广东省湛江市农垦实验中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）sin225°=（） A．
B．
C． ﹣1
D．1
2．（5分）圆心角为1rad，半径为1的扇形的面积为（） A． 1
B．
C．
D．π
3．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（） A．
4．（5分）函数f（x）=cos（2x+ A．
B． π
）的最小正周期是（）
C． 2π
D．4π
B．
C． ﹣
D．﹣
5．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（） A． 向左平行移动个单位长度 C． 向左平行移动1个单位长度
B． 向右平行移动个单位长度 D． 向右平行一定1个单位长度
6．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（） A． （5，7）
B． （5，9）
C． （3，7）
D．（3，9）
7．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（） A． ﹣1
B． 0
C． 1
D．2
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A． ﹣
B．
C． 1
D．
9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） A． 8 B． 10 C． 12 D．14
10．（5分）已知数列{an}是公比为实数的等比数列，且a1=1，a5=9，则a3等于（） A． 2 B． 3 C． 4 D．5
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 11．（5分）已知sinα=，则
12．（5分）已知α为第四象限角，
13．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．
14．（5分）设函数f（x）=
+1，若a，b，c成等差数列（公差不为零），则f（a）+f（c）
，则tan2α=． =．
=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x，x∈R，求 （1）f（x）的最小正周期和最大值； （2）f（x）的单调区间． 16．（13分）已知f（x）=cos2x+4sinx，求： （1）
的值；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值时x的值．
17．（13分）在△ABC中，（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）设△ABC的面积
18．（13分）已知数列{an}满足递推关系式an=2an﹣1+1，（n≥2）其中a1=1． （1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
19．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q，a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．
，．
，求BC的长．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
20．（14分）已知数列{an}的前n项和Sn=n+1（n∈N） （1）求数列{an}的通项公式； （2）设cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn；
2
*
（3）讨论（2）中Tn的最值．
广东省湛江市农垦实验中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）sin225°=（） A．
B．
C． ﹣1
D．1
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： 把225°写为180°+45°由诱导公式二得特殊角的正弦角，由特殊角正弦值得结果．
解答： 解：sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°=﹣．
故选A．
点评： 本题考查用诱导公式化简求值，诱导公式一到四可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数，是基础题． 2．（5分）圆心角为1rad，半径为1的扇形的面积为（） A． 1
B．
C．
D．π
考点： 扇形面积公式．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 由题意根据l=rθ，求出扇形的弧长，直接利用S=lr，求出扇形的面积． 解答： 解：扇形的圆心角为1，半径为1，扇形的弧长为：1， 所以扇形的面积为：S=lr=×1×1=． 故选：B．
点评： 本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力． 3．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（） A．
B．
C． ﹣
D．﹣
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
解答： 解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==
=﹣，
=5．
故选：D．
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）=cos（2x+ A．
B． π
）的最小正周期是（）
C． 2π
D．4π
考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式解答： 解：根据复合三角函数的周期公式函数f（x）=cos（2x+故选：B．
）的最小正周期是π，
得，
求解．
点评： 本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基
础题． 5．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（） A． 向左平行移动个单位长度
B． 向右平行移动个单位长度
C． 向左平行移动1个单位长度 D． 向右平行一定1个单位长度
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解答： 解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象， 故选：A．
点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（） A． （5，7） B． （5，9） C． （3，7）
考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
D．（3，9）
解答： 解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A．
点评： 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
7．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（） A． ﹣1 B． 0
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
C． 1 D．2
分析： 由条件利用两个向量的数量积的定义，求得解答： 解：由题意可得，∴（2﹣）•=2
﹣
=1×1×cos60°=，=0，
、=1，
的值，可得（2﹣）•的值．
故选：B．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）
A． ﹣ B． C． 1 D．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．
解答： 解：∵3a=2b，∴b=，
根据正弦定理可得===，
故选：D．
点评： 本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．
9．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） A． 8 B． 10 C． 12 D．14
考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6 解答： 解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12， 解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2， ∴a6=a1+5d=2+5×2=12， 故选：C．
点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
