线,推导出CNBA1,CNMN,由线面垂直的判定定理得CN平面BNM;(2)连接AC1交CA1于点H,推导出AHBA1,HQBA1,则AQH是二面角ABA1C的平面角.由此能求出二面角
CBNB1的余弦值.
试题解析:(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG. ∵F为CD的中点,∴GF//DE且GF∵AB平面ACD,DE平面ACD, ∴AB//DE, ∴GF//AB.
1DE. 21DE,∴GFAB. ∴四边形GFAB为平行四边形,则AF//BG. (4分) 2∵AF平面BCE,BG平面BCE, ∴AF//平面BCE (6分)
又AB第 16 页,共 17 页
考点:直线与平面平行和垂直的判定.
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