材料力学整理版

óζδλбγηπρψФф∮∫∴≈∥ Δεν

刚度：抵抗变型的能力

稳定性：保持平衡而不发生突然转变的能力

杆件四个内力： a: 轴力FN b: 剪力FSy, FSz c: 扭矩T, d: 弯矩My, Mz

正应变ε：在x,y等方向线型变形程度的量 εx=du/dx 拉应变为正，压应变为负 切应变γ：单元体相邻棱边所夹直角改变量 用弧度(rad)表示

铰链接：是只可以转动但不能移动的连接。连接的杆件是二力杆，即只在轴向受力。 支座约束力用FR表示 轴力表示—FN

桁架杆内力计算方法：

1：先找出内力所在节点，截面

2：截取那一段进行分析还是选择节点，该段或节点分析能得出哪几个力

3：应用 ∑MC=0，∑Fx=0,∑Fy=0 联立方程解题

扭转变形：杆件两端受到相反力偶矩作用而轴向横截面发生相对移动的变形。如下图

扭转角θ：杆件在扭转时横截面转角。如右图

1：传动轴扭转外力偶矩计算公式：

M e=9549 P/n

公式说明;a:轴的力偶由传递功率与转速求得。 M e单位—（N.m） 功率P—KW, 转速n—（n/min） 轴的径向力—Fr(通过圆心) 轴的切向力—Ft（与圆相切）

2：扭矩T 杆件在扭转变形时，其内部截面上的内力

扭矩正负号判断：右手螺旋法则，大拇指指向截面外部为正，内部为负

3：弯曲梁的内力—剪力与弯矩

静定梁：作用于梁上的未知约束力可由静力平衡方程确定

静定梁的三种形式：a:简支梁 b:延伸梁 c：悬臂梁 弯曲梁的两个分力： a:剪力Fs(剪切变形)

b:弯矩M （引起弯曲变形）

剪力与弯矩正负判断：a:剪力使考虑段梁沿顺时针转动为正 b:向下弯曲为正

C:向下弯曲梁截面弯矩向上

轴向应力ζ

:拉为正，压为负 公式：ζ=FN/A ,单位换算ζ=N/m2

1MPa=106Pa

轴向拉压杆斜截面上的正应力ζ

α

与切应力η

α

ζα=ζ/2(1+cos2α) (正应力) Τα=ζ/2sin2α (切应力) 由这两个式子得出：

a: 最大正应力发生在横截面上 b: 最大切应力发生在与轴线45斜截面上

0

轴向拉压杆纵向变形量ΔL与横向变形量Δd 线应变：a:纵向线应变ε

=ΔL/L b:横向线应变ε′=Δd/d

|ε′/ε|=ν ν--称泊松比，是材料常量

胡克定律：实验表明材料在线弹性范围内，拉压杆纵向变形量与轴力FN,杆长成正比，而与横截面积成反比 。即：ΔL=FNL/EA E--弹性模量，EA--拉压刚度 胡克定律的应力表示：ζ

=Eε

工作应力：由该式计算应力ζ=FN/A

失效：工作应力超过了杆件极限应力 极限应力：ζ

u

(材料失效时的应力)

许用应力：杆件工作应力最大值[ζ]

强度条件：

注：工程中，允许最大工作应力大于许用应力，但不能超过许用应力5%

低碳钢拉伸性能

四个阶段及对应极限应力：

1：弹性阶段ζp(比例极限),ζe（弹性极限） 2：屈服阶段ζs(屈服极限) 3：强化阶段（ζb）4：局部颈缩 OB段：弹性阶段 OA段：线弹性阶段 E=tanɑ--直线的斜率

