路南区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ） A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0

C．a＞0，△≥0

D．a＞0，△＞0

2． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．

B． C． D．

3． 已知向量ra(m,2)，rb(1,n)（n0），且rarb0，点P(m,n)在圆x2y25上，则|2rar b|（ ）

A．34 B． C．42 D．32 4． 已知函数f（x）=lnx+2x﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

5． 已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（ ）

A．5 B．18 C．24 D．36

6． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（

A．30 B．50 C．75 D．150

xy2„7． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域0x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…0A.33114 B.8 C. 4 D. 8

【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 8． 下列命题中的说法正确的是（ ）

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）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”

D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

9． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80

B．S19＝76 D．S21＝84

10．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前28项之和S28=（ ） A．7

B．14

C．28

D．56

11．实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

12．已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（ ） A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3

D．﹣1或﹣3

二、填空题

13．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为 ．

14．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

15．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是 ．

，

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y216．已知实数x，y满足3xy30，目标函数z3xya的最大值为4，则a______．

2xy20【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 17．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ccosBa则边c的最小值为_______．

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

18．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆

恒有公共点，则m的取值范围是 ．

13b，ABC的面积Sc，

122三、解答题

19．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（1）求C1与C2交点的坐标；

（t为参数）

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．

2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）

20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；

．若O

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（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．

？若存在，求出BP的长；不存在，说明理

21．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

22．（1）求与椭圆（2）求与双曲线

有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程． 有相同的渐近线，且焦距为

的双曲线的标准方程．

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23．已知函数f（x）=（Ⅰ） 求A，B；

（Ⅱ） 若A∪B=B，求实数a的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|x2||x1|，g(x)x. （1）解不等式f(x)g(x)；

（2）对任意的实数，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.111]

的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．

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路南区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R， ∴a＜0，

且△=b2﹣4ac＜0，

综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0． 故选A．

2． 【答案】A

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．

3． 【答案】A 【解析】

．

考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 4． 【答案】C

【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．

因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0． 可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点． 故选C．

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5． 【答案】D

【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5， ∴a3a7=a52=36， 故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

6． 【答案】B

【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5， 则其体积V=故选B．

7． 【答案】B 【

解

析

】

S×h=

30×5=50．

•x4﹣2r，

8． 【答案】D

【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，

B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，

D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D．

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【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

9． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 10．【答案】C 数．

=14（a6+a23）=28．

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函∴函数f（x）关于直线x=1对称， ∴a6+a23=2．

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

则{an}的前28项之和S28=故选：C． 属于中档题．

11．【答案】 D

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．

，2）成立，

，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

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【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．

12．【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行， 所以=

≠

，

解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A．

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二、填空题

13．【答案】V

【解析】

【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可． 【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C， 所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：故答案为：14．【答案】

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1， 当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点， 则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

15．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|， 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1， 求得0≤m≤2，

，

≤a＜1或a≥2 ．

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故答案为：[0，2]．

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．

16．【答案】3

【解析】作出可行域如图所示：作直线l0：3xy0，再作一组平行于l0的直线l：3xyza，当直线

55l经过点M(,2)时，za3xy取得最大值，∴(za)max327，所以zmax7a4，故

33a3．

17．【答案】1

18．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．

【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，

∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可， 由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称， 故只需要令x=0有 5y2=5m 得到y2=m

要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是 y2≥1

得到m≥1

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∵椭圆方程中，m≠5

m的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1， ∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，

∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，

联立，解得x=﹣，y=，

． ）．

：

∴C2与C1只有一个公共点：（﹣（2）压缩后的参数方程分别为

：

（θ为参数）

（t为参数），

化为普通方程为：联立消元得其判别式∴压缩后的直线

：x2+4y2=1，

，

，

与椭圆

：y=

，

仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．

【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．

20．【答案】

【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=

，且AA1=2，AO=1，

=

，…（2分）

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∴

+AD2=AA12，

∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）

（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得

=

=

，

．…（8分）

），…（6分）

=（x，y，z），

设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为

=（1，m+1，0），

又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．

又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得

=

=（1，0，0）．…（10分） =

，…（12分）

解得m=1或m=﹣3（舍去）．

∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为

．…（13分）

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．

21．【答案】 【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2

+2x，

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=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

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【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆设椭圆方程

由（4，3）在椭圆上得则椭圆方程为（2）由双曲线设所求双曲线的方程为

；

有相同的渐近线， ﹣

=1（λ≠0），

，

，

有相同的焦点，

由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13， 解得λ=±1． 即有双曲线的方程为

23．【答案】

﹣

=1或

﹣

=1．

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【解析】解：（Ⅰ）∵

，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=

的

定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；

由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x＜a， ∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）； （Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B． ∴

，解得﹣1≤a≤1．

∴实数a的取值范围[﹣1，1]．

24．【答案】（1）{x|3x1或x3}；（2）. 【

解

析

】

试

题解析：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|， 当x1时，(x2)x(x1)，解得x3，即3x1； 当1x2时，(x2)xx1，解得x1，即1x1； 当x2时，x2xx1，解得x3，即x3 （4分） 综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为{x|3x1或x3}. （5分）

（2）由不等式f(x)2x2g(x)m可得|x2||x1|m， 分离参数m，得m|x2||x1|，∴m(|x2||x1|)max

∵|x2||x1||x2(x1)|3，∴m3，故实数m的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1

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