复杂,源于简单——数学解题方法归纳

复杂，源于简单

李歆

高中数学课本第二册（上）习题6.3第7题：

若a，bR，x、yR，且ab1，则ax2by2(axby)2（*）（当且仅当x＝y时，取“＝”号）

此题看似简单，常常被同学们所忽视，但它的条件和结论特征却非常明显，由此联想到带有条件“xy1”的最值和不等式问题，用（*）作“桥”求解，结果十分凑效，充分显示出课本习题（*）的应用价值。下面略举数例予以说明。 例1. 已知x，yR，且xy1，求解：由（*）得

14

的最小值。 xy

141212x()2y()2(xy)29 xyxyxy等号当且仅当故(

例2. 已知x，y，zR，且xyz1，求

1212，即x，y时等号成立。 xy3314)min9 xy149的最小值。 xyz直接用（*），难解此题，可将（*）推广为：若a，b，cR，x，y，zR，且abc1，则ax2by2cz2(axbycz)2。（**） （当且仅当xyz时，取“＝”号） 解：由（**）得

149 xyz123x()2y()2z()2

xyz(x123yz)236 xyz123111，即x，y，z时等号成立。 xyz632等号当且仅当故(149)min36 xyz

例3. 已知x，yR，且xy1，求解：由（*）得

18的最小值。 x2y2181122223[()()]

3x3yx2y211223()2

3x3y1142() 3xy149 xy由例1知所以

1819227 223xy等号当且仅当x故(

12，y时等号成立 3318)min27 x2y2例4. 设a，b，x，y皆为正实数，且x2y21，求证a2x2b2y2a2y2b2x2ab 初看此题，似乎难以入手，但用（*）思考，即可从根号下部分打开突破口。 证明：由（*）得

a2x2b2y2x2a2y2b2(x2ay2b)2

即a2x2b2y2x2ay2b 同理可得a2y2b2x2y2ax2b 两式相加，得

a2x2b2y2a2y2b2x2(x2y2)(ab)ab

例5. 已知a，bR，且ab1，求证a21b215

此题与例4不同，条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显，似乎不能用（*）解答，但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件，可对左边根号下部分适当变形。 证明：由（*）得

1411411a215[a2()2]5(a)2(a2)2

5525525

所以a2115(a2) 15(b2)

同理可得b21两式相加，得a21b215

例6. 设p>0，q>0，且p3q32。求证：pq2 此题证法较多，这里用（*）再给出一种独特的证法。 证明：由已知得由（*）可得

1313pq1 2211111(pq)p32q32 222pq11111(p3q3)2(p2q2)2 2p2q4111（利用p2q2(pq)2） (pq)4。

244所以(pq)38 即pq2