维普资讯 http://www.cqvip.com 从而 （ｖ）为（１）的积分因子。 浅析积分因子的求法 例２ 术解微，刀＼方程Ｙ ｄｘ＋２（ｘ： ｘＹ ）ｄｙ ０。 王金诚鲁东大学数学与信息学院２６４０２５ 解：原方程叮改写为： Ｙ ｄｘ ２ｘｙ ｄｙ）２ｘ！ｄｙ ０ １ ＾， 前堋 蔫足： ｛ ， 且 摘要１ 誊｜ ： 薯 分 子 文章详细讨论几种主要的求解积分因子的方 ｌ ｌ ｌ １ １ 法，加深对积分因子的认识和了解，增加一阶 ’『『’ ’ ’ ＝ 仅与ｘ何关。故有积分因子：Ｘ ２，则 、 ５ ３ 微分方程的求解方法 （２）ｙｄｘ＋ｘｄＹ ０的积分 子是： ２／’、 ＋ ２叼，２ｄ３’二ａ（ｘ： ）＝０ ．蔷灌讯｜ｌ誊 毫 ｜ １ 微分方程：积分因子 （ｗ）” 因而有更一般的积分冈子：作用列方程后 得到的全微分方程是 ＝ Ｙ： （ １、、） １ 一后一组显然仃积分 子：÷，则 、引言 微分方程中对Ｆ积 子的求解已有 （３）ｙｄｙ＋ｘｄｘ ０的积分囚子是： ｌ＿ｌ ｛一 （＾）＝一２ｄ（ ’）＝０ 不少专家研究并 过类似的文章 ，在此 ．ｌ １ 基础卜，本文主要通过不同的分类方式， ＿Ｉ 冈而有更 般的积分 子： 详细讨论积分因子的求解 法：观察法、 掌握和利用上面几种简单微分方程的 １ 、 —ｊＶ ） 分组法，特殊积，刀＼冈子的求法。因为不同 积分因子可以提高做题效率。 １ 类型方程的积分因子的求法不同，通过仔细 例１：求解微分方程 为了使：“．一 分析找出规律，加以综合， 得出结论。 （１ ｘｙ）ｙｄｘ＋（１ ｘｙ）ｘｄｙ ０ 且丌 ： 二、求解积分因子的主要方法分 解：将其各项重新组合 Ｊ‘以写成 Ｉ ： （ ）＝－－＇，ｖＯ’） 析 （ｙｄｘ＋ｘｄｙ）４ ｘｙ（ｙｄｘ ｘｄｙ）＝０ Ｉ １只颈取 关于微分形式的一阶方程 由十 是ｙｄｘ＋ｘｄｙ的积分囚子， 、 ３ ＩＩ １ Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ ０ （１） ｌｆｏ（ｘ ’）：（ ． ） ＝．Ｖ０’）＝１ 是ｙｄｘ ｘｄｙ的积分因了，从而方程的积 若（１） ，如果能找到 （ｘ，ｙ）≠０， １ 分因子为 ． 如此兀Ｊ‘得原方程有积分因子： 击， 使得 且 （ｘ，ｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ （ｘ，ｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｃｌｙ三 十是有： Ｉ Ａ＋２（ 一 ）川： ｖｅｄｘ－２ｘｖｄｖ ’ｄｖ（ｘ，Ｙ） ３＇ｄｘ＋ｘｄｙ——＋ 二！坐：０ ｌ。ｆ 一ｔ 刚称 （ｘ，ｙ）为方程（１）的积分冈子。 （ ’） 现假设存在这样的连续可徽函数 （ｘ， 即 ＋三 ： ，（ 二Ｊ＋２ｄ（１Ｉｌ㈠）：０ ． Ｙ）≠０使得 （ ）＋ｃ，（Ｉ１１兰）：０ 积分上式即得： １’ （ｘ，ｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ （ｘ，ｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ ０ （２） 两边积分得： ＋２１ｎｊ１，ｊ：（ ’’ 方程（２）可变为 ＋ｌｌ１ ：（， 此９１、，原方程还有解ｘ ０和ｙ＝Ｏ。 ｆ （ｘ，ｙ）ｉＭ（ｘ，ｙ）ｄｘ４Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ］＝０ 运 分组法求积分因了时，有两个重 由ｒ （ｘ，Ｙ）≠０，显然（１）与（２）同解。 观察法只运用于求解简单的微分方程 要问题： 可得函数“（ｘ，ｙ）为Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，Ｙ） 的积分冈子，有的可直接看出，有的需要先 一ｄｙ＝０的积分 于的允要条什为： 将原方程重新组合，再运用观察法得１ｔＩ。 戈键 于将较复杂的对称形式的方 ２分组法：一个较复杂的方程，仅靠观察 程进行适当分组 ！旦 ：！！ 法往往不易直接求 它的积分因子，运用分 准点住ｒ适当选取 （Ｕ．）和 组找积分因子的方法，通常称为分组法，而 （Ｕ ），使 即Ⅳ ：（ 一 ） （３） ￡ （ 求解微分方程的方法称为分组积分因子法。 