洛尔定理

洛尔定理及其应用

[摘要]：本文通过洛尔定理在微分中值定理和数学分析中的作用与地位,来分析研究洛尔定理的内容,几何意义

和应用,重点研究了用洛尔定理解决关于零点存在性和证明中值公式的问题.

[关键词]：洛尔定理,代数方程,微分中值定理

1引言

洛尔定理是拉格朗日中值定理的特例,拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例.因此,在柯西中值定理中令gxx,即得到拉格朗日中值定理;在拉格朗之中值定理中增加条件fafb,即得到洛尔定理.

洛尔定理的几何意义是:满足定理条件的函数yf(x)在a,b内的曲线上至少存在一条水平切线.拉格朗日中值定理的几何意义是:满足定理条件的函数yf(x)在a,b内的曲线上至少存在一点,f,曲线在该点的切线平行曲线两端点的连线.柯西中值定理的几何意义是:满足定理条件的由ug(x),vf(x)所确定的曲线上至少有一点,曲线的切线平行两端点连线.洛尔定理满足fafb,即两端点连线是水平的,所以三个中值定理几何意义有一个共同点:满足定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线.

2 Rolle定理

2.1 Rolle定理

Rolle定理告诉我们:若函数f在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f(a)f(b),则在a,b内至少存在一点,使得f'()o. 2.2几何意义

Rolle定理的几何意义是说:在闭区间a,b上由定义的连续函数yf(x),曲线上每一点都存在切线,在闭区间a,b的两个端点a与b的函数值相等,即f(a)f(b),则曲线上至少有一点,过该点的切线平行于x轴.

如图所示

洛尔定理几何意义描述

2.3 Rolle定理的证明

证明 因为f在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两种情况来讨论:

(1)若mM,则f在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立.

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(2)若mM,则因f(a)f(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)没某点处取得,从而是f的极值点.有条件知f在点处可导,故由费马定理推知

f'()0

2.4 Rolle定理的推广

设f(x)在区间(a,b)内可导,a与b为有限或无限,且

fa0fb0l（有限或无限）

则存在a,b,使得f'()0

证明 若l为有限数,xa,b有f(x)l,则结论成立,否则,x0a,b,使f(x0)l,不妨假设f(x0)l,于是方程

1f(x)[f(x0)l]

2在(a,b)内至少有两根x1x2,对f在[x1,x2]上用Rolle定理,使得所证.

若l时,方程

abf(x)f1

2在(a,b)内至少有两个根x1x2,对f在[x1,x2]上用Rolle定理即可.

若l时,同理得证.

3 Rolle定理应用

3.1 Rolle定理的验证

例1验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间/6,5/6上的正确性. 解 由ylnsinx在定义域2nx2n10,1,上的连续性知,函数在,n上连续. /6,5/6又ycotx在/6,5/6内处处存在.

f/6f5/6ln2.

所以函数ylnsinx在/6,5/6上满足罗尔定理条件.

因为ycotx0在/6,5/6内有解x3.2 Rolle定理推广的应用

例2 设f(x)在[0,)上可导,且0fxln2

,所以取0,即得f0

2x1x1x2.试证明存在一点0,使得

f2x1x1x221 2112,则g在[0,)可导,

证明 令gxfxln且

g00g

由Rolle定理的推广可知,0,使g0,即

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f3.3 关于零值点（根）的存在性

21 2211要点 Rolle定理告诉我们,若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b),则存在

a,b,使得f'()0,换句话说,在函数的等值点之间,有导函数的零点（根）.因此,证明导函数有根,只要证明函数本身有等值点.

4例3证明方程5x4x10在0与1之间至少有一个实根.

4证明 不难发现方程左端5x4x1是函数f(x)x52x2x的导数,

f'(x)5x44x1

函数f(x)x52x2x在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

f(0)f(1)0,

由洛尔定理可知,在0与1之间至少有一点c,使f'(c)0,即

5x44x10,

也就是说方程

5x44x10

在0与1之间至少有一个实根.

例4 证明若n次多项式Px有n1个零点（即方程Px0的实根）,则Px0. 证明 设

Pxa0xna1xn1an.

用反证法 假设Px0,则n次多项式Px的x的系数a00. 分两种情况证明

1. 设Px有n1个不同的零点:x0,x1,,xn, 即

nPxi0,i0,1,,n

不妨设x0x1xn.根据洛尔定理,

Pxna0xn1n1a1xn2an1

有n个不同的零点,且Px的零点都在Px相邻的两个零点之间.同样的方法,一直作下去,则

Pn1xnn12a0xn1!a1

有两个不同的零点1和2.再根据洛尔定理,Pxn!a0（非零常数）在1和2之间有一零点,这是不可能的,矛盾.于是,Px0.

2．设Px的n1个零点中有一个x0是k重零点（kn1）:x0,x1,x2,,xnk1,即

nPxi0,i0,1,2,,nk1.

此时,Px可表为

Pxa0xx0Qx,

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k 陕西理工学院毕业论文

其中Qx是 nk次多项式,且Qx00.有

Pxka0xx0 a0xx0k1Qxa0xx0Qxk

k1QxkQ1x,

x0xQ xa0xx0其中

k1Q1xkQxxx0Qx

是nk次多项式（因为Px是n1次多项式）,且Q1x00.显然,x0是Px的k1重零

k1点,根据洛尔定理,Px仍有nk2个不同的零点.同样的方法,一直作下去,x0是Px的一个k1重零点（即零点）.根据洛尔定理,Px仍有nk2个不同的零点.由上述第一种情况

n（kn1）,Pxn!a0（非零常数）有一个零点,这是不可能的,矛盾.于是,Px0.

