向量的线性运算真题汇编

一、选择题

1．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．

①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个 【答案】D 【解析】 【分析】

根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】

解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；

②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】

此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.

B．2个

C．3个

D．0个

2．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设（ ） A．+++= C．+--= 【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】

根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误；

；

而∴B正确. 故选B. 【点睛】

此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.

；

B．-+-= D．--+=

=，

=，

=，

=，则

3．在四边形ABCD中，则四边形ABCD是( ) A．平行四边形

B．矩形

C．梯形

D．菱形

，

，

，其中与不共线，

【答案】C 【解析】 【分析】

利用向量的运算法则求出【详解】 解：∵

，

∴

，

∴AD∥BC，AD=2BC. ∴四边形ABCD为梯形. 【点睛】

本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.

，利用向量共线的充要条件判断出

，得到

边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项.

4．如图，已知向量a，b，c,那么下列结论正确的是（ ）

A．abc 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CAABCB， 即acb 故选D．

B．bca

C．acb

D．acb

5．若AB是非零向量，则下列等式正确的是（ ） A．ABBA； 【答案】B 【解析】 【分析】

B．ABBA；

C．ABBA0；

D．ABBA0.

长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB是非零向量, ∴ABBA 故选B 【点睛】

此题考查平面向量，难度不大

6．如图，ABCD中，E是BC的中点，设ABa,ADb，那么向量AE用向量a、b表示为（ ）

1b 2【答案】A 【解析】 【分析】

A．a【详解】 解：

B．a1b 2C．a1b 2D．a1b 2根据AEABBE，只要求出BE即可解决问题.

四边形ABCD是平行四边形，

AD∥BC，AD＝BC， BCADb，

BE＝CE，

1BEb，

2AEABBE,ABa，

1AEab，

2故选：A. 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

7．如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设ABa,BCk，那么向量AO用向量

ab表示为（ ）

1b 2【答案】B 【解析】 【分析】

A．aB．

2a31b 3C．

2a32b 3D．

1a21b 4利用三角形的重心性质得到： AO【详解】

∵在△ABC中，AD是中线， BC∴BD∴AD2AD；结合平面向量的三角形法则解答即可． 3b，

1BC21b． 21b 2又∵点O是△ABC的重心，

ABBDa∴AO∴AO2AD， 32a31b． 32AD3故选：B．

【点睛】

此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出AO键．

2AD是解题的关3

8．已知a、b为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A．aabb C．如果a【答案】C 【解析】

B．0a0

D．如果a2b，那么a2b或a2b

1b，那么a//b 2【分析】

根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】

解：A、aabb，正确； B、0a0，正确； C、如果a1b，那么a//b，错误，可能共线； 2D、如果a2b，那么a2b或a2b，正确； 故选C． 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是 （ ） A． 【答案】D 【解析】 【分析】

根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】

根据相等向量的定义，分析可得， A. B. C. D. 故选D. 【点睛】

此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.

方向不同，方向不同，方向相反，

错误， 错误， 错误，

B．

C．

D．

方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，正确；

10．已知AM是△ABC的边BC上的中线，ABa，ACb，则AM等于（ ）．

1ab 2【答案】C 【解析】 【分析】

A．

B．

1ba 2C．

1ab 2D．1ab 2根据向量加法的三角形法则求出：CBab，然后根据中线的定义可得：

CM1ab，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM. 2【详解】

解：∵ABa，ACb ∴CBABACab

∵AM是△ABC的边BC上的中线

11∴CMCBab

22∴AMACCMb故选C.

11abab 22

【点睛】

此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.

