2022年最新 中考数学知识点梳理
考点总结
+ 真题演练
涵盖近年来的中考真题和中考模拟
考点14 等腰三角形与直角三角形
考点总结
一、等腰三角形 1.等腰三角形的性质
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°. 2.等腰三角形的判定
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等. 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二、等边三角形
1.定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
3.判定:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形与勾股定理 1.直角三角形
定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 性质:(1)直角三角形两锐角互余;
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半. 判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形;
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理及逆定理
第 1 页
(1)勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a+b=c. (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边a、b、c有关系:a+b=c,那么这个三角形是直角三角形.
2
2
2
222
第 2 页
真题演练
一.选择题(共10小题)
1.(2021•长安区二模)如图,AB∥CD,点E在BC上,DE=EC,若∠B=35°,则∠BED=( )
A.70°
B.145°
C.110°
D.140°
【分析】先由AB∥CD,得∠C=∠B=35°,DE=CE,得∠EDC=∠C,再根据三角形外角的性质求得答案即可.
【解答】解:∵AB∥CD,∠B=35°, ∴∠C=∠B=35°, 又∵DE=CE, ∴∠EDC=∠C, ∴∠BED=2∠C=70°, 故选:A.
2.(2021•平泉市一模)求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求证AB=AC. 以下是排乱的证明过程: ①又∠1=∠2, ②∴∠B=∠C, ③∵AD∥BC,
④∴∠1=∠B,∠2=∠C, ⑤∴AB=AC.
证明步骤正确的顺序是( )
第 3 页
A.③→②→①→④→⑤ ③→⑤
B.③→④→①→②→⑤ C.①→②→④→
D.①→④→③→②→⑤
【分析】先由平行线的性质得∠1=∠B,∠2=∠C,等量代换得到∠B=∠C,然后由等角对等边即可得出结论. 【解答】解:∵③AD∥BC, ∴④∠1=∠B,∠2=∠C, ∵①∠1=∠2, ∴②∠B=∠C, ∴⑤AB=AC,
故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤, 故选:B.
3.(2021•定兴县一模)嘉嘉和淇淇玩一个游戏,他们同时从点B出发,嘉嘉沿正西方向行走,淇淇沿北偏东30°方向行走,一段时间后,嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上.若嘉嘉行走的速度为1m/s,则淇淇行走的速度为( )
A.0.5 m/s
B.0.8 m/s
C.1 m/s
D.1.2 m/s
【分析】根据方位角得出∠ACB=30°,进而解答即可.
【解答】解:由图可得:∠CAB=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+30°=120°, ∴∠ACB=180°﹣120°﹣30°=30°, ∴AB=BC,
∴嘉嘉行走的速度和淇淇行走的速度相同, 即1m/s, 故选:C.
第 4 页
4.(2021•玉田县二模)如图,AD是等边△ABC的中线,AE=AD,则∠EDC的度数为( )
A.30°
B.20°
C.25°
D.15°
【分析】由AD是等边△ABC的中线,根据等边三角形中:三线合一的性质,即可求得AD⊥BC,∠CAD=30°,又由AD=AE,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ADE的度数,继而求得答案.
【解答】解:∵AD是等边△ABC的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=∴∠ADC=90°, ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=
180°−∠𝐶𝐴𝐷
=75°, 2121
×60°=30°, 2∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°. 故选:D.
5.(2005•广州)如图,已知点A(﹣1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.7个
【分析】当∠PBA=90°时,即点P的位置有2个;当∠BPA=90°时,点P的位置有3个;当∠BAP=90°时,在y轴上共有1个交点.
【解答】解:①以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与坐标轴交于一点,这一点符合点P的要求;
②以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与坐标轴交于两点,这两点也符合P点的要求;
第 5 页
③以P为直角顶点,可以AB为直径画圆,与坐标轴共有3个交点.
所以满足条件的点P共有6个. 故选:C.