ｌ （ｕ１） ２ （ｕ２） ｆ １ ￡ 求出积分因子就是为ｒ解微分方程．可 定 ２．２．１若 为方程（１）的一个积分因 ３Ｎ种特殊积分因子的求法： 对于（１）的情况下找到积分因了 （ｘ，Ｙ）＿广 子， Ｍｄｘ＋ Ｎｄｙ＝ｄｖ，刚 （ｖ）也是 ＜１＞方程（１）存在形如 （ｘ“Ｙ ）（ 是 ０，有助于求解微分方程。 （１）的积分因予，其中 （ｖ）足ｖ的任一连续 ｘ ｎｙｍ的函数，ｍ、ｎ为任意整数）的积分 下而来介绍求解积分因ｆ．的主要方 可微函数。 Ｉ 冈子的充要条件为： Ｍ Ａ 法： 证明： Ｍｄｘ｝ Ｎｄｙ ｄｖ可得 １观察法：对一些简单的微分ｌ方程，用观 （ｖ）Ｍｄｘ＋ （ｖ）Ｎｄｙ＝ （ｖ）【 ）＝丽车 （ （ｘ Ｙ ） 察法就可以得出积分因子。如： Ｍｄｘ＋ Ｎｄｙ］＝ （ｖ）ｄｖ＝ｄ①（ｖ）其中①为 足仪与ｘ”Ｙ 有关的函数）。 （１）ｙｄｘ ｘｄｙ＝０有五种不同形式的积 的一个原函数。 ＜２＞方程（１）存在形如 （Ｘ Ｌ Ｙ ）（ ２４５ 维普资讯 http://www.cqvip.com ｊ中国科技信息２００７年第２Ｏ期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｏｃｔ．２００７ 是Ｘ“土ｙｍ的函数，ｍ、ｎ为任意整数）的 积分因子的充要条件为： ０Ｍ ａＮ （ｐ（ ”± ”） ｊ （ （ｘ ＋ｙ ） 是仅与Ｘ ＋ｙｍ有关的函数， （Ｘ Ｙ ）是仅与 ｘ ｎ—ｙ 有关的函数）。 例３求解微分方程（２ｘ ＋３ｘ Ｙ＋Ｙ Ｙ ）ｄｘ＋（２ｘ ＋３ｘｙ ＋ｘ 一ｘ ）ｄｙ ０的 积分因子。 解：因Ｍ（ｘ，ｙ）＝２ｘ ＋３ｘ Ｙ＋ｙ！ Ｙ ，Ｎ（ｘ ，ｙ）＝２ｘ ＋３ｘｙ ＋ｘ ｘ ａＭ ａＮ ｉ ，，’）一Ｍ（ｘ，¨ ＿＝一—＝一只与ｘ＋ｙ有关， 。 。 于是积分因子为： ¨（ ＋ｙ）： … 卜 川 ＝—— ■ 手 ｆ ２ 综上可以得出，若一阶微分＿方程Ｍ（ｘ， ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ ０中Ｍ（ｘ，Ｙ），Ｎ（ｘ， ｙ）ｌ；１及 ， 的关系满足以上所述充要条 件之 廿ｆ，则此方程有形如： （ｘ，Ｙ ’）， （ｘ”±Ｙ ）（ｍ、ｎ为任意整数）的积分 因子，并且方程的积分因子 （Ｘ，ｙ）都町 由一阶线性齐次微分方程 ＝ｒ０（：） ５ …求得（其中 （ｚ）是ｚ的函数），ｚ可取Ｘ Ｙ ， Ｘｎ±Ｙｍ（ｉ２１，ｎ为任意整数），由此可得 （ｚ）＝ ‘： 三 结论 总的来看， 求解积分因子的方法很 鍪 差篆墨塑竺 ’１， 高科技创 蒋蓑 藁 ＿赢 篝 銮 妻 苎 ＾＇要 兰握 萋 苇 由Ｉ 妻－盖 要 意 坚整 ：：篓 ｊ 雹 莲蓬荨 摹至 嘉 磊 妻要 冀 々 新至 蒜 待于广大教育工作者大胆探索、不 、 望 毫 可至 一… ………是 －￣／ｙｄＩＮ ＪＰ Ｉ－Ｔ， 蕞 萎 善 晨霪 多。观察法适合比较简单的微分方程积分 因子的求解，分组法则适合较复杂一些的微 分方程。两种特殊积分因子的求解前提是 ， 美 手 壶； ，， ＿ 矗摹至 Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ）以及 ，筹的关系满足 某个充要条件。要想提高做题速度，任做题 过程中还要认真审题，把握好各个题目的特 点，熟练掌握每种方法的特点，然后选取一 种合适的方法进行求解，有时也可以多种方 法混合使用。 研究＿Ｊ］＿ ２００简烹高校的双语教学・５０ ８Ｏ） ８ ８９ 中国高教 鬲 荐 ， 茗 ・言忠器 一 羊 ” 慧 嚣 …” … … ～姜． 雪 朱技术＿Ｍ］． 北京：中国铁道出版社。。 ・・ 篓蓑 蓄 莘竽甚＿ 攀辇 苎 毒与对靶帼高 黧竺 教研宄［Ｊ］学 篙蒋 凳 。。 （ｇ ［１】伍军．求解几分因子的几种方法［Ｊ］． 师范大学报：２００６ ［２】滕文凯 积分因子的分组求法［Ｊ］．承德民 族师专学报，２００４ ［ 西南师范大学数学与财经学院．常微分 方 Ｍ］．西南师范大学出版社．２００５ ［４］潘鹤鸣．几种特殊类型积分因子的求法 及在解微分方程中的应用［Ｊ］＇巢湖学院学 报．２００５ 师． 李晓利（１ ９７２年）．女，辽宁省盖州市，助理 研究员．学士 主要从事化学 ＡｕｔｏＣＡＤ应 用研究 介ｌ —●０≯０ 邓德智．浙江旅游职业学院讲师： 詹兆宗．浙江旅游职业学院副教授 ２４６