AB段：微弯段，两点接近。ζ

p

≈ζ

e

低碳钢比例极限ζp≈200MPa

屈服阶段：弹性应变εe会消失而塑性应 变εp不会消失。

屈服：应力几乎不变而应变显著增加的现象 沿45度角滑移原因：晶格沿最大切应力面 错动的结果。低碳钢屈服极限ζs≈240MPa

两个强度指标：a:屈服极限ζs b:强化极限ζb 延伸率δ与断面收缩率ψ

：两个塑形指标δ=(L1-L)/L*100%,ψ=(A-A1)/A*100%

延伸率δ10≧5%的材料为塑性材料，低碳钢δ10≈20%--30%,所以低碳钢塑形很好

冷作硬化：对卸载后的试样立即加载，材料比例极限提高，塑形降低的现象

冷作时效：卸载后的试样过一段时间后重新加载，比例极限与强度极限得到更大提高的现象

扭转杆件强度与刚度计算

maxIpTT----圆截面上最大切应力。Wp--扭转截面系数。Wp RRIpWp实心圆轴极惯性矩：IpD432 实心圆轴截面系数WpD316

空心圆轴极惯性矩：Ip(D4d4)32D432(14)

空心圆轴扭转截面系数：WpD316(14)

圆轴扭转角公式：Tl GIp扭转强度校核公式：maxTmaxWp[]

扭转刚度校核公式：maxTmax GIp 第六章 应力状态分析与强度理论

应力状态：过杆件一点所有面上的应力集合

单元体：从杆件上取的微小正六面体 主平面：单元体中切应力为零的截面 主应力:主平面上的正应力ζ1，ζ2，ζ3（共有三个主应力）

单向应力状态：单元体只有一个主应力不为零的状态（轴向拉压杆为例）

二向应力状态：单元体只有两个不为零的状态（扭转杆件—纯剪切典型的二向应力状态）

斜截面上的正应力ζɑ与切应力η

ɑ的求法：

xy2xy2cos2xsin2

xy2sin2xcos2

应力圆方程：(xy2)2(0)2(xy22)2x （知道圆心与半径）

2主应力公式：xy2(xy2)2x

斜截面方位角求法：tan2ɑ0=2x

xy平面内最大切应力公式：2(xy2)2x

2空间最大切应力公式与位置：max广义胡克定律：1132 （是最大主应力与最小主应力的差）

1(1(23)) E1 2(2(13))

E注：ε

1

表示在该方向上的线应变。—泊松比

1

E—弹性模量（ε

≧ε2≧ε3）

材料在常温静载条件下的破坏形式：a:脆性断裂：在没有明显塑形变形条件下发生突然断裂 b:塑形屈服：材料发生塑性变形失效

最大拉应力理论（第一强度理论）：引起材料断裂的主要因素是最大拉应力，只要最大拉应力1达到材

料单向拉伸断裂时的最大拉应力即强度极限b材料就发生断裂。ζ1≦[ζ]=

不适用范围：铸铁，混凝土等的压缩条件

最大切应力理论（第三强度理论）：引起材料屈服的主要因素是最大切应力（轴向扭转破坏） 强度条件：ζ1-ζ3≦[ζ]=

bnb

sns(ζs-屈服极限，ns-屈服安全系数)

形状改变能密度理论（第四强度理论）：较全面反映了材料强度校核

强度条件：

1[(13)2(23)2(31)2][]s2ns

四种强度理论的相当应力：ζri≦[ζ] ζr1=ζ1

ζr2=ζ1-ν(ζ2+ζ3) ζr3=ζ1-ζ3

ζr4 =

1[(13)2(23)2(31)2] 2纯剪切应力状态下的许用切应力[η]与许用正应力

[] [η2]=

[] , [η2]=

[] 3 注：[η]=（0.5～0.6[ζ]）(许用切应力常取这个值)

一种常见应力状态的强度条件（右图这种情况） 此种情况的相当应力的第三第四强度理论： r3 r4242[]（第三相当应力的强度理论）

232[]

梁弯曲时的强度计算

梁弯曲的两种情况：a:纯弯曲—受力偶M作用

b:横力弯曲—受横力Fp作用（即有剪力Fs又有弯矩） 右图分析：1：AC,BD段有剪力Fp及M—横弯曲 2：CD段没有剪力只有弯曲—纯弯曲 纯弯曲时梁的受力情况：a:只在x方向受拉压

