数学（文）试题
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足A. 第一象限【答案】B 【解析】
分析:先求复数z,再求z的共轭复数，再判断详解：由题得
所以z的共轭复数在复平面内对应的点为（
-2,2）,
:B.
意在考查学生对这些知识的掌握水平
对应的点所在的象限
.(2) 复.复数
的共轭复数在复平面内对应的点在第几象限
.
B. 第二象限
，则的共轭复数在复平面内对应的点在（C. 第三象限
D. 第四象限
）
所以的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限，故答案为
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，数
考查复数的几何意义，
对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数和点（a,b）是一一对应的关系
.
（
）
2. 设集合A.
B.
C.
D.
，则
【答案】D 【解析】分析：先化简集合详解：由题得
A=
A,B,再求
，B=.故答案为：D.
.(2)解答集合的问题，
的定义域，不是函数
.
,
所以A∩B=
点睛：（1）本题主要考查集合的运算和化简，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力必须认真看清“|”前的字母形式，集合
的值域.
3. 命题“
”的否定是（
）
B中“|”前是x,所以它表示函数
A. C.
【答案】D 【解析】
B. D.
分析：利用特称命题的否定解答详解：由特称命题的否定得命题
故答案为：D.
. “
”的否定是“
”，
点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平的否定
.
,那么这个圆心角所对的弧长为（
）
.(2) 特称命题,特称命题
4. 已知弧度的圆心角所对的弦长为A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
分析：先根据题意求出扇形的半径，再利用弧长公式求出这个圆心角所对的弧长详解：由题得
所以
,
，故答案为：A. 弧长和半径之间的关系，
意在考查学生对这些知识的掌握水平
.(2)圆心角
.
所以这个圆心角所对的弧长为
点睛：（1）本题主要考查扇形的圆心角、的弧度数：∣
∣＝其中代表弧长, 代表圆的半径.
“道在人间或可传，小还轻变已多年。今来海上升高望，不到蓬莱
）
既非充分又非必要条件
5. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，不是仙” ，由此推断，后一句中A. 必要条件 B. 【答案】B 【解析】
分析：直接利用充要条件的定义判断得解
.
“是仙”是“到蓬莱”的（
充要条件 D.
充分条件 C.
详解：由题得，“是仙”一定“到蓬莱”，所以
由题得，“到蓬莱”不一定“是仙”，所以故答案为：B.
“是仙”是“到蓬莱”的充分条件. “是仙”是“到蓬莱”的非必要条件.
点睛：本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力6. 若函数
的最小值是
，则实数
的取值范围是（
）
.
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
分析：讨论x＜1，x≥1时f（x）的单调性，可得详解: 函数
2
f（x）的值域，由题意可得a﹣3≥1，可得a的范围．
的最小值是1，
2
当x＜1时，f（x）=x﹣4x+a=（x﹣2）+a﹣4，且为减函数，可得f（x）＞f（1）=a﹣3，由x≥1时，f（x）递增，可得由题意可得a﹣3≥１，即a≥４，故答案为：C．
点睛：（1）本题主要考查分段函数的图像和性质，考查二次函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法于1，且必须取到
1.
为其终边上的一点，且D.
，则
（
）
.(2)分段函数的最小值是
m,则每一段的函数的最小值都要大于等
f（x）的最小值为
f（1）=1，
7. 设角是第二象限角，A.
B.
C.
【答案】A 【解析】分析：根据任意角
α的余弦的定义和已知条件可得
x的值，再由sinα的定义求得结果．
详解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα=．
再由
可得 x=﹣3，∴sinα＝
.
点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平任意的一点（原点除外）8. 已知曲线A. B. 【答案】B 【解析】
C.
,r代表点到原点的距离，上一点 D.
，则
则sin= , cos（
）
.(2) =, tan
点p(x,y)是角终边上的=.
分析：先求导详解: 由题得
，再求，再求
.
==.故答案为：B.
.(2)如果
在
时，
无限
点睛：（1）本题主要考查导数的定义，考查求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在
处的瞬时变化率，又称为函数
处的导数，
记作
，即
.
9. 设，且，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】分析：先画出函数的图像，根据且得到a＜0，b＞0，c＞0,再找正确的选项详解：作出函数
的图像，
因为且，
所以a＜0，b＞0，c＞0, 因为
，所以
.
故答案为：D.
点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a＜0，b＞0，c＞0.
10. 函数
的图象大致为（
）
.
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
分析：先化简函数得
=
，再求函数在（0,1）单调递增，所以排除A,D，再求f(-1)=1,
故答案为C.
