明山区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

明山区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

分组 频数 分组 频数 乙校：

分组 频数 分组 频数 则x，y的值分别为 A、12,7 B、 10,7 C、 10，8 D、 11,9

2． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80

B．S19＝76 D．S21＝84

[70,80 1 [110,120 10 [80,90 2 [120,130 10 [90,100 8 [130,140 y [100,110 9 [140,150] 3 [70,80 3 [110,120 15 [80,90 4 [120,130 x [90,100 8 [130,140 3 [100,110 15 [140,150] 2 3． 函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（ ） A．

B．

C．π

D．2π

4． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A．

12 B． C．1 D．2 33在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）

5． 曲线y=

A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1

6． 已知命题p:f(x)a(a0且a1)是单调增函数；命题q:x(x54,4)，sinxcosx.

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则下列命题为真命题的是（ ）

A．pq B．pq C. pq D．pq 7． 方程x=A．双曲线 C．双曲线的一部分 8． 如果A．C．

所表示的曲线是（ ） B．椭圆

D．椭圆的一部分

是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） B． D．

yx,9． 设m1，在约束条件ymx,下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

xy1.A．(1,12) B．(12,) C. (1,3) D．(3,) 10．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） A．1

B．

C．

D．

11．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ ） A．1

等于（ ）

A．2017 B．﹣8 C．

D． B．﹣1

C．i

D．﹣i

12．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017

二、填空题

13．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则

14．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{15．已知函数f(x)}的前10项的和为 ． 值等于 ．

2tanx，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______. 21tanx3的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 16．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ．

17．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

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CA18．已知线性回归方程

B=9，则b= ．

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．

三、解答题

19．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点． （1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；

（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

20．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（1）若函数（2）求函数（3）设函数

21．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ksin B＝sin A＋sin C（k为

在区间的极值；

图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．

（

,是自然对数的底数）.

上是单调减函数,求实数的取值范围；

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正常数），a＝4c.

5

（1）当k＝时，求cos B；

4

（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．

22．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，侧面PDC为等边三角形，

o且与底面ABCD垂直，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PADM；

（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．

23．（本小题满分12分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒 成立.

（1）求cos C的取值范围；

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（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的 形状.

【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立

x24t平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.

y3t（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C上任意一点到直线的距离的最大值.

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明山区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

1 200

【解析】 1从甲校抽取110×＝60人，

1 200＋1 000

1 000

从乙校抽取110×＝50人，故x＝10，y＝7.

1 200＋1 000

2． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 3． 【答案】C

2

【解析】解：函数y=2sinx+sin2x=2×

+sin2x=sin（2x﹣）+1，

则函数的最小正周期为故选：C．

=π，

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

，属于基础题．

4． 【答案】 B

【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的一个四面体ACED1,其中ED11，∴该三棱锥的体积为(12)25． 【答案】D

【解析】解：y′=（∴k=y′|x=1=﹣2．

l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．

）′=

，

13122，选B． 3第 6 页，共 18 页

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故选：D

6． 【答案】D 【解析】

考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 7． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

8． 【答案】B

【解析】【知识点】函数的奇偶性

【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故故答案为：B 9． 【答案】A

是偶函数。

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【解析】

考点：线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线zxmy截距为

z，作L:xmy0,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线mx0y01zxmy过点A时取最大值，y0mx0可求得点A的坐标可求的最大值,然后由z2,解不等式可求m的范围.

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10．【答案】C

【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为

．

．

＜1，故C不可能．

是解题的关键．

因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为

因此可知：A，B，D皆有可能，而故选C．

【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为

11．【答案】A

【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1， 故选A．

【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．

12．【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2）， 所以tanα=﹣2．

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=

故答案为：﹣．

==﹣．

【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．

14．【答案】

．

*

【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N）， ∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=当n=1时，上式也成立， ∴an=∴∴数列{==

．

}的前10项的和为

．

．

． =2

}的前n项的和Sn=

．

．

∴数列{

故答案为：

15．【答案】3，.

