1、随机子样定义、子样的容量定义及其性质
随机子样：从总体中随机地抽取若干个个体组成的集合。 子样的容量：子样中所含个体的个数。 子样的两重性：
①在试验之前，考虑可能取得的结果时，子样是与总体同分布的相互独立的随机变量； ②在试验之后，试验结果是一组具体的、确定的数值，就不再是随机的。一次具体的抽取记录x1，x2，…，xn是随机变量X1，X2，…，Xn的一个观察值。 2、统计推断定义
从总体中随机地抽取子样，通过统计加工来表征总体所具有的性质，这一过程即为统计推断，它包括：参数估计及假设检验。 3、一致估计定义
为θ的一个估计，如果∀ε＞0，都有limP（|θ −θ|＜ε） =1，则称θ 为θ的一致估计。 设θ
x4、何为“两类错误”
①弃真：原假设为真，但经过检验后拒绝了H0（α） ②取伪：原假设为错，但经过检验后接受了H0（β）
二、计算题
1、求正态分布中μ和σ2的MLE（最大似然估计） 例题：
X~N（μ，σ2）；μ，σ2为未知参数；X1，X2，…，Xn为X的一个子样，求：μ，σ2的MLE 解：X
的密度函数为：f（X；μ，σ2）=1σ 2π··e−
1
·（X−μ）2σ22
似然函数为：L（μ，σ2）=
i1n
1σ 2π··en−
2
1·（Xi−μ）22σ
lnL=-2 ln（2π）- 2 ln（σ2）- 2σ2
∂lnL∂μ
1
nn1
i1（Xi-μ）2
令①
=0 即得：① σ2[i1nXi – nμ]=0
n ②
∂lnL∂σ2 =0 ② -nnn
2σ2 +
12σ4 i1（Xi – μ）2=0
= 解得：μ
n
1
i1 2= Xi = X σ
n
1
i1（Xi - X）2
2、求正态总体中对总体均值μ的置信区间，即X~N（μ，σ2）求μ的1-α的置信区间 例题：
某企业生产一大批产品，现为考察寿命，现从中随机抽16个得： X=1603，Sn2=0.04，假定寿命服从N（μ，0.01），求当α=0.05时，这批产品平均寿命的1-α的置信区间。
σ解：①σ2已知 【 X±n·1.96】
设X1，X2，…，X16为X的一个子样。
=1603、σ=0.1 当α=0.05时，μ1-α/2=1.96 由已知得：n=16、X
σ0.1 1= 由公式 μX-n·μ1-α/2=1603-16×1.96=1602.9510
+·μ1-α/2=1603+ 2=X μ
n σ0.1 16×1.96=1603.0490
即：这批产品平均寿命的1-α的置信区间为（1602.9510，1603.0490）
S②σ2未知 【 X±n·tα（n-1）】 n 设X1，X2，…，X16为X的一个子样。 =1603、Sn=0.2 由已知得：n=16、X
当α=0.05时，tα=tα（n-1）=t0.05（16-1）=2.131 -n·tα=1603-×2.131=1602.8935 1=X 由公式 μ
n4
S0.2
2= μX+n·tα=1603+×2.131=1603.1066 n4
S0.2
即：这批产品平均寿命的1-α的置信区间为（1602.8935，1603.1066） 3、在X~N（μ，σ2）下，对H0，μ=μ0的检验 例题：
某灯泡厂生产一大批灯泡，现为了检查其寿命，随机抽16个得： X=1603，Sn2=0.04，如果寿命服从正态N（μ，64），当α=0.05时，可否认为该批灯泡平均寿命为1600小时？ 解：①σ2已知
H0，μ=1600，设X1，X2，…，X16为X的一个子样。
由已知得：n=16，σ=8， X=1603，μ0=1600 当α=0.05时，μ1-α/2=1.96 因为|U0|=|
−μX0σ/ n|=|
1603−1600
8/4
|=1.5＜μ1-α/2=1.96
