高中数学 专题01 集合与常用逻辑用语(教师版)新人教版

一、考纲解读

1．了解：了解集合的含义、元素与集合的属于关系、全集与空集的含义；了解“若p，则q”形式的命题，逆命题、否命题与逆否命题，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

2．理解：理解集合之间包含与相等的含义、两个集合的并集与交集的含义、在给定集合中一个子集的补集的含义；理解命题的概念、充分条件与充要条件的意义、全称量词与存在量词的意义．

3．掌握：能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算；能正确地对含有一个量词的命题进行否定；会求两个简单集合的并集与交集、求给定子集的补集，以及会分析四种命题的相互关系． 二、知识结构

集合的含义与表示 集合 集合间的基本关系 集合的基本运算 列举法、描述法、图示法(文氏图) 子集(包含) 真子集(真包含) 并集、交集、补集（全集） 四种命题及相互关系 命题及其关系 常用逻辑用语 充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 且、或、非 全称命题与特称命题 三、复习策略

1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用.可以较好地掌握以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分情况．

2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．

3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，对于其中涉及的化归思想和等价转化思想进行认真体会．

4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位，判断要准确，表达要合乎逻辑．

5．充分条件、必要条件及充要条件的复习，要把握好“若p则q”的命题中条件与结论之间的逻辑关系，真正弄懂它并善于应用它去分析和解决问题． 四、典例精析

1．元素与集合的关系

例1 （2020高考真题新课标理1）已知集合A{1,2,3,4,5}中所含元素的个数为（ ）

A．3 B．6 C． D．

分析：根据集合A中的元素确定集合B中的元素，由此可得集合B中的个数，确定时注意分类讨论思想的应用．

解：要使xyA,当x5时，y可是1，2，3，4；当x4时，y可是1，2，3；当x3时，y可是1，2；当x2时，y可是1，综上共有10个，选D.

,B{(x,y)xA,yA,xyA}；,则B方法提炼：元素与集合关系主要涉及两类题型：（1）判断元素与集合之间的关系，解答时如果不能直接判断，则须对元素结构进行转化或集合进行化简；（2）根据元素与集合的关系求解相关问题，解答时要根据具体条件进行分析，采用对元素的结构转化、元素间的相等关系建立方程等手段． 2．集合之间的基本关系

2Qx|2x5x0,xN，例2 （山东省实验中学2020届高三第二次诊断性测试）设全集且PQ，

则满足条件的集合P的个数是（ ）

A．3 B．4 C．7 D．8

分析：首先通过解不等式确定集合Q中的元素，然后根据集合Q中的元素个数进而可确定Q的子集个数．

5Qx|2x25x0,xN={x0x，xN}={0,1,2}32解：，所以满足PQ的集合P有2=8个，

故选D．

方法提炼：集合与集合之间的关系主要题型：（1）判断两个集合间的关系，数集之间的关系可借助数轴进行判断，点集可考虑利用数形结合解决．（2）根据集合间的关系求相关的参数，通过要建立方程来解决；（3）计算集合的子集个数，解答关键是确定集合的元素个数． 3．与函数交汇的集合运算

32a|f(x)=8x3ax+6x是(0，+∞)上例3 （天津市耀华中学2020届高三第一次月考理科）设集合是A={

B={y|y=的增函数}，

5,x[-1,3]}ð(AIB)x+2，则R＝_____________．

分析：首先利用导数和基本不等式确定集合简化集合A，然后通过求函数的值域化简集合B，最后求

ðR(AIB)．

22f'(x)=24x6ax6f'(x)=24x6ax60恒成立，即(0,)解：，要使函数在上是增函数，则

a4x1114x24x4A{aa4}xxx，因为，所以a4，即集合.集合

B={y|y=5,x[-1,3]}AB{x1x4}ð(AIB)=(,1)U(4,)x+2＝{y|1≤y≤5}，所以，所以R．

方法提炼：集合与函数的交汇主要体现为以函数的定义域或值域为集合问题，因此此类问题的解答关键是

要正确确定函数的定义域或值域，从而使集合得到简化，进而再进行集合间的基本运算． 4．与不等式交汇的集合运算

例4 （2020高考真题天津理）已知集合A{x|xR||x2|3}，集合B{x|xR|

|(xm)(x2)0}，且AIB(1,n)，则m__________，n__________．

分析：首先通过解不等式简化集合A，然后根据AIB的范围及A的集合的范围分析集合范围的端点值与B中不等式中的关系，由此建立一个简单的方程可求得m，n的值． 解：由

x23A{x5x1}，n)，，得3x23，即5x1，所以集合，因为AB(1所以1是方程(xm)(x2)0的根，所以代入得3(1m)0，所以m1，此时不等式

(x1)(x2)0的解为1x2，所以AB(1，1)，即n1．

方法提炼：解答此类试题主要分两步完成：（1）简化集合．如果集合与函数结合，则可通过求函数的定义域或值域给出化简的集合；如果集合与不等式结合，则可通过解不等式简化集合．（2）进行集合运算． 5．与解析几何交汇的集合运算