2tanx2xktan2x，∴f()tan3，又∵【解析】∵f(x)，∴f(x)的定义域为21tan2x331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,第 10 页，共 18 页

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16．【答案】 4 ．

【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．【答案】8

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18．【答案】 4 ．

【解析】解：将故答案为：4

代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4

【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由

，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，

则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，

=

，

，

所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=， 因为以AB为直径的圆经过原点O， 所以∠AOB=90°， 即

，

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所以

解得k=﹣，

即所求直线l的方程为y=﹣

．

，

（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则由（1）得

所以线段AB的中垂线方程为令y=0，得

=

=或

，

，

，

， ，

又由（1）知k＜，且k≠0，得所以所以

=，

，

所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

20．【答案】（1）

（2）见解析（3）

在区间

上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函

【解析】试题分析：（1）由题意转化为

数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数则又

在区间，所以

的导函数在区间

上恒成立，

，

上恒成立，且等号不恒成立，

记（2）由

，只需， 即，得

，

，解得．

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①当所以函数所以函数②当所以函数所以函数

时，有

在在时，有

在在

；

单调递增，取得极大值

；

单调递减，取得极小值时，函数时，函数

， 在在

，

单调递减，

，没有极小值．

，

单调递增，

，没有极大值． 取得极大值取得极小值

，没有极小值； ，没有极大值． ，

，其在轴上的截距不存在．

综上可知: 当 当（3）设切点为

则曲线在点处的切线方程为当当

时，切线的方程为时，令

，得切线在轴上的截距为

，

当

时，

，

当且仅当当

时，

，即或时取等号；

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，

当且仅当，即或时取等号.

.

所以切线在轴上的截距范围是

点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求论.

（3）已知极值求参数.若函数反.

21．【答案】

55

【解析】解：（1）∵sin B＝sin A＋sin C，由正弦定理得b＝a＋c，

44

5

又a＝4c，∴b＝5c，即b＝4c，

4a2＋c2－b2（4c）2＋c2－（4c）21

由余弦定理得cos B＝＝＝. 2ac82×4c·c（2）∵S△ABC＝3，B＝60°.

1

∴acsin B＝3.即ac＝4. 2

又a＝4c，∴a＝4，c＝1.

1

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝42＋12－2×4×1×＝13.

2∴b＝13，

∵ksin B＝sin A＋sin C，

a＋c5513

由正弦定理得k＝＝＝，

b1313

513

即k的值为.

13

22．【答案】

o【解析】由底面ABCD为菱形且ABC60，∴ABC，ADC是等边三角形， 取DC中点O，有OADC,OPDC，

在点

处取得极值，则

，且在该点左、右两侧的导数值符号相

→求方程

的根→列表检验

在

的根的附近两侧的符号→下结

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∴POA为二面角PCDA的平面角， ∴POA90o．

分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)． …… 3分

（Ⅰ）由M为PB中点，M(32,1,32),∴DM(332,2,2), zPADC(3,0,3),0),PADM0, PADCP∴ PADM …… 6分

（Ⅱ）由DC(0,2,0)，PADC0，∴PADC， My∴ 平面DCM的法向量可取PA(3,0,3), …… 9分D OCPC(0,1,3)， 设直线PC与平面DCM所成角为， B则sin|cosPC,PA||PCPA3A|PC||PA||6624． x即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为64 ．…… 12分 23．【答案】 【

解

析第 16 页，共 18 页

】

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x1cos1424．【答案】（1）参数方程为，3x4y60；（2）.

5ysin【解析】

22

试题分析：（1）先将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得(x1)y1,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：

（1）曲线C的普通方程为2cos，∴xy2x0，

222x1cos∴(x1)y1，所以参数方程为，

ysin直线的普通方程为3x4y60.

（2）曲线C上任意一点(1cos,sin)到直线的距离为

22第 17 页，共 18 页

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d33cos4sin65sin()91414，所以曲线C上任意一点到直线的距离的最大值为.

5555考点：1.极坐标方程；2.参数方程.

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