6.(2021•张家口一模)如图,在6×4的小正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,
B,C,D,E均在格点上.则∠ABC﹣∠DCE=( )
A.30°
B.42°
C.45°
D.50°
【分析】根据勾股定理得出AD,CD,进而利用勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形,进而利用三角形内角和解答. 【解答】解:连接AC,AD,如图,
根据勾股定理可得:AD=AC=BC=√12+22=√5,CD=√12+32=√10, ∴∠ABC=∠BAC,
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣2∠ABC,
在△ACD中,𝐴𝐷2+𝐴𝐶2=(√5)2+(√5)2=10,𝐶𝐷2=(√10)2=10, ∴AD+AC=CD,
∴△ACD是直角三角形,∠DAC=90°, ∵AD=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形, ∴∠ACD=45°,
第 6 页
2
2
2
∵AB∥EC,
∴∠ABC+∠BCE=180°,
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°,
∴∠ABC+(180°﹣2∠ABC)+45°+∠DCE=180°, ∴∠ABC﹣∠DCE=45°, 故选:C.
7.(2021•河北模拟)勾股定理是初中数学最重要的定理之一,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内.记四边形ABCD的面积为S1,四边形DCEG的面积为S2,△GEF的面积为S3,四边形HGFP的面积为S4.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.S1
B.S2
C.S3
D.S4
【分析】如图1,设大正方形的面积为c,中正方形的面积为b,小正方形的面积为a,如图2,S4+S阴影=(c﹣a),S3+S4=b,把b=c﹣a代入即可得到结论.
【解答】解:如图1,设大正方形的面积为c,中正方形的面积为b,小正方形的面积为
1
212a,
如图2,∵S4+S阴影=(c﹣a),S3+S4=b, ∵c=a+b, ∴b=c﹣a, ∴S4+S阴影=S3+S4, ∴S3=S阴影,
∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出S3, 故选:C.
1
212 第 7 页
8.(2019•绵阳)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=5,CD=AD=3,点
E是线段CD的三等分点,且靠近点C,∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G,连接AC分别交EF、EG于点H、K.若BG=,∠FEG=45°,则HK=( )
3
2
A.
2√2 3
B.
5√2 6
C.
3√2 2
D.
13√2 6
𝐶𝐾𝐴𝐾
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC=3√2,根据相似三角形的性质得到
𝐸𝐾𝐾𝐺
=
=,求得CK=
7
2
2√2,过E作EM⊥AB于M,则四边形ADEM是矩形,得到EM=AD=3,33√5√5AM=DE=2,由勾股定理得到EG=√𝐸𝑀2+𝑀𝐺2=,求得EK=,根据相似三角形的
23性质得到
𝐻𝐸𝐻𝐾
=
1√53
=
3√5,设HE=3x,HK=√5x,再由相似三角形的性质列方程即可得到
结论.
【解答】解:∵∠ADC=90°,CD=AD=3, ∴AC=3√2, ∵AB=5,BG=2, ∴AG=2, ∵AB∥DC, ∴△CEK∽△AGK, ∴
3
7
𝐶𝐸𝐴𝐺
=
𝐶𝐾𝐴𝐾
=
𝐸𝐾𝐾𝐺
,
第 8 页
∴7=
21𝐶𝐾𝐴𝐾
=
𝐸𝐾𝐾𝐺27
,
∴
𝐶𝐾𝐴𝐾
=
𝐸𝐾𝐾𝐺
=,
∵CK+AK=3√2, ∴CK=3, 过E作EM⊥AB于M, 则四边形ADEM是矩形, ∴EM=AD=3,AM=DE=2, ∴MG=2,
∴EG=√𝐸𝑀2+𝑀𝐺2=∵
𝐸𝐾𝐾𝐺
3√5, 232√2=,
7
√52
∴EK=3,
∵∠HEK=∠KCE=45°,∠EHK=∠CHE, ∴△HEK∽△HCE, ∴
𝐻𝐸𝐻𝐾
=
1√53
=
3√5,
∴设HE=3x,HK=√5x, ∵△HEK∽△HCE, ∴∴𝐸𝐻𝐻𝐶
=
3𝑥𝐻𝐾𝐸𝐻
, =
√5𝑥, 3𝑥
√5𝑥+32√2解得:x=6, ∴HK=
5√2, 6√10故选:B.