10．（5分）已知数列{an}是公比为实数的等比数列，且a1=1，a5=9，则a3等于（） A． 2 B． 3 C． 4 D．5
考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q=解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，（q∈R） 由题意可得q=
2
4
4
，可得q，而a3=a1q，代值可得．
22
=9，解得q=3，
2
∴a3=a1q=3 故选：B
2
点评： 本题考查等比数列的通项公式，得出q是解决问题的关键，属基础题．
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．
11．（5分）已知sinα=，则=．
考点： 二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由二倍角的余弦公式的变形应用及诱导公式可把原式变为sinα的式子，代值计算可得．
解答： 解：化简可得
=
===
故答案为：
点评： 本题考查二倍角的余弦公式的变形应用，属基础题．
12．（5分）已知α为第四象限角，
考点： 二倍角的正切． 专题： 计算题．
，则tan2α=．
分析： 根据 α为第四象限角，，可得sin α 的值，即得 tanα 的值，由
tan2α= 求得结果．
解答： 解：∵α为第四象限角，，∴sin α=﹣，∴tanα=﹣，
∴tan2α==，
故答案为：．
点评： 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的应用，求出tanα的值，是解题的关键．
13．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．
解答： 解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
n﹣12
∴an=a1q，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q）， 解
．
故答案为
点评： 本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
14．（5分）设函数f（x）=
+1，若a，b，c成等差数列（公差不为零），则f（a）+f（c）
=2．
考点： 等差数列的性质；函数的值． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得2b=a+c，化简可得f（a）+f（c）=2+得．
解答： 解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c， ∴f（a）+f（c）==2+=2+
+
=2+
=2+0=2 +1+
+1
，代入化简可
故答案为：2
点评： 本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属基础题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x，x∈R，求 （1）f（x）的最小正周期和最大值； （2）f（x）的单调区间．
考点： 三角函数中的恒等变换应用． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 利用两角和的正弦把原函数化积．
（1）直接由周期公式得到周期，由振幅得到最大值； （2）直接由复合函数的单调性求得单调区间． 解答： 解：f（x）=sin2x+cos2x
==
．
（1）f（x）的最小正周期为π；最大值为（2）由由
∴f（x）的单调增区间为单调减区间为
，得
． ，得
．
；
．
．
点评： 本题考查了三角函数中恒等变换应用，考查了复合函数单调性的求法，是中档题． 16．（13分）已知f（x）=cos2x+4sinx，求： （1）
的值；
（2）f（x）的最大值以及取得最大值时x的值．
考点： 三角函数中的恒等变换应用． 专题： 三角函数的图像与性质．
2
分析： 展开二倍角的余弦，得到f（x）=﹣2sinx+4sinx+1．
（1）直接取x=﹣求的值；
（2）利用配方法配方，求得f（x）的最大值并求得f（x）取得最大值时x的值． 解答： 解：f（x）=cos2x+4sinx
2
=1﹣2sinx+4sinx
2
=﹣2sinx+4sinx+1． （1）=
2
=
=﹣
；
2
（2）f（x）=﹣2sinx+4sinx+1=﹣2（sinx﹣1）+3． 当sinx=1，即x=
时函数取得最大值3．
点评： 本题考查了三角函数中恒等变换应用，考查了配方法求函数的最值，是中档题．
17．（13分）在△ABC中，（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）设△ABC的面积
，求BC的长．
，
．
考点： 三角形中的几何计算． 专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）由cosB，cosC分别求得sinB和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA．
（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC． 解答： 解：（Ⅰ）由由所以（Ⅱ）由由（Ⅰ）知故AB×AC=65， 又故所以
，
， ． ． 得，
，
，得
．
．
，得
，
点评： 本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．
18．（13分）已知数列{an}满足递推关系式an=2an﹣1+1，（n≥2）其中a1=1． （1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和． 专题： 计算题．
分析： （1）由an=2an﹣1+1可得an+1=2（an﹣1+1），从而可证数列{an+1}是以2为首项以2为公比的等比数列可求 （2）由（1）可得的求和公式可求
解答： 解：（1）由an=2an﹣1+1可得an+1=2（an﹣1+1），a1+1=2 ∴数列{an+1}是以2为首项以2为公比的等比数列 ∴∴（2）由∴
=（2+2+…+2）﹣n
2
n
，利用分组，结合等比数列
==2
n+1
﹣2﹣n
点评： 本题主要考查了构造等比数列求解通项，数列求和的分组求和及等比数列的求和公式的应用，属于数列知识的综合应用
19．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q，a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由题意可知，即可求解
（2）由cn=an•bn=（2n﹣1）•3
n﹣1
解方程可求d，q，结合等差与等比 数列的通项公式
，可以利用错位相减求和
解答： 解：（1）由题意可知，解方程可得，d=2，q=3 ∴
n﹣1
（2）∵cn=an•bn=（2n﹣1）•3
12n﹣1
∴sn=1•1+3•3+5•3+…+（2n﹣1）•3
2n﹣1n
∴3sn=1•3+3•3+…+（2n﹣3）•3+（2n﹣1）•3
2n﹣1n
两式相减可得，﹣2sn=1+2（3+3+…+3）﹣（2n﹣1）•3 =1+2
n
﹣（2n﹣1）•3
n
n
n
=1+3﹣3﹣（2n﹣1）•3=（﹣2n+2）•3﹣2 ∴
点评： 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的简单应用，错位相减求和方法的应用是数列求和的重要方法，要注意掌握
20．（14分）已知数列{an}的前n项和Sn=n+1（n∈N） （1）求数列{an}的通项公式； （2）设cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn；
2
*
（3）讨论（2）中Tn的最值．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用公式（2）n≥2时，cn=和；
（3）利用（2）的结论，即可得出Tn的最值．
2
解答： 解：（1）∵Sn=n+1 ∴a1=S1=1+1=2，
22
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+1）﹣[（n﹣1）+1]=2n﹣1， 当n=1时，2n﹣1=1≠a1， ∴
（2）n≥2时，cn=∴当n=1时，Tn=c1=
．
==
=，
+…+
﹣
）=+（﹣
）=﹣
=（
﹣
），
=
可求出数列{an}的通项an． =（
﹣
），利用裂项相消法求
当n≥2时，Tn=c1+c2+…+cn=+（﹣+
，
∴Tn=
．
（3）由（2）Tn的最小值为，无最大值．
点评： 本题考查数列的性质和应用，考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法
求数列的和知识，解题时要注意公式的灵活运用．
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