2023-2024学年山西省长治市高一下学期期末考试数学质量检测模拟试卷(含答案)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数zA．12i

2i

，则ziB．12i

C．12i

D．12i

rr

2．已知向量a2,1,b,4，若a//b，则

A．2A．0.01A．45

B．4B．0.1B．60B．2

C．6C．1C．90

D．8D．10D．120D．43．设一组样本数据x1,x2,,xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2,,10xn方差为4．正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成角为5．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A．22C．426．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据4名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是A．平均数为4，中位数为4C．平均数为3，方差为1

B．中位数为4，众数为3D．中位数为3，方差为227117．甲乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为,，则密码34至少被一人成功破译的概率为A．11213B．51212C．1222D．34338．在空间，若AOBBOCCOA60,直线OA与平面OBC所成角为，则cosA．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知单位向量a，b的夹角为60，则下列结论中正确的是

A．|ab|23（R）C．|ab|的最小值为2A．z1z2的共轭复数为1i

1B．a在b上投影向量为b

2D．(2ab)b



10．设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1z21i，则下列结论中正确的是B．(z1z2)

10

32

C．若z1z2是方程x2mxn0的根，则m1D．|z1z2|

611．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照按比例分配原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中正确的是A．男生样本量为30C．所有样本的均值为166cm

A．二面角SABC的正切值为2B．三棱锥SABC的内切球的半径为3343325B．每个女生入样的概率均为D．所有样本的方差为22.2cm212．已知三棱锥SABC中SA,SB,SC两两垂直，且SASBSC2，则下列结论正确的是C．E是线段AC上一动点，则SEB面积的最小值为2D．Q是三棱锥SABC的外接球上一动点，则点Q到面ABC距离的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一组数据2,2,2,3,3,4,4,4,6,6，则这组数据的第80百分位数是14．抛掷两枚大小质地均匀的骰子，则两枚骰子向上点数之和为5的概率是平面BCD，则该四面体外接球的表面积为_________.16．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A

则边a的最小值为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，点D在边BC上，且ADC120，．．15．在四面体ABCD中，△ABD,△BCD都是边长为2的等边三角形，且平面ABD

2π

，BC边角平分线AD1，3AD2，BD2CD,边c2

（1）求ABC的面积；（2）求sinDAC.18．(本题满分12分)第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照45,55，55,65，65,75，75,85，85,95分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数，平均数（精确到0.1）；（3）若先用按比例分配分层随机抽样的方法从面试成绩在45,65段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．19．(本题满分12分)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（1）点F是棱PB的使中点，求证CF//平面PAE；（2）若∠ABC=60°，求证：AE⊥平面PAB.20．(本题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的积为S，且S（1）求角C;（2）求面12

(ab2c2)4acosBbcosA

的最大值.c21．(本题满分12分)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（1）证明：EF⊥DB；（2）求DF与面DBC所成角的正弦值．22．(本题满分12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A,B,C,D问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题四个A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一2分.题减②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局.③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为相互之间没有影响（1）求甲考生本轮答题结束时恰答了3道题的概率；（2）求甲考生能进入下一轮的概率.3111

、、、、且各题回答正确与否4234数学答案

1.B2.D3.C2.D3.C4.B3.C9.BCD13.514.10.AD4.B5.A11.AC15.6.C12.ACD16.237.C8.D19203（1）ADC120,ADB60,且ADAB2，ABD为等边三角形，17.解：ABD60,BD2,DC1,ABD的面积S

（2）在ADC中，由余弦定理可得1133acsinB23sin60222AC2AD2DC22ADDCcos1204127,AC7DCAC

，

sinDACsinADCDCsinADCsin12021sinDACAC147在ADC中，由正弦定理可得18．(1)因为第二、三、四组的频率之和为0.9，所以b0.0450.020100.9，解得b0.025．再由第一组、第五组的频率之和为10.90.1，即aa100.1，得a0.005．(2)根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，且为65平均数为0.50.3

1069.4．0.45500.00510600.02510700.04510800.0210900.0051069.5

(3)由（1）可得面试成绩在45,55段和55,65段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在45,55段中抽取1人，设为A，在55,65段中抽取5人，分别设为B，C，D，E，F．该试验的样本空间为AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共有15个样本点．设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件M，则MBC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，有10个样本点，故PM

102．15319．证明：（1）分别取PB,PA的中点F,G，连接CF,FG,EG,在三角形PAB中，FG//AB且FG12AB；1AB，所2在菱形ABCD中，E为CD中点，所以CE//AB且CE以CE//FG且CE

FG，即四边形CEGF为平行四边形，所以CF//EG;又CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF//平面PAE（2）证明：因为底面ABCD是菱形且ABC60，所以ACD为正三角形，所以AECD,因为AB//CD,所以AEAB；因为PA平面ABCD，AE平面ABCD,所以AEPA；因为PAABA所以AE平面PAB.121a2b2c222

20．解（1）S(abc)absinC,sinCcosC,tanC1

422abC(0,),C

4（2）由正弦定理得：acosBbcosAsinAcosBsinBcosAsin(AB)32sin(2A)csinC42233333)2A(,)sin(2A)[1,1]44444acosBbcosA[2,2]cA(0,

所以最大值为221．（1）作DHAC交AC于H，连接BH．∵平面ADFC平面ABC，而平面ADFC平面ABCAC，DH平面ADFC，∴DH平面ABC，而BC平面ABC，即有DHBC．∵ACBACD45，∴CD2CH2BCCH2BC．在CBH中，BH2CH2BC22CHBCcos45BC2，即有BH2BC2CH2，∴BHBC．由棱台的定义可知，EF//BC，所以DHEF，BHEF，而BHDHH，∴EF平面BHD，而BD平面BHD，∴EFDB．（2）因为DF//CH，所以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角．作HGBD于G，连接CG，由（1）可知，BC⊥平面BHD，因为所以平面BCD平面BHD，而平面BCD平面BHDBD，HG平面BHD，∴HG平面BCD．即CH在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角．在Rt△HGC中，设BCa，则CH

2a，HG

BHDH

BD

2aa3a23a，∴sinHCG

HG13．

CH333．3

3111,PA2,PA3,PA4，4234

故DF与平面DBC所成角的正弦值为22．解.(1)设A,B,C,D分别为第一、二、三、四个问题，用Ak(k1,2,3,4)分别表示甲考生在第k个问题回答正确的概率，则PA1

记“本轮答题结束时甲恰答了3道题”为事件M.则PMPA1A2A3P(A1A2A3)

3113123.4234238

(2)记“甲考生能进入下一轮”为事件Q，则PQPA1A2A3PA1A2A3A4P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)

3111111311131211121142342344234423442344