2021年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区中考数学二模试卷

2021年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）实数﹣A．

的绝对值是（ ）

B．﹣

C．﹣

D．

2．（3分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到70万亿元增加到超过100万亿元．将100万亿用科学记数法表示正确（ ） A．0.1×1015

B．1×1015

C．1×1014

D．10×1014

4．（3分）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A．10x＝40（x+6） C．

B．

D．10（x+6）＝40x

5．（3分）如图，△ABC的3个顶点都在格点上，将△ABC先向左平移4个单位长度，再作关于原点O的中心对称图形，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

第1页（共30页）

A．（﹣3，﹣2）

B．（﹣3，2）

C．（2，﹣2）

D．（3，﹣2）

6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（ ）

A．22°

B．44°

C．48°

D．68°

7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（ ）

A．

B．

C．

第2页（共30页）

D．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一

次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空題（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：

＝ ．

10．（3分）2022年将在北京和张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从A，B两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，我们可以判断 选手的成绩更稳定．（填A或B）

11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+5x+k的图象与一次函数y＝2x+1的图象有交点，则k的取值范围是 ．

12．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB

第3页（共30页）

上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 ．

13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是 ．

14．（3分）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有 个．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作何图痕迹 15．（4分）如图，已知∠AOB及边OB上一点P，求作⊙M，使⊙M与边OA、OB相切，且其中一个切点为点P．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）

第4页（共30页）

16．（8分）（1）计算：÷（+1）；

（2）解不等式组：．

17．（6分）小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

18．（6分）劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动，某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），绘制了统计图表：表一：

成绩x 人数 表二： 统计量 成绩

平均数 79.7

中位数 b

众数 72

x＜60 1

60≤x＜70

2

70≤x＜80

a

80≤x＜90

8

90≤x≤100

4

请根据以上信息回答下列问题：

（1）若抽取的学生竞赛成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88，87，81，80，82，88，84，86．根据以上数据填空：a＝ ，b＝ ．

（2）在扇形统计图中，表示竞赛成绩为90≤x≤100这一组所对应扇形的圆心角度数为 ．

（3）已知该校八年级共有学生700名．若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数 ．

第5页（共30页）

19．（6分）2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？

（参考数据：sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

20．（8分）如图，一次函数y＝k1x+5（k1为常数，且k1≠0）的图象与反比例函数y＝为常数，且k2≠0）的图象相交于A（﹣2，4），B两点． （1）求点B的坐标；

（2）若一次函数y＝k1x+m的图象与反比例函数y＝m的值．

的图象有且只有一个公共点，求

（k2

第6页（共30页）

21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD＝CF；

（2）连接AF，当AB＝AC时，四边形ADCF是什么特殊四边形？请说明理由．

22．（10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品

每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万每年最大产销量

元）

甲 乙

6 30

m 20

20 40+0.05x2

（万元） 200 80

其中m为常数，且2≤m≤5．

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

23．（10分）【实际问题】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家

第7页（共30页）

中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．

探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则b与c之间有什么数量关系？

解：在△ABC中，∵AC⊥BC， ∴BC2+AC2＝AB2，即a2+b2＝c2． ∵（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2﹣2ab≥0． ∴a2+b2≥2ab． ∴c2≥2ab．

∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2． ∴2c2≥（a+b）2． ∵a，b，c均大于0，

∴a+b与c之间的数量关系是a+b≤

c．

探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，则a+b+c与d之间有什么数量关系？ 解：∵AB⊥BC，AC⊥CD， ∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2． ∴a2+b2+c2＝d2．

∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc． 将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc， ∴2d2≥2ab+2ac+2bc．

第8页（共30页）

∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2． ∴ d2≥（a+b+c）2． ∵a，b，c，d均大于0，

∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤ d．

探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，则a+b+c+d与e之间的数量关系是 ． 【归纳结论】

当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 ． 【问题解决】

小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 米． 【拓展延伸】

公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为400平方米，则水池的最大周长为 米． 24．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AB？

（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式． （3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？

（4）若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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2021年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）实数﹣A．

的绝对值是（ ）

B．﹣

．

C．﹣

D．

【解答】解：实数﹣故选：A．

的绝对值是：

2．（3分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源，下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回收标识中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B．

3．（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国内生产总值从不到70万亿元增加到超过100万亿元．将100万亿用科学记数法表示正确（ ） A．0.1×1015

B．1×1015

C．1×1014

D．10×1014

【解答】解：100万亿＝100000000000000＝1×1014． 故选：C．

4．（3分）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）

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A．10x＝40（x+6） C．

B．

D．10（x+6）＝40x

【解答】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人， 依题意得：故选：B．

5．（3分）如图，△ABC的3个顶点都在格点上，将△ABC先向左平移4个单位长度，再作关于原点O的中心对称图形，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