例5设函数fx在a,b上二阶可导且fx0,fx0,xa,b,又fx在,a,b上恒为0,证明fx在a,b上至多只有一个零点.

证 用反证法.倘若x1,x2a,b（不妨设x1x2）,使

fx1fx20.

又洛尔中值定理可知x1,x2使f0,现因fx0,故fx在a,b上递增.于是,当x时fx0,下面分情况讨论

a 若对xx1x恒有fx0,因fxCa,b,故有

fx1limfx0

xx1于是fx在x1,上取常值.而fx10,故fx0,xx1,,这与题设条件矛盾. b 若xx1x使fx0,则在x1,x上有

fxfx10

于是fx在x1,x上严格递减.由反证法,假设fx10,从而对xx1xx均有

fx0,这又与题设条件矛.

综上所述,fx在a,b上至多只有一个零点.

3例6证明 方程x3xc0在区间0,1内没有两个不同的实根. 证 用反证法.假设方程

fxx33xc0

有两个不同的实根x1,x20,1,不妨设x1x2.显然,函数

fxx33xc

在x1,x2满足洛尔定理的条件.于是,x1,x2,使

f3233110.

显然,这样的x1,x20,1是不存在的.矛盾,即方程

x33xc0

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在区间0,1内没有两个不同的实根.

nn例7证明 设n为偶数,且a0,证明xaxa成立,当且仅当x0时成立.

n证明 假设x00（且不妨设x00）,使得

xnanxa

成立,在闭区间0,x0上研究函数

nnfxxnanxa

由于fx是n1次多项式,所以fx在0,x0上连续,且x,x0内可导.因为

f00anan0

fx0x0nanx0a0（假设知）

所以fx满足Rolle定理的条件.于是,0,x0内至少存在一点,使得

n1nfnn1na即

0,

nn1nan1.

解得a,可知a0,这个与条件a0矛盾.因此,假设x00时结论不成立.故当且仅当

nx0时,xnanxa（n为偶数,a0）成立. 3.4Rolle定理在导函数中的应用

例8设函数f在a,b上可导,且fafb,则ca,b,使fc证明 用分析法,要证命题成立,就要证明方程

fcfa

caxafxfxfa0

在a,b内有解,考虑到

fxfafxfaxafx,

2xaxa令

fxfa,axb,gx xafa,xa,则g在a,b连续,在a,b可导,gb应用Rolle定理便可获证.

当gagb时,不妨说gagb,于是

fbfa,当gagb时,

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gbfbfa1fb

baba1gagb0 ba可知g在a,b上的最大值点ca,b,也是极大值点,

由Fermat引理,gc0,从而亦可得证.

例9 设函数f在a,b上二次可导,且fafb0,fafb0,则a,b,使ff.

证明 不妨设fa0,fb0,则fx在xa与xb均单调增,考虑到fafb0,所以x1,x2a,b使fx10,fx20,从而ca,b,使fc0,令gxexfx,则

gagcgb0

由Rolle定理,1a,c,2c,b,使

g10g2

即

2e1f1f10ef2f2,

亦即

f1f10f2f2

x再令xefxfx,则

102

再用Rolle定理,1,2a,b,使0, 即

eff0

得

ff.

综上,便得所征.

3.5用Rolle定理证明中值公式.

要点 高燥不同的辅助函数，应用Rolle定理,可以导出不同的中值公式

例 10设fx,gx,hx在a,b上连续,在a,b内可导,试证存在a,b,使得

fagahafbgbhbfgh证明 记

0

fagahaFxfbgbhbfgh则Fx在a,b上连续,在a,b内可导,FaFb0应用Rolle定理可知,a,b,使得F0,据行列式性质F0,即结论成立.、 注 (1)令hxx,即可推出柯西中值定理.

(2)令gxx,hx1,即可推出拉格朗日中值定理.

例11设f(x)在包含x0的区间I上二次可微,x0hI,0,1,试证:0,1使得

f(x0h)fx0h(1)fx021h2f\"x0h

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证明 因01，可取数M,使得

f(x0h)fx0h(1)fx0故只要证明 0,1,使得

2(1)h2M0

Mf\"(x0h)

令

tF(t)f(x0th)tf(x0h)(1t)f(x0)(t1)h2M

2则F(t)在[0,1]上二次可微,且有三个零点

F0F1F0

两次应用Rolle定理,可知0,1使得

F\"=0

即f\"(x0h)M,将M代回第一个等式,移项即得

fx0hfx0h(1)fx02(1)h2f\"(x0h)

例 12设fx在[a,b]上连续,在a,b内二次可导,试证明在一点ca,b,使

baf\"(c) abfb2f()fb24证明 令h2ba, 2ab2fb2ffafa2h2fahf(a)Ah

2我们只要证明存在ca,b,使Af\"(c).考虑函数

xfa2x2faxfaAx2

显然x在[0,h]上连续,在0,h内可导,且0h.由Rolle定理必存在一点c10,h,使'c10,即

f'a2c1f'ac1Ac1

再对f'x在区间[ac1,a2c1]中应用中值定理就知存在一点ca,b使

c1f\"cAc1

因为c10,则f\"cA,从而

baabfb2ff\"c fa244 小结

本文通过对洛尔定理的描述与证明,进一步研究了洛尔定理的在数学分析上的一些基本应用,从

而反应出洛尔定理的重要性.

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参考文献

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Rolle Theorem and Its Application

Abstract: In this paper,through’s Rolle theorem in differential mid-value theorem and mathematical analysis of the status and role, and to study the content's theorem, geometrical meaning and application,

with the focus on solving's zero existence and prove the value of the formula in question.

Keywords: Rolle theorem, Algebraic equation, The mid-value theorem

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