即：有理由认为该批灯泡的平均寿命为1600小时。
②σ2未知
H0，μ=1600，设X1，X2，…，X16为X的一个子样。 由已知得：n=16， X=1603，Sn=0.2，μ0=1600 当α=0.05时，tα=tα（n-1）=t0.05（16-1）=2.131 因为|T0|=|S −μX0n/ |=|n1603−16000.2/4
|=60＞tα（n-1）=2.131，拒绝H0
即：不能认为该批灯泡的平均寿命为1600小时。
4、无偏有效 例题：
1和μ 2都为μ的UE（无偏估计） 1和μ 2独立，设X为一个总体，EX=μ，D（X）=σ2，μ，且μ 1）=2D（μ 2）=σ2。 D（μ
=C1μ 1+2C2μ 2也是μ的UE，问C1和C2满足什么条件？ ①若μ
具有最小方差？ ②C1，C2满足什么条件，μ 1=Eμ 2=Eμ =μ 解：①因为Eμ
=E（C1μ 1+2C2μ 2）=C1Eμ 1+2 C2Eμ 2=C1μ+2C2μ=（C1+2C2）μ=μ 又因为 Eμ ∴ C1+2C2=1
22 ）=D（C1μ 1+2C2μ 2）=C1 1）+4C2 2） ②D（μD（μD（μ
1）=2D（μ 2）=σ2 ∵ D（μ
2·2222 ）= C1 ∴ D（μσ+4C2·=（C1+2C2）σ2
2
22
令f（C1，C2）= C1+2C2，求f（C1，C2）在C1+2C2=1条件下的最小值 2222 则f（C1，C2）=（1-2C2）2+2C2=1+4C2-4C2+2C2=6C2-4C2+1
σ2
f'=12C2-4=0 C2=1/3 ∴C1=1-2C2=1/3
具有最小方差。 即：C1=C2=1/3时，μ
三、综合题
1、设X~N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为X的一个子样，Xn+1也是X的一个子样
X−X ①求Xn+1- X的分布 ②n+1·C的分布，并确定C值 S
n
解：①因为X1，X2，…，Xn和Xn+1都是子样， 则：Xn+1- X~N（μ*，σ2*） μ*=E（Xn+1- X）=E Xn+1-E X=μ-μ=0
）=D（Xn+1）+D（X ）=σ2+= σ2*=D（Xn+1-Xn
n+1 即：Xn+1- X~N（0，nσ2）
n+1X−X ②因为Xn+1- X~N（0，σ2）， 则：n+1·
n
σ
nn+1σ2
n+12
σ n
~N（0,1）
Xn+1−Xn· n+1σ 又∵2=
（n−1）S2n
σ2 ~2（n-1）， 由t分布定义：T= S2n/（n−1） n−12σ
~t（n-1）
∴ C= n+1 2、X~N（μ，σ2），σ2=σ20，已知X1，X2，…，Xn为X的一个子样，α=0.05 ＞A）= 时，求A的MLE 当P（X2
X−μA−μA−μσ 解：P（ X＞A）=P（＞）=0.025 即：=1.96 A=0×1.96+μ
σ/ nσ/ nσ/ n n
α
n
=σ0×1.96+ = 因为μX 所以AX n 备注：P（ −μXσ/ n −μX ＜A−μσ/ nA−μ ）=0.025 A−μσ/ nA−μ =-1.96 P（σ/n＞σ/n）=0.05 σ/n=1.96 扩展：
已知：H0，μ=μ0，拒绝域{| X-μ0|＞C}，α=0.05，求C
-μ0|＞C）=α=0.05 解：P（|X ∵P（σ/ −μ||X0 n＞σ/n）=0.05 ∴σ/n=1.96 故C=1.96·n CCσ 若上题为：接受域{| X-μ0|＜C}
-μ0|＜C）=1-α=1-0.05=0.95 <之后计算如上> 解答为：P（|X
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