圆锥曲线的面积问题(pdf版)

一、 总结——椭圆中的三角形面积为例

1、面积公式S11dx1x2 , Sdy1y2 22题型：已知椭圆方程C，直线l交椭圆于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若存在点M，求SMAB.

满足条件：

①直线AB与x轴（或y轴）有交点N(x0,y0)；

②点M与点N(x0,y0)在同一坐标轴上，且dMN为定长； 方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）由于直线l过定点N(x0,y0)，可设直线为点斜式yy0kxx0；（2）考虑斜率不存在的情况。

②SMABSAMNSBMN，其中，可令AMN与BMN底边同为定长dMN； ③SMAB上）.

2、点到直线的距离公式d1dx1x2（MN在y轴上）；S2MAB1dy1y2（MN在x轴2AxByCAB22 题型：已知椭圆方程C，直线l交椭圆于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若存在点M，求SMAB.

满足条件：

已知定点M(x0,y0)；

方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）若直线l不过定点，可设直线为斜截式ykxm；（2）考虑斜率不存在的情况。

②点M(x0,y0)到直线AB的距离为dkx0y0mk122；

③弦长公式③SMAB

3、面积公式SABk21x1x24x1x2 1dAB. 21absin的运用 2题型：已知椭圆方程C，直线l交椭圆于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若存在点M，求SMAB.

满足条件：

已知定点M(x0,y0)； 方法提炼：

①一设；二联立；三判断；四韦达

注：（1）若直线l不过定点，可设直线为斜截式ykxm；（2）考虑斜率不存在的情况。

②

SMAB1MAMBsinMA,MB. 2

二、 典型例题

x2y2【例1】 已知椭圆221（ab0）右顶点与右焦点的距离为31，短轴长22. ab（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A，B两点，若三角形OAB的面积为32，求4直线AB的方程．

y2x22【例2】 已知椭圆221(ab0)的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点距离

2ab为22．斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m)． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）试用m表示MPQ的面积，并求面积的最大值．

x2y26【例3】已知椭圆221（ab0）的离心率为，长轴长为23，直线

3abl:ykxm交椭圆于不同的两个点A，B.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若m1，且OAOB0，求k的值（点O为原点坐标）.

（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为

3，求AOB面积的最大值. 2【例4】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与

13PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

x2y2【例5】 已知动直线l与椭圆C:1交于Px1,y1，Qx2,y2两不同点，且

32OPQ的面积SOPQ6，其中O为坐标原点. 2（Ⅰ）证明x12x22和y12y22均为定值；

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得SODESODGSOEG断DEG的形状；若不存在，请说明理由.

6？若存在，判2