…Ｉ Ｉ… Ｌ Ｉ教学案例 ０ｈｌｎａ Ｅｄｕｃｅｔ１ｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 不等式中恒成立问题求解的基本策略与方法 刘继永 （河北省承德县六沟高中 河北承德０６７４０６） 摘要：本文研究解不等式恒成立问题基本方法，得出一般性解题规律。 关键词：不等式 恒成立 求解策略 中图分类号：Ｇ ６ ３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—９７９５（２ｏ１３）０４（ｃ）一０１ ０５－０１ 在不等式综合问题中，经常会遇到当 个结论对于某一参数的某一个取值范围 的所有值都成立的问题，这就是不等式中 的恒成立问题，这类问题综合性强，解法灵 活，对思维能力要求较高，有利于考查考生 的综合解题能力。解答此类问题的基本策 略是：利用化归与转化思想，将未解决的问 题化归转化为已解决的函数问题，利用函 数的性质、图象，通过灵活的代数变形求 一１）＋４ｆ（ｍ） （４ｍ ＋１ ５。 ｆｆ（Ｏ）＝１—２ ≤０， １ ≥０ 所以１＿厂（３）： 一５≤０．解得 ≤ ≤ ｘ§４ｍ ＋１一 ｍ≥—丁在 ∈［ ， ＝点评：利用一次函数的性质，对于厂（ ） ｋｘ＋ｂ，ｘ∈［ｍ， 】，有厂（ ）＞０ ＋。。胆成立营 ＋ｌ一 ≥（ ２ ＋３ 又—‘Ｘ ）ｍａｘ。 】 ｆｌ厂（ ）＞０， ｆ／（ ）＜０， ３ ｘ‘２ １ ｘ １ ＋ ｘ （ ＋＝３） ～：３， ２ §１厂＿（ ）＞０；，（ ）＜。 １厂（ｎ）＜０．据 此解某些不等式恒成立时求参数取值范围 问题较为简捷。 解。基本的方法有以下几种。 ’・３ 厶 １ １最值转化法 ‘ ∈【 ，＋ＯＯ），‘‘’ ’（。， 】， Ｊ ２ ＋３ ２ １ １ ８ 所谓最值转化法是指：形如ｌ厂（ｘ）≥ｇ（ｋ） 某些含参数的不等式恒成立问题，在 （丁）ｍａｘ￣３（了＋ ） 一了一 ，’‘ 分离参数时会遇见讨论的麻烦或即使容易 或ｆ（ ）≤ｇ（ｋ）的不等式对于给定范围内的 切Ｘ恒成立，求ｋ取值范围时，可转化为与 １ ８ 分离出参数与变量，但函数的最值难以求 ４ｍ ＋１一 ≥ （３ ＋１）（４ 。一３）≥ 之等价的命题ｇ（ ）≤＿厂（ ）…或ｇ（ ）≥－厂（ ） 出时，可考虑将变量与参数交换位置，把参 即可。 ０， 数看作变量，变量看作参数，构造新的函 ｌ 数，一般是一次函数，再利用其性质求解。 例１：ｉ￣ｘ＞ｆ＞ｚ，Ｈ∈Ｎ，且 一ｚ）（—ｘ＋ ・ ≥－Ｉ目３ 一 或 ≥ ｙ例４：对于满足０≤ａ≤４的一切实数，不 １ 等式Ｘ ＋ａｘ＞４ｘ＋ａ一３恒成立，求实数Ｘ的 ｉ ）≥２ａ＋２恒成立，则实数日的取值范围 取值范围。 故填（一ｏ。，是——。 解：不等式 ＋ａｘ＞４ｘ＋ａ一３恒成立， 点评：最值转化法与参数分离法是解不 解：’．’Ｘ＞ｌ厂＞ｚ，．’．ｘ—ｚ＝（ 一＿厂）＋（１厂一 即（ 一１）ａ＋ 一４ｘ＋３＞０恒成立。 等式中恒成立问题最常用的两种方法，两种 ｚ）。 