积分方程

1.讨论下述方程的可解性：

(x)(13xt)t)dtf(x)01 （1）

解：式（1）是退化核方程。令

c110(t)dt 1

c20t(t)dt 则 (x)(c13c2x)f(x) 把式（4）代人（2）、（3）中，得到

c(c31112c2)0f(t)dt

c(12c121c2)0tf(t)dt

即

(1)c311c2f(t)dt2012c1(1)c210tf(t)dt 式（5）的系数行列式

2）

3）

（4）

（5）

（ （

13211D()21(42)4

但且仅当2时，式（5）有唯一解，从式（5）解出c1，c2，代入式（4）中，就得积分方程（1）的唯一解；当2时，式（5）化为

c3c1f(t)dt2011c13c2tf(t)dt0 （6）

当2时，式（5）化为

11cc1230f(t)dtcc1tf(t)dt120 （7）

当2时，如果01f(t)dttf(t)dt01，即

(1t)f(t)dt0 （8）

01时，式（6）中的两个方程同解，因此（4）,

(x)A(1x)2f(t)dtf(x)01c13c2f(t)dt01，由式

,其中A6c2为任意常数；如果式（8）不成立，则式（1）

111f(t)dttf(t)dt0301无解。当（9）

2时，如果，即

(13t)f(t)dt0

0

31(x)B(13x)f(t)dtf(x)20时，类似地可得，其中B2c2为任意常数；如果式（9）

不成立，则式（1）无解。

特别是，当f(x)0时，如果2，则式（1）有唯一解(x)0；如果2，由式（6），

c13c2(x)3c2(1x)，再由式（4），，于是与2对应的特征函数为1x；同样可求出2所对应的特征函数为13x。

非齐次方程（1）的解（4）可表示为

(x)A1(1x)A2(13x)f(x)

其中，

A13(c1c2)(3c2c1),A222，即解可表示为f(x)与特征函数线性组合之和，这

个结论对一般类型的第二类Fredholm方程也是成立的。

2.求下述方程的解

(x)cos(xt)(t)dtcos3x0 （1）

解：方程（1）的核cos(xt)cosxcostsinxsint，所以是退化核。

(x)cosxcost(t)dtsinxsint(t)dtcos3x00

设

c1cost(t)dt,c2sint(t)dt00 （2）

则(x)c1cosxc2sinxcos3x （3）

把式式（3）代入式（2），经简单计算得

c1(1)0,c2(1)022 （4）

当

2,c10,c20，方程（1）有唯一解

(x)cos3x

2当

时，方程组（4）成为

c100，c220

于是c1为任意常数，c20，因此

2(x)c1cosxcos3xccosxcos3x

2式中ccosx为方程（1）的齐次方程的通解；cos3x为方程（1）的一个解。当方程组（4）成为

时，

2c10，0c20

于是c2为任意常数，c10，因此

2(x)c2()sinxcos3xcsinxcos3x

以下讨论方程（1）解的个数，由于方程（1）的共轭齐次方程为

(x)cos(tx)(t)dt00

2它的解为(x)c1cosxc2sinx，它的线性无关解组为cosx,sinx。当

时，由于

0cos3xcosxdx0及0cos3xsinxdx0恒满足，因此方程（1）有无穷个解。