第 9 页
9.(2016•漳州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点
B、C).若线段AD长为正整数,则点D的个数共有( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【分析】首先过A作AE⊥BC,当D与E重合时,AD最短,首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC,进而可得BE的长,利用勾股定理计算出AE长,然后可得AD的取值范围,进而可得答案.
【解答】解:过A作AE⊥BC, ∵AB=AC,
∴EC=BE=2BC=4, ∴AE=√52−42=3,
∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C). ∴3≤AD<5, ∴AD=3或4, ∵线段AD长为正整数,
∴AD的可以有三条,长为4,3,4, ∴点D的个数共有3个, 故选:C.
1
10.(1998•绍兴)如图,在△ABC中,∠A=90°,P是BC上一点,且DB=DC,过BC上一点P,作PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,已知:AD:DB=1:3,BC=4√6,则PE+PF的长是( )
A.4√6
B.6 C.4√2 第 10
D.2√6
【分析】作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM,易证△PFC≌△CMP,得到PE+PF=AC,在直角△ABC中,根据勾股定理就可以求得.
【解答】解:(1)作PM⊥AC于点M,可得矩形AEPM ∴PE=AM,利用DB=DC得到∠B=∠DCB ∵PM∥AB. ∴∠B=∠MPC ∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC.∠PFC=∠PMC=90° ∴△PFC≌△CMP ∴PF=CM ∴PE+PF=AC ∵AD:DB=1:3
∴可设AD=x,DB=3x,那么CD=3x,AC=2√2x,BC=2√6x ∵BC=4√6 ∴x=2
∴PE+PF=AC=2√2×2=4√2.
(2)连接PD,PD把△BCD分成两个三角形△PBD,△PCD,
S△PBD=2BD•PE, S△PCD=2DC•PF, S△BCD=2BD•AC,
所以PE+PF=AC=2√2×2=4√2. 故选:C.
11
1
二.填空题(共5小题)
11.(2021•张家口一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=6,点E在BC 第 11
上,AE⊥DE.且AE=DE,若EC=1.则CD= √29 .
【分析】过点D作DF⊥BC,交BC延长线于点F,根据AAS证明△ABE≌△EFD,进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可.
【解答】解:过点D作DF⊥BC,交BC延长线于点F,
由题意得,BE=BC﹣EC=5, ∵∠B=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵AE⊥DE,
∴∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠BAE=∠DEC,
∵AE=DE,∠B=∠DFE=90°, ∴△ABE≌△EFD(AAS), ∴EF=AB=3,DF=BE=5, ∴CF=EF﹣CE=2, ∵∠DFC=90°,
∴DC=√𝐶𝐹2+𝐷𝐹2=√29. 故答案为:√29.
12.(2021•海港区模拟)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有 3 个.
第 12
【分析】由已知条件,根据三角形内角和等于180°求得各个角的度数,然后利用等腰三角形的判定进行找寻,注意做到由易到难,不重不漏. 【解答】解:∵∠C=72°,∠DBC=36°,∠A=36°, ∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A, ∴AD=BD,△ADB是等腰三角形,
∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C, ∴BD=BC,△BDC是等腰三角形, ∵∠C=∠ABC=72°,
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 故图3个等腰三角形. 故答案为:3.
13.(2021•滦南县二模)如图1,正△ABC的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正△A1B1C1,再把正△A1B1C1的各边延长一倍得到正△A2B2C2(如图2),如此进行下去,…则: (1)正△A1B1C1的面积为 7 ;
(2)正△AnBn∁n的面积为 7 (用含有n的式子表示,n为正整数).
n
【分析】(1)根据已知条件求出△ABC与△A1AB1的底与高的关系,从而可得面积比.然后同样方法求出,△CA1C1的面积=△B1BC1的面积,进而去求解.
