有理函数的不定积分

§7.3 有理函数的不定积分

(一) 教学目的：

会求有理函数的不定积分．

(二) 教学内容：

化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式, 有理函数的不定积分．

(三) 教学建议：

通过讲练结合,掌握拆分分项分式, 从而掌握求有理函数不定积分的方法.

有理函数是指两个多项式的商表示的函数

P(x)a0xna1xn1anQ(x)b0xmb1xm1bm

其中a0,a1,a2,,an及b0,b1,b2,,bm为常数，且a00，b00。

如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为真分式；如果分子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：

x3x11x2x21 x1

因此，我们仅讨论真分式的积分。

先介绍代数学中两个定理：

定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式Q(x)总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：

Q(x)b0(xa)k(xb)l(x2pxq)s(x2rxh)v

定理2 （部分分式展开定理）

AkA1A2P(x)2kQ(x)(xa)(xa)(xa)BlB1B22l(xb)(xb)(xb)P1xQ1P2xQ2P1xQ1x2pxq(x2pxq)2(x2pxq)sRvxHvRxH1RxH22122xrxh(xrxh)2(x2rxh)v

因此有理函数的积分问题就归结为求

dx(xc)m 和

MxN(x2pxq)n。

P．298-304例题

12例1 将xa分成分项分式

2

2x22x1322(x2)(x1)例2 将分成分项分式

3x3123(x1)(x1)例3 将分成分项分式

例4 求

1dxxa2

2例5 求

6x211x4dxx(x1)2

例6 求

1dxx1

3例7 求

2x22x13dx(x2)(x21)2

补充例题

x3x3dx22例 8 将x5x6化为部分分式，并计算x5x6

ABx3A2Bx3x3AB2x2x3 x解：5x6x2x3x2x3AB13A2B3A5B6

x3dxdxdx565ln(x2)6ln(x3)C2x2x3x5x6故

1(12x)(1x2)dx例 9 求

解：根据分解式(4-3)，计算得

421x15552212x(12x)(1x)1x

因此得

421x1555(12x)(1x2)dx12x1x2dx2212x11 dxdxdx512x51x251x22111112 d(12x)d(1x)dx512x51x251x2211 ln|12x|ln(1x2)arctanxC555

dxx(x1)2例10 求

解：

1dxx1x1dxdx2x(x1)2x(x1)2x(x1)(x1)

111x1dxlnCx1x(x1)2x1x1

x21dx4例11 求 x1

解：

111dx1x2x211xxxCdxdxarctanx41211222x2x2xx

小结： 本节学习了有理函数的不定积分， 有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数（不定积分），有理函数的不定积分总能“积”出来。

作业：P.305 1, 3, 5, 6, 8, 10