11．如图，在ABC中，点D是在边BC上，且BD2CD，ABa,BCb，那么

AD等于（ ）

A．ab 【答案】D 【解析】 【分析】

B．

22ab 33C．a2b 3D．a2b 3根据BD2CD，即可求出BD，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】 解：∵BD2CD ∴BD22BCb 332b 3∴ADABBDa故选D． 【点睛】

此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．

12．下列结论正确的是（ ）．

A．2004cm长的有向线段不可以表示单位向量 B．若AB是单位向量，则BA不是单位向量

C．若O是直线l上一点，单位长度已选定，则l上只有两点A、B，使得OA、OB是单位向量

D．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】

根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】

A.1个单位长度取作2004cm时，2004cm长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A不正确；

B. AB是单位向量时，AB1，而此时ABBA1，即BA也是单位向量，故选项B不正确；

C.单位长度选定以后，在l上点O的两侧各取一点A、B，使得OA、OB都等于这个单位长度，这时OA、OB都是单位向量，故选项C正确； D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D不正确. 故选C. 【点睛】

本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.

13．如图，□ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果ABm，ADn，那么下列选项中，与向量

1mn相等的向量是（ ）. 2

A．OA 【答案】C 【解析】 【分析】

B．OB C．OC D．OD

由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BCADn，然后由三角形法则，求得AC与BD，继而求得答案．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BCADn，

∴AC＝ABBCmn，BD=ADABnm， ∴OA=-1111ACmn，OC=ACmn 22221111OB=-BDnm，OD=BDnm

2222故选：C． 【点睛】

此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．

14．下列条件中，不能判定a∥b的是（ ）． A． a//c,b//c 【答案】B 【解析】 【分析】

根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】

解：A、由a//c,b//c推知非零向量a、b、c的方向相同，则a//b，故本选项不符合题意．

B、由|a|3|b|只能判定向量a、b的模之间的关系，不能判定向量a、b的方向是否相同，故本选项符合题意．

C、由a5b可以判定向量a、b的方向相反，则a//b，故本选项不符合题意． D、由a2b可以判定向量a、b的方向相同，则a//b，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】

本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．

B．|a|3|b|

C． a5b

D．a2b

15．化简(ABCD)(BEDE)的结果是（ ）． A．CA 【答案】B 【解析】 【分析】

根据三角形法则计算即可解决问题．

B．AC

C．0

D．AE

【详解】

解：原式(ABBE)(CDDE) AECE AEEC

AC，

故选：B． 【点睛】

本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．

16．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ） A．ABBA C．ABBC【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】

A选项，ABBA，成立； B选项，ABBA，成立； C选项，ABBCB．ABBA

AC

D．ABBCABBC

AC，成立；

D选项，ABBCABBC不一定成立； 故答案为D. 【点睛】

此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.

17．已知e是单位向量，且a2e,b4e，那么下列说法错误的是（ ） A．a ∥b 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

解：∵e是单位向量，且a2e，b4e，

B．|a|=2

C．|b|=﹣2|a|

D．a =﹣b

12∴a//b，a2， b4 ， a故C选项错误， 故选C.

1b， 2

18．已知a，b和c都是非零向量，下列结论中不能判定a∥b的是（ ） A．a//c，b//c 【答案】D 【解析】 【分析】

根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】

解：A.∵a//c，b//c，∴a∥b，故本选项错误； B.∵aB．a1c,b2c 2C．a2b

D．ab

1c,b2c∴a∥b，故本选项错误. 2C.∵a2b，∴a∥b，故本选项错误；

D.∵ab，∴a与b的模相等，但不一定平行，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．

19．设m,n为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A．m（na）＝（mn）a C．m（a+b）＝mamb 【答案】D 【解析】 【分析】

空间向量的线性运算的理解：

（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；

（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；

（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】

根据向量的运算法则，即可知A（结合律）、B、C（乘法的分配律）是正确的，D中的0是有方向的，而0没有，所以错误．

解：∵A、B、C均属于向量运算的性质，是正确的；

B． （mn）a＝mana D．若ma0，那么a0

∵D、如果a=0，则m=0或a=0．∴错误． 故选D． 【点睛】

本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.

20．点C在线段AB上，且ACA．

3AB，若ACmBC，则m的值等于（ ）． 5C．2 3B．

3 22 3D．3 2【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知条件即可得：CBABAC25AB，从而得出：ABBC，再代入523AB中，即可求出m的值. 5【详解】 AC解：∵点C在线段AB上，且AC∴CBABAC∴AB∴AC故选D.

3AB 52AB 555CBBC 223353ABBCBC 5522

【点睛】

此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.