(3)由(1)的方法可得△A2B2C2的面积为7△A1B1C1的面积,然后根据三角形面积与n的
第 13
关系求解.
【解答】解:(1)∵AC=AA1, ∴△ABC与△A1AB1的底相等, ∵AB1=2AB,
∴△ABC与△A1AB1的高的比为1:2, ∴△ABC与△A1AB1的面积比为1:2, ∵△ABC的面积为1, ∴△A1AB1的面积为2,
同理,△CA1C1的面积=△B1BC1的面积=2, ∴△A1B1C1的面积为2+2+2+1=7, 故答案为:7.
(2)同理(1)可证△A2B2C2的面积为7△A1B1C1的面积=7×7=7, 依次类推,△AnBn∁n的面积为7. 故答案为:7.
14.(2020•隆化县二模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P为直线AB上一动点,连PC.
(1)线段PC的最小值是 4.8 . (2)当PC=5时,AP长是 5或2.2 .
nn2
【分析】(1)当PC⊥AB时,PC的值最小,利用面积法求解即可;
(2)过C作CQ⊥BC于Q,同(1)得CQ=4.8,由勾股定理求出AQ=3.6,PQ=1.4,当
P在线段BQ上时,AP=AQ+PQ=5;当P在线段AQ上时,AP=AQ﹣PQ=2.2.
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴AB=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√62+82=10,
由垂线段最短得:当PC⊥AB时,PC的值最小, 此时,△ABC的面积=2•AB•PC=2•AC•BC,
1
1
第 14
∴AB•PC=AC•BC,
∴PC=𝐴𝐵=10=4.8, 故答案为:4.8;
(2)过C作CQ⊥BC于Q,如图所示: 同(1)得:CQ=4.8,
由勾股定理得:AQ=√𝐴𝐶2−𝐶𝑄2=√62−4.82=3.6,PQ=√𝑃𝐶2−𝐶𝑄2=√52−4.82=1.4,
当P在线段BQ上时,AP=AQ+PQ=3.6+1.4=5; 当P在线段AQ上时,AP=AQ﹣PQ=3.6﹣1.4=2.2; 综上所述,AP的长为5或2.2, 故答案为:5或2.2.
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
6×8
15.(2020•曲阳县模拟)如图,已知在直角△ABC中,∠C=90°,AB=5,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为 3√5+5 .
【分析】设BC=a,AC=b,根据勾股定理和三角形的面积表示出a+b、ab,然后利用完全平方公式和算术平方根求出a+b,再根据三角形的周长公式计算即可得解. 【解答】解:设BC=a,AC=b,
∵∠C=90°,AB=5,△ABC的面积为5, ∴a+b=5=25,ab=5,
2
2
2
2
2
2
1
∴a+2ab+b=(a+b)=25+4×5=45, ∴a+b=√45=3√5,
222
第 15
因此,△ABC的周长=3√5+5. 故答案为:3√5+5. 三.解答题(共3小题)
16.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙
O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
【分析】(1)连接OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=√3,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=√6; (2)连接OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ=√9−𝑂𝑃2,则当OP的长最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的最大值=2.
【解答】解:(1)连接OQ,如图1, ∵PQ∥AB,OP⊥PQ, ∴OP⊥AB,
在Rt△OBP中,∵tan∠B=𝑂𝐵, ∴OP=3tan30°=√3,
在Rt△OPQ中,∵OP=√3,OQ=3, ∴PQ=√𝑂𝑄2−𝑂𝑃2=√6; (2)连接OQ,如图2,
在Rt△OPQ中,PQ=√𝑂𝑄2−𝑂𝑃2=√9−𝑂𝑃2, 当OP的长最小时,PQ的长最大, 此时OP⊥BC,则OP=2OB=2,
第 16
1
2323√3𝑂𝑃
13
∴PQ长的最大值为√9−()2=
323√3. 2
17.(2020•孟村县模拟)如图,第(1)个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为a3=12.第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为a4=20,…,依此类推,由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n⩾3) (1)由题意可得a5= 30 ; (2)求
1𝑎3
+
1𝑎4
+
1𝑎5
+⋯+
1𝑎10
.
