2022年北京市顺义区高三3月份模拟考试数学试题含解析

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，侧棱AA1平面ABC，过AB1作平面与BC1平行，设平面与平面ACC1A1的交线为l，记直线l与直线AB,BC,CA所成锐角分别为，，，则这三个角的大小关系为( )

A． C．

B． D．

2． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ) ．．

A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大 ．．．．．．．．B．这五年，2015年出口额最少 C．这五年，2019年进口增速最快 D．这五年，出口增速前四年逐年下降

3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）

A．16

B．

32 3205 3C．

642 3D．

4．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、

D、E为顶点的多边形为正五边形，且PT5151AP，则ATES（ ） 22

A．51QR 2B．51RQ 2C．51RD 2D．51RC 25．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ） A．P1•P2＝

1 4B．P1＝P2＝

1 3C．P1+P2＝

x5 6D．P1＜P2

6．当a0时，函数fxxaxe的图象大致是（ ）

2A． B．

C． D．

7．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

A．23 B．21 C．35 D．32

8．若2m＞2n＞1，则（ ） A．

11＞ mnB．πm﹣n＞1 D．

C．ln（m﹣n）＞0

log1m＞log1n

229．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A．408

B．120

C．156

D．240

10．已知等差数列an的前n项和为Sn，a37，S39，则a10（ ） A．25

11．设复数z满足A．

B．32

C．35

D．40

13i 22ziz2i(i为虚数单位)，则z（ ） i1313B．i C．i

2222D．13i 2212．若复数z12i，z2cosisin(R)，其中i是虚数单位，则|z1z2|的最大值为( ) A．51

B．51 2C．51

D．51 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数f(x)4cosxsin(x)2(0)的最大值与最小正周期相同，则f(x)在[1,1]上的单调递增区间为

4______.

14．已知sin(2)psin，tan()ptan，其中，p为正的常数，且p1，则p的值为_______. 15．正项等比数列|an满足a1a3值为_____

51，且2a2,a4,a3成等差数列，则(a1a2)(a2a3)42(anan1)取得最小值时n的

16．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列anp为常数． （1）求p的值；

（2）求证：数列{an}为等比数列；

（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”． 18．（12分）已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1的前n项和为T，且T2n

n4Snp32，其中

1，b11，b22，当n2，nN*22(Tn2Tn21)2Tn1. 时，Sn112an，bnbn1bn1（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn(bn2)an，求数列{cn}的前n项和Pn.

bn2bn19．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.

（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在47,52内的人数为，求P3；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将

每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 频数（年） 1X3 2 3X5 4 X5 4 以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.

该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X 1X3 1 3X5 2 X5 3 A型游船最多使用量 若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？

20．（12分）如图，在四面体DABC中，ABBC，DADCDB.

（1）求证:平面ABC平面ACD；

（2）若AD2，AB2BC， CAD30，求四面体ABCD的体积.

y2x23 21．（12分）已知椭圆C221a0,b0的长轴长为4，离心率eab2（1）求椭圆C的方程；

（2）设A,B分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆C上在第一象限的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问PMN与PAB面积之差是否为定值？说明理由. 22．（10分）已知函数fxaln1x,gx13xax, hxex1． 3（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围； （2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；

（3）求证：

1095103000e（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 10002699 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】

如图，D1C1CC1，C1E1AC11，设O为A1C1的中点，O1为C1E1的中点， 由图可知过AB1且与BC1平行的平面为平面AB1D1，所以直线l即为直线AD1， 由题易知，D1AB，O1CB的补角，D1AC分别为，，， 设三棱柱的棱长为2，

在D1AB中，D1B25，AB2，AD125，

25cosDAB124252222555；

，cos1010在O1BC中，O1B11，BC2，OC5， 15cosOCB12411222555；

，cos1010在D1AC中，CD14，AC2，AD125，

cosD1AC22555， ，cos55coscoscos，.

故选：B 【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养. 2、D 【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确； 对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确； 对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误； 故选：D 【点睛】

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 3、C 【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】

如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为r22，所以

体积为V故选：C 【点睛】

42233642. 3本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 4、A 【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】 解：AT故选：A 【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 5、C 【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝所以P1+P2＝故选C. 【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 6、B 【解析】

由fx0，解得x2ax0，即x0或xa，

5151ESSDSRRDQR. 223； 62； 65 6a0,函数fx有两个零点，A,C，不正确，设a1，

则fxxxe,f'xxx1e，由f'xxx1e0，解得x2x2x2x1515或x，22由f'xx1e0，解得：2x1515，即x1是函数的一个极大值点，排除D，∴D不成立，x22故选B.

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及

x0,x0,x,x时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.

