Cantor集、连续延拓定理

Cantor集

对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor三分集, 记为C.

它的性质

(1) 分割点⼀定在Cantor集中,

(2) C的\"长度\"为0，去掉的区间长度和$$\\sum{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{3n}\\cdot 2^{n-1}=\\frac{\\frac{1}{3}}{1-\\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点

证明：对任意x\\in C, x必被含于在第n次时留下的2^n个长为1/3^n的互不相交的某个闭区间I^{(n)}_{i}中, \\forall\\varepsilon>0,

1/3^n<\\varepsilon, I^{(n)}_{i}\\subset B(x,\\varepsilon),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,\\varepsilon)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制

⼗进制⼩数：相应于 对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于 对[0,1]⼆等分

说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000...,~~~0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为\\aleph,(利⽤三进制证明)

证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应

X\\in P\o x=\\sum^{\\infty}_{k=1}\\frac{a_k}{3^k}(a_k=0,2).

说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰, 0.100000...=0.022222...,~~~0.200000...=0.122222...对x\\in C, 令A=\\{k|a_k=0\\}, 则A\\subset\\mathbb{N}_{+}.对应关系x\o A构成了C到P(\\mathbb{N}_{+})的⼀⼀映射.

第⼀章 集合与点集

第六节 点集间的距离

定义1.16 设E\\subset\\mathbb{R}^{n}, f是定义在E上的实值函数, x_0\\in E, 若\\forall\\varepsilon>0,\\exists\\delta>0, 使得x\\in E\\capB(x_0,\\delta)时候，|f(x)-f(x_0)|<\\varepsilon. 称为f在x_0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E_0\\subset E, 则f在E_0连续.

定理1.22 若E_1,E_2是闭集, f定义于E_1\\cup E_2上, 且分别在E_1,E_2上连续, 则f相对于E_1\\cup E_2也⼀定连续.

证明：若x\\in E_1\\cup E_2. 不妨设它为聚点, 因为E_1,E_2为闭集, 则E_1\\cup E_2内任⼀以x_0为极限的点列\\{y_k\\}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y_k属于E_1或E_2(相应x_0\\in E_1或x_0\\in E_2.)容易证明.

其⼆, \\{y_k\\}由两个分别属于E_1,E_2的⽆穷⼦列组成, 此时, x_0\\in E_1\\cup E_2, 因为\\lim\\limits_{x\o x_0, x\\in E_1}f(x)=\\lim\\limits_{x\ox_0,x\\in E_2}=f(x_0),

因此\\lim\\limits_{k\o\\infty} f(y_k)=f(x_0).

定理1.23 设f是\\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界

(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续

定理1.24 设E\\subset\\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\\cdots是E上的连续函数列, 且k\o\\infty时, \\{f_k\\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\\in\\mathbb{R}^n, E\\subset\\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\\inf\\{d(x_0,y)|y\\in E\\}.

证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E). 对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\\inf\\{d(x,y)|x\\in A,y\\in B\\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\\in A, y_0\\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\\in E|f(x)>a}:=E(f>a).

定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\\subset\\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\\cap E. 也存在开

集H_a\\subset\\mathbb{R}^n, 使得E(f证明：对任意x\\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\\delta=\\delta(x,a)>0, 使得y\\in E\\cap B(x,\\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\\bigcup_{x\\inE(f>a)} B(x,\\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\\cap E.同理可证, H_a.

推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\\subset\\mathbb{R}^n, 使得E(f\\geq a)=F_a\\cap E. 也存在开集K_a\\subset\\mathbb{R}^n, 使得E(f\\leq a)=K_a\\cap E.

推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f定理1.26 若f是\\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f连续延拓定理

引理：若F_1,F_2是\\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\\leq f(x)\\leq 1(x\\in\\mathbb{R}^n);(2) F_1=\\{x: f(x)=1\\}, F_2=\\{x: f(x)=0\\}.

证明：构造函数f(x)=\\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\\in\\mathbb{R}^n.

定理1.27 连续延拓定理：若F是\\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\\leq M(x\\in F), 则存在\\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜

|g(x)|\\leq M, g(x)=f(x), x\\in F.

证明：把F分成三个点集：A=\\{x\\in F:M/3\\leq f(x)\\leq M\\},B=\\{x\\in F:-M\\leq f(x)\\leq -M/3\\},C=\\{x\\in F:其他\\}.并作函数g_1(x)=\\frac{M}{3}\\cdot\\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\\in\\mathbb{R}^n.

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