山西省临汾第一中学2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题

数学（理）试题

参考公式:

样本数据x1 , x2 ,…x n 的标准差 锥体体积公式

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积, 体积公式

其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径

一、选择题: (本大题共12 小题, 每小题5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题

目要求的). 1．设全集U = R,集合 M= {x | y = lg（x2- 1）} , N= { x|0 < x < 2} ,则 NCUM= A．{ x | 0 < x ≤1} B．{ x | - 2 ≤x < 1} C．{ x | - 1 ≤x ≤1} D．{ x | x < 1}

2．若（1 + 2 ai）i = 1-b i ,其中a 、 b ∈ R, i 是虚数单位,则| a + b i | =

A．

155+ i B． C． D．5 2243．下列有关命题的说法正确的是

2A．命题“x ∈R,均有x2- x + 1 > 0”的否定是:“x0 ∈R, 使得x0x010”;

B．在2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大; C．线性回归方程y = bx + a 对应的直线一定经过其样本数据点（ x 1 , y1）、（ x2 , y2）、„, （x n, y n） 中的一个;

D．在 △ABC 中,“ s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件;

x2y2x2y24．已知a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为221 ,双曲线 C2 的方程为221,C1 与 C2 的

abab离心率之积为

3, 则 C1 、 C2 的离心率分别为 2B．

A．

1，3 21,23 4C.

626,2 D. , 422

5．某几何体的三视图如图所示, 正视图、 侧视图、 俯视图都是边

长为1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为

A．4 B．3π C．2π D．

5 26．函数 f( x） = s i n（ω x + φ）（ x ∈R ）（ ω> 0 , | φ | <

果x1 、 x2 ∈(）的部分图象如图所示, 如2,),且f（x1）=f（x2） , 则f（x1 + x2）= 63B．

A．

1 22 2C．

3 D．1 27．给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等,

则这样的x 值的个数是 A．1 B．2 C．3 D. 4 8．有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红菊

花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是 A．24 B．12 C．36 D．48 9．若s i nθ+ cosθ=

2 , 则ta n（θ+

） 的值是 3 D. 32

A．1 B．23 C.13

10．三棱锥 S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,△ABC 是斜边 AB=

a 的等腰直角三角形,则以下结论中: ① 异面直线 SB 与AC 所成的角为90° ; ② 直线 SB ⊥ 平面 ABC ; ③ 平面 SBC ⊥ 平面SAC;

④ 点 C 到平面SAB 的距离是其中正确结论的个数是

A．1 B．4

1a ． 2C．3 D．2

x2y611．设实数x 、y 满足2xy6, 则z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是

x0,y0 A． B． C． D．

12．已知函数y = f（x - 1） 的图象关于点（1 ,0） 对称,且当 x ∈（- ∞,0） 时,

f（x） + xf'（x） < 0 成立（其中f'（x） 是f（x）的导函数）,若a = （30.3） ·f（30.3） ,

b = （log13）·f（log3） ,c =（log31）·f（log 3）则a ,b ,c 的大小关系是

99 A．c > a > b B．a > b > c C．c > b > a D．a > c > b 二、填空题:( 本大题共4 小题,每小题5 分)． 13．设ae11dx, ,则二项式(ax21)6展开式中的常数项为 ． xx

14．在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为a ,b ,c , 且 C =

35π ,sinA =,ca = 45510 , 则b = ．

15．若函数 f（x） =loga(xa4) (a0且a1) 的值域为 R, 则实数a的取值范围x是 ．

16．已知a , b 是单位向量,a ·b = 0 , 若向量c 与向量a ,b 共面, 且满足| a - b - c | = 1 , 则|c|

的取值范围是 ．

三、解答题:（ 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤） 17．(本小题满分12 分) 等差数列{ an} 中公差d ≠0 , a1 = 3 ,a1 、 a4 、 a13 成等比数列． （Ⅰ） 求a n ;

（Ⅱ） 设{ an} 的前n 项和为Sn ,求:

111. S1S2Sn18．(本小题满分12 分)

某公司开发一新产品有甲、乙两种型号,现分别对这两种型号产品进行质量检测, 从它们的

检测数据中随机抽取8 次（ 数值越大产品质量越好） , 记录如下: 甲: 8.3 , 9.0 , 7.9 , 7.8 , 9.4 , 8.9 , 8.4 , 8.3 乙: 9.2 , 9.5 , 8.0 , 7.5 , 8.2 , 8.1 , 9.0 , 8.5 （Ⅰ） 画出甲、 乙两产品数据的茎叶图;

（Ⅱ） 现要从甲、 乙中选一种型号产品投入生产, 从统计学角度, 你认为生产哪种型号产

品合适?简单说明理由;

（Ⅲ） 若将频率视为概率, 对产品乙今后的三次检测数据进行预测, 记这三次数据中不低

于8.5 分的次数为ξ , 求ξ的分布列及期望Eξ ．

19．(本小题满分12 分)

如图,在三棱柱ABC - A1 B1 C1 中,AB ⊥AC,AC ⊥BB1 , AB = A1 B = AC = 1 ,BB1 =2. (Ⅰ) 求证: A1 B ⊥ 平面 ABC ;

(Ⅱ) 若P 是棱B1 C 1 的中点,求二面角P - AB - A1 的余弦值.

20．(本小题满分12 分)

已知函数f(x)[ax(a1)xa(a1)]e（其中a∈R ） ． （Ⅰ） 若x= 0 为f(x) 的极值点, 求a 的值;

（Ⅱ） 在（Ⅰ） 的条件下,解不等式 f(x)(x1)(xx1)

222x122

21．(本小题满分12 分)

已知抛物线C: x2= 2 py（ p > 0） 的焦点为F , 抛物线上一点A的横坐标为x 1（ x1 > 0） 过点 A 作抛物线C 的切线l1 交x 轴于点D , 交y 轴于点Q ,交直线l ∶y =

p于点 M,当 2| FD| = 2 时,∠AF D = 60° ．

（Ⅰ） 求证: △AFQ 为等腰三角形, 并求抛物线 C 的方程; （Ⅱ） 若点 B 位于y 轴左侧的抛物线C 上, 过点B 作抛物线C 的切线l2 交直线l1 于点

P , 交直线l 于点 N , 求 △P MN 面积的最小值, 并求取到最小值时的x1 值．

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．( 本小题满分10 分) 选修4 - 1 : 几何证明选讲

如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC = 90° , 以AB 为直径的圆交AC 于点E ,点 D 是BC 边的中点, 连OD 交圆O 于点 M．

（Ⅰ） 求证: O, B, D, E 四点共圆; （Ⅱ） 求证:2 DE2= DM·AC + DM·AB ．

23．(本题满分10 分) 选修4—4 : 坐标系与参数方程

4x1t5(t为参数）在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 , 若以O为极点,x 轴3y1t5正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ=

2cos（θ+

） 4（Ⅰ） 求直线l 被曲线C 所截得的弦长;

（Ⅱ） 若 M （x , y） 是曲线 C 上的动点, 求xy 的最大值．

24．(本小题满分10 分) 选修4—5 : 不等式选讲 已知函数 f( x） = | x - 1 |

（Ⅰ） 解不等式 f（2 x） + f( x + 4）≥8 ; （Ⅱ） 若| a| < 1 , | b | < 1 , a ≠0 , 求证:

f(ab)bf() aa

选择题正确答案：A、B、D、D、B、C、C、A、B、B、D、A