7、B 【解析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】

随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 8、B 【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】

若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πmn＞π0＝1，故B正确； 而当m﹣

11，n时，检验可得，A、C、D都不正确， 24故选：B． 【点睛】

此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项. 9、A

【解析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【详解】

6解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有A6720（种），

5当“乐”排在第一节有A5120（种），

当“射”和“御”两门课程相邻时有A2A5240（种），

24当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有A2A448（种），

25则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408（种）， 故选：A． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 10、C 【解析】

设出等差数列an的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得a10． 【详解】

设等差数列an的首项为a1，公差为d，则

a3a12d7，解得a11,d4，∴an4n5，即有a10410535． S33a13d9故选：C． 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n项和公式的应用，属于容易题． 11、B 【解析】 易得z2i，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 1i【详解】

由已知，zizi2，所以z故选：B.

2i(2i)(1i)13i13i. 1i2222【点睛】

本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 12、C 【解析】

由复数的几何意义可得z1z2表示复数z12i，z2cosisin对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】

由复数的几何意义可得，复数z12i对应的点为2,1，复数z2cosisin对应的点为cos,sin，所以z1z22cos1sin2212sin44cos1625sin62551，其中tanφ2，

故选C 【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将z1z2转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、[13,] 44【解析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【详解】

∵f(x)4cosx(22sinxcosx)2 2222sinxcosx22cos2x2 2sin2x2cos2x

2sin(2x)， 4则函数的最大值为2，周期T2， 2f(x)的最大值与最小正周期相同， 2，得，

2则f(x)2sin(x)，

4当1x1时，则当54x43， 42x42时，得13x， 4413,]， 44即函数f(x)在[1，1]上的单调递增区间为[故答案为：[【点睛】

13,]. 44本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为定义域的一个子区间． 14、21 【解析】

把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得p值． 【详解】

解：由sin(2)psin，得sin[()]psin[()]， sin()coscos()sinpsin()cospcos()sin，

即(p1)sin()cos(p1)cos()sin， (p1)tan()(p1)tan，

又tan()ptan，

p1p，解得：p12． p1p为正的常数，p21．

故答案为：21． 【点睛】

本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题． 15、2 【解析】

先由题意列出关于a1,q的方程，求得an的通项公式，再表示出(a1a2)(a2a3)【详解】

解：设an公比为q，且q0，

(anan1)即可求解.

a3a2q,a4a2q2

12a42a2a3

212a2q22a2a2q

2q2q20q0q25a14a1 41a141an2n12n34bnanan12n32n222n5 b1b2bn2321(2n5)22n5

23(1)2n24n2

42(n2)n2时，上式有最小值2故答案为：2. 【点睛】

41， 16本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题. 16、2 0.2 【解析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 【详解】

设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a）ξ1 P E（ξ1） 1 2 1，其ξ1分布列为： 5 1 4 5 1 51 51 51 51 51（1+2+1+4+5）＝1． 5D（ξ1）1[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2． 5ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6， P（ξ2＝1.4）4252332211 ，P（ξ2＝2.3）2，P（ξ2＝4.2）2，P（ξ2＝5.6）2，可得分布列．

1010105555 2.3 4.2 5.6 ξ2 P E（ξ2）＝1.4 1.4 2 53 102 101 1012322.34.25.62.3．

1051010∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2． 故答案为：2，0.2． 【点睛】

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】

（1）取n＝1时，由1（2）Tn到证明.

（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案. 【详解】

（1）n＝1时，由1﹣

41p32得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.

41411(2Sn)2，则Tn1(2Sn1)2，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到an2an1，得3333241p324Sn2得p＝0或2，若p＝0时，Tn，

32当n＝2时，1a2241a23，解得a2＝0或a21， 2而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2； （2）当p＝2时，Tn4141(2Sn)2①，则Tn1(2Sn1)2②， 3333②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，

④﹣③得an2又因为a21an1（n∈N*）， 211a1，所以数列{an}是等比数列，且ann1； 221124（3）充分性：若x＝1，y＝2，由ann1知an，2xan+1，2yan+2依次为n1，n，n1，

2222214满足2nn1n1，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；

2221必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又ann1，

2111xy﹣

所以22nn12n1，化简得2x﹣2y2＝1，

222显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），

因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1， 故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证． 【点睛】

本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 18、（1）an【解析】

（1）Sn112an(n2)，所Sn12an1，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由

11P1bn2 ，（）nn(n1)2n2nbn2Tn2Tn21bn1bn12Tn1TnTn1(n2)，整理得

2TnTn1TnTn12bnTnTn1TnTn1(n2)，得

bn1bn1bn1bn1到bn1bnbnbn1(n2)，即可求解通项公式； （2）由（1）可知，cn【详解】

（1）因为Sn112an(n2)，所Sn12an1，两式相减，整理得an1(n2)12(n1)n111，即可求得数列{cn}的前n项和Pn.