详解：由题得
=
，
当x>0时，如果0 ，所以函数在（0,1）单调递增，所以排除 A,D. ，所以排除B选C.故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查根据函数的解析式找图像，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答类似的题目，一般先找差异，再验证11. 某单位实行职工值夜班制度，班，星期六和星期日不值夜班，若期几（A. 五 ）B. 四 C. 三 D. 二 已知 . 且没有两人同时值夜 名职工每星期一到星期五都要值一次夜班， 至少连续 天不值夜班， 昨天值夜班，从今天起星期四值夜班，则今天是星 【答案】B 【解析】 分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三 B，C至少有 一人值夜班，与已知从今天起值夜班，与已知从今天起 B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人 B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四． 详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五， 若今天是周二，则周一与已知从今天起若今天是周三，则与已知从今天起 A值夜班，周四 D值夜班，则周二与周三 B，C至少有一人值夜班， B，C至少连续4天不值夜班矛盾； A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少连续4天不值夜班矛盾； A值夜班，周四 D值夜班，周五 E值夜班，符合题意． B，C至少有一人值夜班， 若今天是周四，则周三故今天是周四．故答案为：B． 点睛：（1）本题主要考查推理证明， 意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力 . ，现给出如下结论： .(2)类似这种题目，一般利用 假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设12. 已知① ； ② ；） D. ①③③ ； ④ . 其中正确结论的序号为（A. ②③ B. ①④ C. ②④ 【答案】A 【解析】分析：先求出 f′（x），再进行因式分解，求出 f′（x）＜0和f′（x）＞0对应x的范围，即求出函数的单调区 f（1）＞0且f（2）＜0，进行求解得到 abc的符号，进行判断 间和极值，再由条件判断出出f（0）的符号． a、b、c的具体范围和 详解：由题意得，f′（x）=3x﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2）， ∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间是（﹣∴函数的极大值是 f（1）= ∞，1），（2，+∞），减区间是（1，2），，函数的极小值是 f（2）=2﹣abc， 2 ∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0， ∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜∴f（0）=﹣abc＜0， 则f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，故答案为：A． ， 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 .(2)解答本题的关键是通过分析得到 a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0. 二．填空题：本题共 13. 已知【答案】—【解析】 分析：根据已知求出详解：因为 所以 4小题，每小题5分，共20分. ，则 _____________________. ,再求 ， 的值. .故答案为：—. .(2) 同角的两大关系：商数关系 点睛：(1)本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平 = tan,平方关系 14. 《聊斋志异》中有这样一首诗： . “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这 里，我们称形如以下形式的等式具有 “：穿墙术” ， 则按照以上规律，若【答案】【解析】 具有“穿墙术”，则________________. 分析：观察已知的式子，找到其中的规律，问题得以解决． 详解：， 则按照以上规律8=，可得n=8﹣1=63，故答案为：63. 意在考查学生对这些知识的掌握水平 .(2)猜想归纳后，最好把求出的结 2 点睛：本题主要考查不完全归纳和推理证明，果代进去检验. 15. 若函数【答案】【解析】 的定义域为 ，值域为，则 的取值范围是____________ 试题分析：的值最小为 ；最大为 ， 的取值范围是： ∴ ，故答案 ，又 . ，故由二次函数图象可知： 考点：二次函数的性质．16. 设过曲线 ，则实数【答案】【解析】分析：求出函数 f（x）=﹣e﹣x+3a的导函数，进一步求得 x x 上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得 的取值范围为_____________________. ∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后 g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线 l2， 把过曲线f（x）=﹣e﹣x+3a上任意一点的切线为使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． l1，总存在过曲线 详解：由f（x）=﹣e﹣x+3a，得f′（x）=﹣e﹣1， 由g（x）=（x﹣1）a+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣e﹣x+3a上任意一点的切线为总存在过曲线 x x xx l1， l2，使得l1⊥l2，， g（x）=a（x﹣1）+2cosx上一点处的切线 所以（﹣e﹣1）（a﹣2sinx）=-1，所以（a﹣2sinx）=∵e+1＞1，∴所以（0，1）则 x ∈（0，1），[﹣2+a，2+a]， ，解得﹣1≤a≤２． . 即a的取值范围为[﹣1，2]．