几何画板背景下的2019年河南省中考数学压轴题

2019年河南省中考数学第23题 23. 如图,抛物线yax2点A、C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m. ①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;

②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M、B、B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:ykxb的解析式.（k,b可用含m的式子表示） yy11xc交x轴于A、B两点,交y轴于点C.直线yx2经过22AMOPCBxAOCBx图图图 几何画板动态体验 打开几何画板文件名“19河南23”,用鼠标拖动点P,观察△PCM的形状,发现△PCM可以两次成为直角三角形,如下页图所示;

在拖动点P的过程中,PMC不可能成为直角. 满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线. 第1页

yyPAMOPCBxAOCBxM ①CPM90

解题过程及评分标准 解:（1）令 ②PCM90 1x20,解之得:x4;令x0,则y2 2∴A4,0,B0,2 把A4,0,B0,2分别代入yax21xc得: 2116a2c0a,解之得:4 c2c211∴抛物线的解析式为yx2x2;……………………………………………………3分 4211（2）∵点P的横坐标为m,∴Pm,m2m2.

24①当△PCM是直角三角形时,分为两种情况: 当CPM90时,PC//x轴,∴yPyC. ∴

121mm22,解之得:m10（不符合题意,舍去）,m22 42∴P2,2;……………………………………………………………………………………5分 当PCM90时,过点P作PNy轴于点N. ∴PNm,CNyNyCyPyC易证:△PCN∽△CAO.

12111mm22m2m. 4242第2页

121mmPNCNm42 ∴,COAO24121mm2m,解之得:m10（不符合题意,舍去）,m26. 421111当m6时,m2m2626210 4242∴∴P6,10.

综上所述,点P的坐标为2,2或6,10;……………………………………………………8分 ②yx3m44mm2或yx2或y2.…………………………………11分 442m2m4yNPAOCBxM 提示:由题意可知,满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.

1∵PM//y轴,∴Mm,m2 2m21,m1.点C为BB'边的中点. 根据中点坐标公式,BM边的中点为42m21,m1分别代入ykxb得: 把C0,2,424mb2k,解之得:2m4. m21kbm12b244m2. ∴直线l的解析式为y2m4其它结果按照相同的方法求得.

第3页