令厂（ ）＝（ —１）ａ＋ 一４ ＋３，口∈［０，４】， 方法实质一致，只是利用最值转化法时只含 １ １ 图象是一条线段，要使厂（ａ）＞０在［０，４］上恒 ｘ－ｚ） ＋ ）＝ 一／）＋（／ 参数的项（也可含常数项）项已经置于不等 成立，只须满足： 号的一侧，而采用参数分离法时，参数和另 ｌ １ ｆ‘厂（ｏ）＝ 一４ｘ＋３＞０， 个变量混杂在一起置于不等式的一侧．参 ｚ）】（ ＋ ） １，’（４）：４（ｘ－１）＋ｘ２—４ｘ＋３＞０．解得 ＜ 数分离时一定要把含参数的式子放在不等 Ｖ—ｚ ｘ—Ｖ 号的一边，不含参数的式子放在另一边，若 １或Ｘ＞３。 ２＋； ＋— ≥４（当且仅当ｘ＋ 参数不能分离，则不能使用此法。 故实数Ｘ的取值范围是（一Ｏ０，一１）Ｕ ｚ＝２ｙ时取等号） ・・一４变量转换法 ．・’ ≥ ， 亏或 亏， ， 拿】ｕ［ ，＋。。）． 一＝‘．．４≥２ａ＋２，即ａ≤１。 即满足条件的实数ａ的取值范围是（一。。， ｌ】。 点评：运用最值转化法要理解两个转化 式：厂（ ）≥ｇ（ ）恒成立《 ／（ ） ≥ｇ（ ），ｆ（ｘ） ≤ｇ（ ）恒成立《 ｌ厂（ ） ≤ｇ（ ），依此转化为 求函数的最值问题与解不等式问题。 （３，＋ｏ。）。 点评：本题把变量为Ｘ的不等式看作变 给定一次函数 （ ）＝ ＋ｂ（ｋ≠０），若 ，（ ）在ｍ， 】内恒－￣ｆ（ｘ）＞０，则根据一次 量为ａ的不等式，再利用一次函数的单调性 求解。当一个不等式在一次变量的某个取 函数的图象（线段）可得上述结论等价于 值范围内恒成立，求二次变量的取值范围 『ｋ＞０， ｆｋ＜０， 时，可考虑这种变量转换法。 ３一次函数法 ＝①１／（ ）＞０或②１／（ｎ）＞０．也可合并 同理，若在［ｍ，”】内恒有ｆ（Ｘ）＜０，则有 ２参数分离法 若在不等式中出现两个变量，其中一个 变量的范围已知，另一变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于 不等式的两边，写成ｇ（Ａ）≥＿厂（ ）或ｇ（ ）≤ 厂（ ）恒成立形式，再利用最值转化法求解。 ｆ＿厂（ ）＞０， 成１＿厂（ ）＞０． Ｉｆ（ ）＜０， 【ｆ（ｎ）＜０． 此结论可推广至ｋ＝Ｏ的情形。 例３：对于（０，３）上的一切实数Ｘ，不等式 （Ｘ一２）ｍ＜２ｘ一１恒成立，求实数ｍ的取值范 围。 总之，求解不等式中的恒成立问题的 基本思路就是化归与转化，把复杂的问题 等价转化为简单的、容易解决的问题。要做 到正确的、灵活的转化，就要求同学们对典 型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理 知识，形成知识板块结构和方法体系，在此 过程中不断提高自己的数学解题能力。 例２：设函数厂（ ）： 一１，对任意 ∈【｛， Ｘ ＋∞），厂（ ）一４ｍ１厂（ ）≤－厂（ 一１）＋４厂（ｍ） 恒成立，则实数ｍ的取值范围是——。 解：／（ ）一 一１知＿厂（—ｘ—）４，竹１厂（ ）≤－厂（ 解：设＿厂（ ）＝ 一２）ｍ一（２ｘ—１）＝（ 一２）ｘ ＋ｌ＿一２ｍ，将它看成是关于Ｘ的直线，由题意 知在区间（０，３）间线段横在ｘ轴的下方。 ｍ 中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ １ ０５