＝

．

A．（﹣3，﹣2）

B．（﹣3，2）

C．（2，﹣2）

D．（3，﹣2）

【解答】解：由题意可知A的坐标为A（1，2），

将△ABC先向左平移4个单位长度后点A的对应点坐标为（﹣3，2）．

再作关于原点O的中心对称图形，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（3，﹣2）． 故选：D．

6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB为（ ）

第11页（共30页）

A．22°

B．44°

C．48°

D．68°

【解答】解：连接OB， ∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA＝22°，

∴∠AOB＝180°﹣22°﹣22°＝136°， 又∵OA⊥OC， ∴∠AOC＝90°，

∴∠BOC＝136°﹣90°＝46°， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OCB+∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝90°﹣46°＝44°， 故选：B．

7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（ ）

第12页（共30页）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED， ∴AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF， ∴EF＝

＝

＝3，

∵DG＝EG，△AEG的面积为， ∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD， ∴AD＝6， ∴DF＝2， ∴BD＝DE＝故选：A．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+

与反比例函数y＝

在同一坐标系内的大致图象是（ ）

＝

＝

，

A． B．

第13页（共30页）

C． D．

【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴ab＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，

对于一次函数y＝cx+

，c＜0，图象经过第二、四象限；

＜0，图象与y轴的交点在

x轴下方；对于反比例函数y＝故选：B．

，ab＜0，图象分布在第二、四象限．

二、填空題（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：【解答】解：原式＝2＝3

﹣2

+4． ﹣2

+4． ﹣2

+

+4

＝ 3

﹣2

+4 ．

故答案为：3

10．（3分）2022年将在北京和张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从A，B两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，我们可以判断 A 选手的成绩更稳定．（填A或B）

【解答】解：A选手成绩的平均数为：（7+8+8+9+8）＝8，

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B选手成绩的平均数为：（10+8+11+6+5）＝8，

A选手成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2×3+（9﹣8）2]＝0.4，

B选手成绩的方差为：[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（11﹣8）2+（6﹣8）2+（5﹣8）2]＝5.2， ∵0.4＜5.2，

∴A选手的成绩比较稳定． 故答案为：A．

11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+5x+k的图象与一次函数y＝2x+1的图象有交点，则k的取值范围是 k≥﹣ ．

【解答】解：把y＝2x+1代入y＝﹣x2+5x+k得： 2x+1＝﹣x2+5x+k， 整理得x2﹣3x﹣k+1＝0， △＝32﹣4（﹣k+1）＝5+4k， 当△≥0时，两函数图象有交点， 即5+4k≥0， 解得k≥﹣． 故答案为：k≥﹣．

12．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 3

+

．

【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，

此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，

第15页（共30页）

由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′＝∴

的长l＝

＝＝，

+

． ＝3

，

∴阴影部分周长的最小值为3故答案为：3

+

．

13．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是 2.5 ．

【解答】解：连接FM，FC，

∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC，

第16页（共30页）

∴∠BAC＝45°，四边形BCEF为矩形， ∴△AFG为等腰直角三角形，BE＝CF， ∵M是AG的中点， ∴AM＝MG， 则FM⊥AG，

即△FMC是直角三角形， ∵N是FC的中点， ∴MN＝FC，

∵DE＝1，BC＝DC＝4， ∴CE＝3， ∴BE＝FC＝∴MN＝FC＝2.5． 故答案为2.5．

14．（3分）一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有 73 个．

，

【解答】解：前后面少（3+2）×5＝25（个），

上下面少的（去掉与前后面重复的）（5﹣3）+2×3+1×5＝13（个），

左右面少的（去掉与前后，上下复的）（5﹣3）+（5﹣1）+（5﹣2）+（5﹣2﹣1）+（5﹣2）＝14（个），

125﹣（25+13+14）＝73（个）， 答：图中剩下的小正方体有73个． 故答案为：73．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作何图痕迹 15．（4分）如图，已知∠AOB及边OB上一点P，求作⊙M，使⊙M与边OA、OB相切，

第17页（共30页）

且其中一个切点为点P．

【解答】作法：如图，

1、作∠AOB的平分线OE， 2、过点P作射线OB的垂线PD， 3、PD与OE的交点即为点M， 4、以点M为圆心、MP为半径作圆， 则⊙M即为所求．

四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（8分）（1）计算：

÷（

+1）；

（2）解不等式组：【解答】解：（1）原式＝＝＝

；

•

÷

．

（2），

由①得：x＜，

第18页（共30页）

由②得：x≥﹣，

∴不等式组的解集为﹣≤x＜．

17．（6分）小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

【解答】解：不公平，

将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2， 画树状图如下：

由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， ∴小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为， ∵≠，