1{(x,y)|(yx)(y)0}x例5 （2020年重庆高考理科）设平面点集A＝，B＝

{(x,y)|(x1)2(y1)21}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（ ）

34A．

35B．

43C．

D．2

分析：首先作出集合A与B表示的平面区域，然后求其公共区域，即A∩B表示的平面区域，再根据图形的对称性可求得A∩B所表示的平面图形的面积．

yx0yx011y0y0xx解：平面点集A表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集

B表示的平面区域为以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆心的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，

y如图所示，图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形，由于圆和曲线

1x1关于直线y＝x对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的2，即为2．

方法提炼：此类试题主要体现为集合的元素为解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线上的点或某平面区域内的点坐标，因此解答时可以将集合问题转化为解析几何问题来处理． 6．四种命题的转换

例6 （2020高考真题湖南）命题“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是（ ） A．若α≠4，则tanα≠1 B．若α=4，则tanα≠1 C．若tanα≠1，则α≠4 D．若tanα≠1，则α=4

分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，按此要求可写所要求的否命题．

解：根据原命题与逆否命题的关系可得“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4”，

故选C．

方法提炼：进行命题的转换体现在“换位”与“换质”两个方面：“换位”是指交换原命题的条件与结论，“换质”是指对条件和结论进行否定．同时在进行命题转换时要注意两点：①如果命题中无明显的“若p，则q”形式,可以先对命题进行改写；②“或”与“且”的互否性． 7．命题的否定

例7 （2020高考真题辽宁）已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是（ ） A．x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0 B．x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0 C．x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)＜0 D．x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)＜0

分析：已知命题是全称命题，因此将全称量词否定为特称量词，判断词“≥”否定为是“＜”即可． 解：命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)<0，故选C．

方法提炼：对含有一个量词命题的否定一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称命题与存在性命题互为否定，肯定与否定互为否定．而对一个命题的否定时，注意区分命题的“否定”与“否命题”，命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件，否命题则是既要否定结论，又要否定条件． 8．充分条件与必要条件的判断

111abca,b,cRbc例8 （2020高考湖北文）设，则“abc1”是“a”的（ ）

A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件

111111abcabcbcbc分析：考虑abc1a是否成立？aabc1是否成

立．

解：当

abc1时，

111abcabcabcabbccaabcabc，而

2abcabbcca2ab2bc2ca（当且仅当abc，且abc1，即

111abbccaabcbcabc时等号成立），故a；但当取abc2,显然有111111abcabcabcbc,但abc1,即由a不可以推得abc1；综上，111abcbcabc1是a的充分不必要条件.应选A．

方法提炼：充要条件判断主要有定义法、集合法、命题法三种方法．判断时还须做到：①确定命题的条件

和结论；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件． 五、自主演练 一、选择题

1．(北京东城区普通校2020学年高三第一学期联考理)若集合能是 A．

Axx0，且AIBB，则集合B可

1,2

B．

xx1

C．

1,0,1

D．R

1,2A，所以答案选A.

1．A 解析：因为AIBB，所以BA，因为

2ln(x1)，x∈R}，Q＝{y | y＝2．（重庆市部分重点中学2020年高三上学期第一次联考）设P＝{y | y＝

11()x2，x∈R}，则（ ）

A． P Q B．Q P C．Q∁RP

D． ∁RQP[:]

2．D 解析P＝{y | y≥0}，Q＝{y | y<1}．逐个对照易得答案．

3．(北大附中河南分校2020届高三第四次月考理)已知集合P{正奇数}和集合

M{x|xab,aP,bP}，若MP，则M中的运算“”是 （ ）

A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法

3．C 解析：因为MP,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，选C．

2M{y|yx}，4．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考 理科）已知集合

N{y|x2y22}，则MN=（ ）

A．{(1,1),(1,1)} B．{1} C．[0,1] D．[0,4．D 解析：

2]