【分析】(1)结合图形观察数字,发现:a3=12=3×4,a4=20=4×5,进一步得到a5=5×6; (2)在计算
1𝑎3
的时候,根据
1
3×4
=
13
−,…进行简便计算.
4
1
【解答】解:(1)∵a3=12=3×4,a4=20=4×5, ∴a5=5×6=30. (2)
1𝑎3
+
1𝑎4
+
1𝑎5
+⋯+
1𝑎10
=
13
−
14
+
14
−
15
+⋯+
110
−
111
=
13
−
111
=
8
33
.
故答案为30.
18.(2021•顺城区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=α,点D为射线AC上一动点,作∠BDE=α,过点B作BE⊥BD,交DE于点E,(点A,E在BD的两侧)连接
CE.
(1)如图1,若α=45°时,请直接写出线段AD,CE的数量关系;
(2)如图2,若α=60°时,(1)中的结论是否成立;如果成立,请说明理由,如果不成立,请写出它们的数量关系,并说明理由;
(3)若α=30°,AC=6,且△ABD为等腰三角形时,请直接写出线段CE的长.
第 17
【分析】(1)证明△ABD≌△CBE(SAS),由全等三角形的性质得出AD=CE. (2)证明△ABC∽△DBE,由相似三角形的性质得出比例线段
𝐶𝐸
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐷𝐵𝐵𝐸
,证明△CBE∽△ABD,得出
𝐴𝐷
=
𝐵𝐶𝐵𝐴
,由直角三角形的性质可得出答案;
(3)分三种情况,当AD=BD时,当AB=AD时,当AB=BD=3√3时,由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案. 【解答】解:(1)AD=CE. ∵∠ABC=90°,∠A=45°, ∴∠A=∠ACB=45°, ∴AB=BC,
同理BD=BE,∠DBE=90°, ∴∠ABD=∠CBE, ∴△ABD≌△CBE(SAS), ∴AD=CE.
(2)不成立,EC=√3AD. 证明:∵BE⊥BD,∠ABC=90°, ∴∠DBE=∠ABC=90°, 又∵∠A=∠BDE=α, ∴△ABC∽△DBE, ∴
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐷𝐵𝐵𝐸
,
又∵∠ABC=∠DBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE, ∴∠ABD=∠CBE, ∴△CBE∽△ABD,
第 18
∴
𝐶𝐸𝐴𝐷
=
𝐵𝐶𝐵𝐴
,
在Rt△ABC中,∠A=60°, ∴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝑡𝑎𝑛60°=√3,
∴
𝐶𝐸𝐴𝐷
=
√3,
∴𝐶𝐸=√3𝐴𝐷.
(3)CE的长为3或√3或3√3.如图1,当AD=BD时,
∵∠A=30°,AC=6, ∴BC=3,AB=3√3, 由(2)可知△CBE∽△ABD, ∴𝐶𝐸𝐵𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵, ∴
𝐶𝐸33
=
3√3,
∴CE=√3;
如图2,当AB=AD时,
同理可得𝐶𝐸𝐴𝐷
=
𝐵𝐶𝐴𝐵
,
∴𝐶𝐸3√3=
33√3,
∴CE=3.
如图3,当AB=BD=3√3时,
第 19
∴∠A=∠ADB=30°, ∴∠CBD=∠CDB=30°, ∴BC=CD=3, ∴AD=9, ∴
𝐶𝐸9
=
33√3,
∴CE=3√3.
综合以上可得CE的长为3或√3或3√3.
第 20
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