B:在下边受拉，上边受压，无切应力 C:受力图

A图

1：A图为梁没有剪力作用时纯弯曲上下截面受力 2：最大拉应力在下边，大小：tmaxMy1 IZy1 ---中心轴Z到下边缘的距离 Iz---截面对中心轴极惯心矩 3：最大压应力cmaxMy2 WZ =IZ/y----弯曲截面系数 IZ4：危险截面：弯矩值M最大的截面

横力弯曲（剪力作用）梁的受力：

1：截面上有两个力（拉压应力和剪切应力）

2：剪应力η

如右图，方向与剪力一致

3：在同一截面y上均布分布

矩形截面，圆形截面，工字型截面梁的最大剪应力及受力情况

1：矩形截面（右图）

a:最大剪应力在中心轴，剪应力是抛物线 b:最大剪应力max3FS 2A

2：圆形截面梁：（右图） A:最大剪应力在中心轴上 B:最大剪应力max4FS 3A3：工字梁截面

A:最大剪应力在中心轴 B:maxF bhF(在中心轴上) A4：空心圆截面max2梁的合理截面设计：

1：当长度是高度5倍以上时，主要考虑正应力 2：比较短的梁主要考虑剪应力

3：截面最好的是工字梁，其次是空心圆，矩形，最差是 实心圆

4：面积一定时，把较多材料放在远离中心轴的位置上 5：剪力应尽量放在离支撑点较劲的地方，减少梁的最大弯 矩

挠度：横截面在Y方向的移动距离，单位mm，w表示

转角θ：a:单位是弧度 b:挠曲线上某点的斜率等于转角tanθ=θ(因为是小变形) c:斜率为正转角为正。

2挠曲线近似微分方程：dwM(x)

dxEI

dwM(x)dxC1 dxEIM(x)dxdxC1D1 EI积分求转角与挠度：公式说明：a:C1与D1是常数，根据边界条件可以计算出来，eg:支点处，A0,B0

b:求转角与挠度时，先列出M(x)方程，一次积分后求得转角，对转角再积分得挠度 梁的刚度设计：让梁的最大挠度w与最大转角≦许用值 1： 度条件：

maxl （许用挠度） max （许用转角） 许用值查表 l2：弯曲刚度EI，减少梁的跨度较少弯曲变形w,进而提高梁的刚度 3：载荷尽量均布在梁上可提高刚度，载荷越靠近支座减少变形 压杆稳定性计算

A：是受压力杆件，在压力值超过临界压力FPcr时杆件发生小弧度弯曲的情况 B: 考察力两个：临界载荷—Fcr ,临界应力ζ临界应力

cr ,

2EIC:计算压杆临界力欧拉公式：FPcr

l2EI-- 刚度，µ--长度系数（两端铰座 时µ=1，两端固定µ=0.5 一端固定另段自由µ=2

一端固定另段铰座µ=0.7）

2ED:计算压杆临界应力公式：cr2 （ P时适用）

cra1b12 （对于Q206 E=206GPa,ζs=235MPa)----适用条件p

λ--柔度（长细比）

E:柔度计算公式：F:l i--惯性半径 iP时，压杆称细长杆

G:压杆稳定性校核计算公式：n大于等于稳定安全系数nst

FPrccrAnst（安全系数FPFPn等于极限载荷FPcr 除以实际压力FP,

求应力循环特征r与应力幅度ζa

该曲线是交变应力作用下应力循环 循环特征--r

平均应力ζm-对称线到应力为零的距离 应力幅值ζa（或者幅度）

循环特征rmax或rmin minmaxmaxmin公式说明：分子是应力绝对值较小的。 应力幅值a2maxmin平均应力m

2 能量法



求应变能Vε是求轴力FN ,扭矩T，弯矩M,及剪力FS等四个内力做的功。