，所以

M{y|yx2}{yy0}，选D．

，

N{y|x2y22}{y2y2}MIN{y0y2}5．【2020届河北省重点中学联合考试】设全集U＝R，A＝{x｜2(x1)2＜2}，B＝{x｜

log1(x2x1)log2(x22)}，则右图中阴影部分表示的集合为

A、{x｜1≤x＜2} B、{x｜x≥1} C、{x｜0＜x≤1} D、{x｜x≤1}

2CB[0,)CB5．A 解析：因A(0,2)，B(,1)，则U．图中阴影部分为U，于是AI(CUB)[0,2)，故选A．

6． (山东省威海市2020届高三上期末)已知R为全集，A{x|(1x)(x2)0},则（A）

CRA

{x|x2或x1} （B）{x|x2或x1}

（C）{x|2x1} （D）{x|2x1} 6．C 解析：因为A{x|(1x)(x2)0}，所以

ðRA{x|(1x)(x2)0}{x(x1)(x2)0}{x2x1}7．(山东省临沂市2020届高三第二次模拟理)设实数a的取值范围是

，选C．

Ax2x13，Bxxa0，若AB，则

1] （C）(，2) （D）(，2] （A）(，-1) （B）(，7．A 解析：集合选A．

8．(山东省临沂市2020届高三第二次模拟文)设集合

A{x32x13}{x1x2}，而

B{xxa}，因为AB，所以a1，

P3,log2a，

Qa,b，若

PQ0，则

PQ

(A)

3,0 (B) 3,0,1 (C) 3,0,2 (D)3,0,1,2

8．B 解析：因为a0，所以必有b0，则log2a0，解得a1，所以集合P{0,3}，Q{0,1},

，3}，选B． 所以PQ{0,19．(北京市昌平区2020届高三上学期期末考试理)设集合于

A．{x|x2} 9．C 解析：

B．

Axx>1,Bx|x(x2)0，则AB等

x0x2

C．

x1x2

,所以

D．{x|0x1}

，选C．

xBx|x(x2)0{x0x2}AIB{x1x2}10．(山东省泰安市2020届高三上期末理)已知集合

则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为 A．C．10

Mxy2xx2，集合Nyy3,x0，

2,

解

析

B．

0,12,

D．

0,12,

．

C

0,12,

Mxy2xx2{x2xx20}{x0x2}：

，，

Nyy3x,x0{yy1}，则阴影部分为

{xxMUN且xMIN}，

MUN{xx0}MIN{x1x2}，所以，即阴影部分为

{xxMUN且xMIN}{x0x1或x2}，即

0,12,，选C．

11．(贵州省四校2020届高三上期末(天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考))已知集合

M{x|x210}，N{y|ylog2(x2),xM}，则MN（ ）

A．(0,1) B．(1,1) C． (1,0) D．  11．A 解析：

M{x|x210}{x1x1}，

，

N{y|ylog2(x2),xM}{y|ylog2(x2),1x1}{ylog21ylog23}即

N{y0ylog23}，所以

MIN{x0x1}，即(0,1)，选A．

2A{x|xx20}，B{x|yln(1|x|)}，12．(2020年长春市高中毕业班第一次调研理)已知集合

则

AI(ðRB)

B． [1,2)

C． (1,1)

D． (1,2]

A． (1,2)

212．B 由xx20可得1x2，又yln(1|x|)中1|x|0，则1|x|即1x1，则

ðRB{x|x≤-1或x≥1}，因此

AI(ðRB)[1,2)，故选B．

，

13．(惠州市2020届高三第三次调研理)已知集合的所有可能取值的集合为（ ） A．

A1，1Bxax10，若BA，则实数a1

B．

1

C．

11，

D．

011，，

13．D 解析：a0或1或1．

2xR,xax10为假命题，则a的取值范围为 14．(山东省威海市2020届高三上期末文)

（A）(2,2)（B）[2,2]（C）(,2)U(2,)（D）(,2]U[2,)

222xR,xax10xR,xax10a014︰A 解析：因为为假命题，所以，即，即40，

解得2x2，即a的取值范围为(2,2)，所以选A.