故答案为: 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查求导和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题不要弄错了，不要写成 上任意一点处的切线为 线”中的“存在”． [﹣2+a，2+a] （0，1），这一点要理解清楚 .注意“过曲线 上一点处的切 ”中的“任意”，注意“总存在过曲线 三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 在直角坐标系 中以. (Ⅰ)求 与 交点的极坐标； 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 、直线 . 的极坐标方程分别为 (Ⅱ)设为 的圆心，为与的交点连线的中点，已知直线的参数方程为，求的 值. 【答案】（1）【解析】 分析：（1）先把圆 、直线 的极坐标化成直角坐标方程，再解它们的方程组得到交点的直角坐标，再把点的直角 PQ的直角坐标方程 ，再把直线PQ的参数方程化成直角坐标，比较即得 （2） 坐标化成极坐标.(2)先求出直线a,b的值. 详解：（1）由题意知 联立 的直角坐标方程为，得 ， 交点的极坐标为 （2）由（1）得，点与故直线 点的坐标分别为 ， ， 的直角坐标方程为 由参数方程可得，，解得 点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)本题的第1问，也可以直接解极坐标方程组得到交点的极坐标18. 已知（1）若（2）若 是 ，设：实数满足，且 为真，求实数 ， 的取值范围； 的取值范围． ：实数满足 ． . 的充分不必要条件，求实数 【答案】（1）【解析】 （2） 试题分析：（1）为真时实数是 的充分不必要条件即即 的取值范围是，为真时实数x的取值范围是 且 . ，然后求交集即可；（2） 是的充分不必要条件，易得： 试题解析：（1）由当由因为所以实数（2）由 所以，为真时实数因为所以所以实数 是且 的取值范围为： 的函数 . 是奇函数. 时， ，得为真，所以 得 ，即为真时实数 的取值范围是 . ，即为真时实数x的取值范围是真且真， . ， . 是的充分不必要条件 的取值范围是 得 的取值范围是 的充分不必要条件，即 19. 已知定义域为（1）求的值；（2）关于 的不等式 （2） 在有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）【解析】 试题分析：（1）由（2）由正负即可证得；（3）不等式原问题转化为试题解析解：(1)由(2)由 为奇函数可知，，即可得解； 在上为减函数，对于任意实数 ，不妨设 ，化简 判断 递增可知 ，等价于 在 上有解，求解 ，即 的最大值即可. ， 为奇函数可知，递增可知 ，解得. 在上为减函数， 证明：对于任意实数，不妨设， ∵∴(3)关于等价于因为 递增，且 ，故的不等式 ，∴，∴， 在上为减函数. ， ，即 ， ，所以 在 在区间， ，解得 ， . ， 上有解， 原问题转化为∵∴∴ 上为减函数，的值域为 ， ∴的取值范围是 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数实上，若时有 ,则 ，这与 在区间上单调递增，则矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时，有，事 ；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性 数形结合即可. 20. 在直角坐标系极坐标系中，曲线第一象限. （1）求曲线（2）设曲线 的直角坐标方程及点的左焦点为 ， ，若 （2）对应的参数 （用表示）； 的值. 中，直线：： ，在以原点 ，若直线与轴正半轴交于点 为极点， 轴的非负半轴为极轴的、两点，其中点 在 ，与曲线交于 ，求直线的倾斜角 【答案】（1）【解析】 分析：（1）先利用极坐标公式把曲线线的参数方程代入 C的极坐标方程化成直角坐标方程，令x=0即得点M 的值. 对应的参数.(2)把直 C的直角坐标方程求出韦达定理得到，再化简即得 详解：（Ⅰ）由 得 ， 即曲线的直角坐标方程为 的横坐标为 ，代入有 ，代入 ， 又由题意可知点 （2）由（1）知，直线过定点将化简可得 设、对应的参数分别为 , 点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标互化和直线的参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握 水平和分析推理能力 .(2)过定点 、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点 在定点21. 已知函数（1）若（2）当 上方时, . ，求函数时，若 的极值；在区间的极大值为 . 当动点在定点下方时,. 上的最小值为 ，求的取值范围. 函数 的极小值为 .（2） 【答案】（1）函数【解析】 试题分析：⑴求出 的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数 讨论，分①当 ②当 ③当 的极值； 比较，即可 ⑵求出导数，分解因式，对得到的取值范围。解析：1）又当∴函数函数 或 时 的极大值为的极小值为 ， 时，分别求出最小值，并与 ，定义域为 . ；当 时 ， . （2）函数且令当∴当当∴ 在 ，得，即 或时， ，在 的定义域为， ， 上单调递增，，符号题意； 上的最小值是时， 在在 上的最小值是上单调递减， ，不合题意 ，不合题意； 时，在 上的最小值是 故的取值范围为 点睛：本题考查了导数的综合应用，求单调区间和求极值，求最值，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题。考查的知识点主要是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。考查了学生的计算能力。22. 已知函数（1）若函数（2）若【答案】（1）【解析】 分析：（1）先求导，再令取值范围.(2)先由 在 上恒成立，得到 得到 上恒成立，利用基本不等式得到 m的 . 不存在单调递减区间，求实数的两个极值点为 （2） ， 的取值范围； ，求 的最小值. ，再求得，再构造函数再利用导数 求其最小值. 详解：（1）由函数 由 且 有意义，则 不存在单调递减区间，则上恒成立 在 上恒成立， （2）由令由故 知 ，即 ， 有两个极值点为方程 ， 的两根， ， 则 由 由，则上单调递减 ，即 由知 综上所述，的最小值为. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数 再利用导数求其最小值. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容