n2n2nn(n1)2nn2n1(n1)2n1an(n2)，当n2时，211112a2，解得a2a1， 24211所以数列an是首项和公比均为的等比数列，即ann，

22S1a1因为bn2Tn2Tn21bn1bn12Tn1TnTn1(n2)，

整理得

2TnTn1TnTn12bnTnTn1TnTn1(n2)，

bn1bn1bn1bn12bn1(n2)，即bn1bnbnbn1(n2)，因为b11,b22，所以数列

bn1bn1又因为bn0，所以Tn0，所以

bn是以首项和公差均为1的等差数列，所以bnn；

（2）由（1）可知，cn(n2)12(n1)n111，

n2n2nn(n1)2nn2n1(n1)2n111111P1Pn1，即nn. 2n1n(n1)2(n1)2222232n2【点睛】

此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式. 19、（1）P3【解析】

（1）首先计算出在42,47，47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出P3. （2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】

（1）年龄在42,47内的游客人数为150，年龄在47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在42,47内的人数为6人，年龄在47,52内的人数为4人.

31C4C64. 可得P34C10354；（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大 35（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则EY3（万元）. ②当投入2艘A型游船时，

若1X3，则Y30.52.5，此时PY521P1X3； 2105若X3，则Y326，此时PY6P3X5PX5此时Y的分布列如下表：

4； 5Y 2.5 6 P 此时EY2.51 51465.3（万元）. 554 5③当投入3艘A型游船时，

21； 1052若3X5，则Y320.55.5，此时PY5.5P3X5；

52若X5，则Y339，此时PY9PX5；

5若1X3，则Y312，此时PY2P1X3此时Y的分布列如下表：

Y P 此时EY22 5.5 9 1 51225.596.2（万元）. 5552 52 5由于6.25.33，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大. 【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取AC中点F，连接FD,FB，根据等腰三角形的性质得到DFAC，利用全等三角形证得DFFB，由此证得DF平面ABC，进而证得平面ABC平面ACD.

（2）由（1）知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD的体积. 【详解】

（1）证明:如图，取AC中点F，连接FD,FB，

4. 5

由DADC,则DFAC,

ABBC，则FAFBFC，

故DFA≌DFB≌DFC 故DFBDFA2，

DFAC,DFFB,ACFBF

∴DF平面ABC.

又DF平面ACD， 故平面ABC平面ACD

（2）由（1）知DF平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高， 且DFADsin301,AFADcos303. 在RtABC中，AC2AF23,AB2BC，

由勾股定理易知BC215415 ,AB55故四面体ABCD的体积

1VS3ABC114152154DF1

32555【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

y221、（1）x21（2）是定值，详见解析

4【解析】

a23c3（1）根据长轴长为4，离心率e，则有求解.

a2222abc222（2）设Px0,y0x00,y00，则4x0y04，直线PA:yy0yx1，令x0得，yM0，则x01x01BM2yM，直线PB:yy022x0x2，令y0，得xN，则AN1xN，再根据x2y02SPMNSPABSMANSPANSBANSPANSMANSBAN求解.

【详解】

a2（1）依题意得c3，a2

a2b2c2解得a2，b1

C的方程y2则椭圆4x21.

（2）设Px，则4x220,y0x00,y000y04，

直线PA:yy0x1x1， 0令x0得，yy0Mx， 01则BM2yM2y0x， 01直线PB:yy02xx2， 2令y0，得x2x0Ny， 02则AN1xx0N12y， 02SPMNSPABSMANSPANSBANSPANSMANSBAN y2x011ANBM2012. 22x01y02【点睛】

本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题. 22、（1）,1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令x知，当a=﹣1时，e【详解】

（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0）， 则

①若a≤1，则

，

，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，

x1；由（2）10131xx1对x＜0恒成立，令x-，结合条件，即可得证． 310H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1； ②若a＞1，H′（x）=ex﹣

在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，

且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），

使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增， 所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，

即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去； 综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]． （Ⅱ）解：依题意得

，则F'（x）=ex﹣x2+a，

则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增， 所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞； ①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，

故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点； ②若1+a＞0，即a＞﹣1，则

使

，

进而F（x）在且x→﹣∞时，F（x）在

递减，在递增，，

，

上有一个零点，在无零点，

故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．

综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立， 令

，则

即

；

由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，

令，则，所以；

故有【点睛】

．

本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．