2x[1,2],xa0”p15．(山东省临沂市2020届高三第二次模拟理)已知命题：“，命题q：“xR，

x22ax2a0”。若命题：“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是

（A）a2或a1 （B）a2或1a2 （C）a1 （D）2a1

222x[1,2],xa0x[1,2],xa，15．A 解析：，即所以a1。xR,有x2ax2a0，24a4(2a)0，解得a1或a2，因为命题p且q为真，所以则说明方程有解，即判别式

p，q同为真命题，所以a2或a1，选A.

16．(山东省淄博市2020届高三上期末文)下列有关命题的说法正确的是

22x1xx1A．命题“若，则”的否命题为“若1，则x1” 22xR,xx10xR,xx10” B．命题“”的否定是“

C．命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题为假命题 D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题

22x1x1，则x1”所以A错误。命题x116．D 解析：命题“若，则”的否命题为“若

22“xR,xx10”的否定是“xR,xx10”，所以B错误。命题“若xy，则sinxsiny”

正确，则命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题也正确，所以C错误，故选D.

xxR,ex”的否定是（） 17．(2020安徽省省级示范高中名校高三联考文)命题“

xxxxxR,exxR,ex xR,exxR,exA. B. C. D.

17． 解析：对结论否定的同时量词对应改变.

yf(x)18．( 山东省兖州市2020届高三9月入学诊断)对于函数yf(x)，xR，“的图象关于y轴

对称”是“yf(x)是奇函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

yf(x)18．解析：若yf(x)是奇函数，则的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数yf(x)，

满足

yf(x)的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选C.

ablog2alog2b19．（2020广东惠州市第二次调研）“22”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D. 必要不充分条件 19．D 解析：注意a,b的正负号.故选D．

2\"a2\"是\"a2a\"成立的（ ）aR,20．(遵义四中2020～2020学年度高三第四次月考文)已知则

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

220．A 解析：由a2a得a2或a0，所以\"a2\"是\"a2a\"成立的充分不必要条件，选A.

221．(广东省华南师大附中2020届高三第三次月考文)设命题（ ）

p:2x31q:，

x10x2，则p是q的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 21．〖解析〗：p:1x2，q:1x2，故选A．

a2b2222．【2020学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】“ab”是“a0且b0”的（ ）

A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要

22．A

二、填空题

24．(山东省临沂罗庄高考补习学校2020届高三10月月考理)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________．

24．－3 解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3．

25． (山东省兖州市2020届高三9月入学诊断检测)已知集合

Axx2160,Bxx24x30,则AB____25．R 解析：



Axx2160{x4x4}Bxx24x30{xx3或x1},

，所以

AUBR

26．(北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末高三文)设函数f(x)x6x5，集合

2A{(a,b)|f(a)f(b)0，且f(a)f(b)0}．在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积

为______．

22f(x)x6x5(x3)4，所以由f(a)f(b)0得4π26． 解析：因为

(a3)24(b3)240，即(a3)2(b3)28，它表示以(3,3)为圆心，

22半径为22的圆面。由f(a)f(b)0得f(a)f(b)，即a6ab6b，整

ab0ab0ab60ab60，显然(ab)(ab6)0理得，即或ab0,ab60的交点为(3,3)，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所

1(22)24以集合A所表示的区域的面积为2，如图：

27．(云南省昆明三中11-12学年高二上期末文)已知命题p:“

x1,2,x2a0”，命题q:

2xR,x2ax2a0”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_________. “

1a02aa2或a14a42a0，27．解： 由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有可解得

aa2或a1

xx[0,l],ae，28．(山东省诸城市2020届高三12月月考理)已知命题P：命题q：“xR，x2+4x+a=0”，

若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是 ；

[e,4] 【解析】28．因为x[0,l],ae，,所以ae。由“xR，x2+4x+a=0，可得判别式164a0，

x即a4。若命题“p∧q”是真命题，所以p,q同为真，所以ea4，即[e,4]。 29．(山东省临沂市2020届高三上学期期中考试文)若命题“则实数a的取值范围是 。

224a4(2a)0，x2ax2a0a1a229．或 解析：若命题为真，则对应方程有解，即

2x0R,x02ax02a0是真命题”，

解得a1或a2。

230．(北师特学校2020～2020学年度第二次月考理)命题“若x1，则1x1”的逆否命题为

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230．若x1或x1，则x1 解析：根据逆否命题的定义可知原命题的逆否命题为“若x1或x1，

则x1。”

25(1,)2使函数31.【重庆市部分重点中学2020年高三上学期第一次联考】设p:xg(x)log2(tx22x2)有意义，若p为假命题，则t的取值范围为 ．

1(,)31．2