平面几何中的向量方法

(教学设计)平面几何中的向量方

法(第一稿)(总5页)

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《平面几何中的向量方法》教学设计

广州市花都区圆玄中学 陈苑莉

【教学目标】

1、知识与技能

通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

2、过程与方法：

学生通过自主探究，明白平面几何图形中的有关性质,如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。

3、情感态度与价值观：

通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义. 【教学重点】

用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲” 【教学难点】

如何将几何等实际问题化归为向量问题. 【教学设计说明】 1、教材分析：

（1）本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:

则向量方法的流程图可以简单地表述为:

这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.

（2）研究几何可以采取不同的方法,有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.

2、学情分析

在此之前，学生已经掌握向量的线性运算、基本定理、坐标表示、数量积等内容，但是在动手操作与实际运用等方面，发展不均衡，有待加强。 3、教学策略与手段

2

1）突出重点：通过将例1条件具体化、问题细化的一个探究题目；让学生发现向量与几何有密切联系，向量方法可以解决几何问题。

2）分化难点：通过探究和例题的细化训练，循序渐进将难点分化，． 【教学过程】

教学环节 教学内容 学生活动 各学生根据学案上的问题探究讨论，并把各组的研究成果写在学案上. 教师活动 设计意图 新知 探究 【A组题】已知A(0,0),B(4,1), C(1,4),D(5,5)（如图），解答以下问题： 54yDC21A14B501、（1）判断直线AB与直线CD的位置关系；（2）判断直线AC与直线BD的位置关系。（3) 分别求出线段AB、CD的长度; 2、（1）判断向量AB与CD的位置关系； （2）求向量x 先根据各小组的数学基础把各小组分成两类，给各个小组布置任务，让基础较薄弱的小组完成A组题，让基础较好的小组完成B组题。 AC与BD的夹角；（3）求向量AB、CD、BC、AD、AC、BD的模； 通过以上问题你有什么发现？ 【B组题】 1、已知A(0,0),B(4,1), C(1,4), D(5,5)， 1）证明以这四个点为顶点的 创设探究目的是突破本课题的重点，让学生发现向量与几何有密切联系，向量方法可以解决几何问题。和用向量方法解决几何问题的“三步曲” A组题：让学生体会到向量与平面几何有联系。 问题2（3）为后面的例1做好铺垫。 B组题：问题1让学生在解题3

四边形是一个平行四边形； 2）分别求出各边长和对角线的长度。 以上两个几何问题你是用什么知识解答出来的，你能结合上面两个题目的解题过程分析出解题步骤吗？ 用向量方法解决几何问题的引“三步曲”：形转化为向量 出 新向量的运算 课 向量和数还原为形 各小组派代表讲解他们研究成果，各抒己见，相互补充 典例分析 1 例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间D C的关系吗？ AB 思考1： 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度有何关系？结合上题的计算结果，平行四边形有相似关系吗？ 2．平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，你能结合向量方法”三步曲”证明你的结论吗 思考2：除了向量方法，你能 学生通过学案上的问题引导，自己探索出解题思路，给出解答过程。 点评 总结：可以用向量方法解决几何问题，并用课件展示向量方法解决几何问题的“三步曲”具体步骤 问题1引导学生用向量数量积求与长度有关的几何问题， 提出思考题，让学生经过思考展示向量以外其他解法. 过程中经过探讨，提炼出向量方法解决几何问题的“三步曲：形转化为向量——向量的运算——向量和数还原为形. 该题比较简单，学生很容易解答出结果，相对课本例1，更容易在此基础上提炼“三步曲” 第2小题为后面的例1做好铺垫。 时间： 预备3分钟+正课5分钟 学生通过简单的知识探究，由固有知识发现新规律，符合学生的认知规律，大大提高教学效率。 时间： 5 分钟 典例选题立意：在学生得到新知识的基础上，通过两个示范性强的例题，让学生进行实践，应用向量方法解决几何问题的“三步曲”，在解题过程中突破本节的难点：把几何问题化归为向量问题. 例1： 问题1让学生类比长方形的性质，猜想出平行四边形的相似性质. 问题2引导学生用向量方法的“三步曲”给出证明. 通过思考2，发散学生思维的同时，让学生体会向量法解决几何问题的优越性。 时间：10分钟 4

典例分析 2 用其他方法给出证明吗？ 例2：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ FDC ERT AB 思考1：AR、RT、TC与AC是什么关系？AD与 观察几何画板的动态演示，猜想出结论. AR、AT、AC之间有什么关系怎样表示这种关系能利用这个关系解题吗 思考2：若把“E为中点”改为“E为AD的靠近A的三等分点”呢？ 课堂小结 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 回顾本节课内容，总结出本节课重点。 先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜想出结论. 师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点. 通过学案上的思考题，引导学生用待定系数法表示两平行向量，进而解答出此题。 通过思考2“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想和方法. 1、提醒学生领悟“三步曲”的本质.掌握将平面几何问题转化为向量问题的化归思想. 2、鼓励学生课后继续探讨并力求攻例2：通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用。通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题。 此题应用到了平行向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量的重要数学思想，和待定系数法这个重要的数学方法. 分析：要判断AR,RT,TC,之间的关系，只需判断AR,RT,TC与AC的关系.所以找向量关系即可. 时间：10分钟 使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于以后的学习中. 时间：2分钟 5

巩固 训练 A组： 1、在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长 B组： 1、已知 AC为⊙O的一条直径， ∠ABC是圆周角，求证： ∠ABC=90° 两组的第1题：学生相互讨论，分析思路.自己写出证明过程. 第2题：学生独立完成. 2 如图5,AD、BE、CF是△ABC的 三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点. 克这一难点. 引导学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量问题 分组练习：对不同基础的学生进行分层训练，尽量让每位学生动起来，同时对基础较好的学生进行强化训练。 设计意图：继续突破难点，学会把各种类型的几何问题灵活的化归为向量问题，从而综合的解决各种平面几何问题. 时间：8分钟 （若课堂时间较紧张，可稍作点评后做课后训练） 布置作业 板书设计

1、完成学案 2、课本P119 第 6题 巩固课内知识 知识点 多媒体演示 例题 6