∴这个游戏对双方不公平．

18．（6分）劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动，某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制），绘制了统计图表：表一：

成绩x 人数 表二： 统计量 成绩

平均数 79.7

中位数 b

众数 72

第19页（共30页）

x＜60 1

60≤x＜70

2

70≤x＜80

a

80≤x＜90

8

90≤x≤100

4

请根据以上信息回答下列问题：

（1）若抽取的学生竞赛成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：88，87，81，80，82，88，84，86．根据以上数据填空：a＝ 5 ，b＝ 81.5 ．

（2）在扇形统计图中，表示竞赛成绩为90≤x≤100这一组所对应扇形的圆心角度数为 72° ．

（3）已知该校八年级共有学生700名．若将竞赛成绩不少于80分的学生评为“劳动达人”，请你估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数 420 ．

【解答】解：（1）本次抽取的学生有：8÷40%＝20（人）， a＝20﹣1﹣2﹣8﹣4＝5，

80≤x＜90这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88， b＝（81+82）÷2＝81.5， 故答案为：5，81.5；

（2）竞赛成绩在90≤x≤100这一组的扇形圆心角度数为：360°×故答案为：72°； （3）700×

＝420（人），

＝72°，

即估计该校八年级被评为“劳动达人”的学生人数是420人． 故答案为：420．

19．（6分）2021年5月7日，“雪龙2”船返回上海国内基地码头，标志着中国第37次南极考察圆满完成．已知“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛232km．此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度航行．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛？

（参考数据：sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°

第20页（共30页）

≈）

【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，

由题意知，∠ABC＝28°+25°＝53°，∠ACB＝59°﹣28°＝31°，BC＝232km， 设AD＝x，

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝53°， ∴BD＝

＝

≈x，

在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°， ∴CD＝

∵BD+CD＝BC， ∴x+x＝232， 解得：x＝96， ∴AD＝96（km）， ∴AC＝2AD＝192（km）， ∴192÷24＝8（h）， ∴9+8＝17，

第21页（共30页）

＝＝x，

答：“雪龙2”船大约17点钟到达C岛．

20．（8分）如图，一次函数y＝k1x+5（k1为常数，且k1≠0）的图象与反比例函数y＝为常数，且k2≠0）的图象相交于A（﹣2，4），B两点． （1）求点B的坐标；

（2）若一次函数y＝k1x+m的图象与反比例函数y＝m的值．

的图象有且只有一个公共点，求

（k2

【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+5（k1为常数，且k1≠0）的图象与反比例函数y＝

（k2为常数，且k2≠0）的图象相交于A（﹣2，4），

∴，

∴k1＝，k2＝﹣8，

∴一次函数为y＝x+5，反比例函数为y＝﹣，

由解得，和，

∴B的坐标为（﹣8，1）；

（2）∵一次函数y＝k1x+m的图象与反比例函数y＝∴x+m＝﹣， ∴x2+mx+8＝0，

第22页（共30页）

的图象有且只有一个公共点，

∵△＝m2﹣16＝0， 解得m＝4或﹣4．

21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD＝CF；

（2）连接AF，当AB＝AC时，四边形ADCF是什么特殊四边形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵E，G分别是AC，DC的中点， ∴EG是△CAD的中位线， ∴EG＝AD，EG∥AD， ∵∠FCA＝∠CEG， ∴EG∥CF， ∴△DEG∽△DFC， ∴

＝

＝，

∴EG＝CF， ∴AD＝CF；

（2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形， 理由如下：∵EG∥AD，EG∥CF，AD＝CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，

∴平行四边形ADCF是矩形．

22．（10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

第23页（共30页）

产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万每年最大产销量

元）

（万元） 200 80

甲 乙

6 30

m 20

20 40+0.05x2

其中m为常数，且2≤m≤5．

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【解答】解：（1）y1＝（6﹣m）x﹣20（0＜x≤200），

y2＝（30﹣20）x﹣（40+0.05x2）＝﹣0.05x2+10x﹣40（0＜x≤80）； （2）甲产品：y1＝（6﹣m）x﹣20（0＜x≤200）， ∵2≤m≤5， ∴6﹣m＞0，

∴y1随x的增大而增大，

∴当x＝200时，y1max＝（1180﹣200m）（万元）（2≤m≤5）； 乙产品：

y2＝﹣0.05x2+10x﹣40

＝﹣0.05（x﹣100）2+460（0＜x≤80）； ∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大， ∴当x＝80时，y2max＝440（万元）．

∴产销甲种产品的最大年利润为（1180﹣200m）万元；产销乙种产品的最大年利润是440万元；

（3）由1180﹣200m＞440，解得2≤m＜3.7，此时选择甲产品； 由1180﹣200m＝440，解得m＝3.7，此时选择甲或乙产品均可； 由1180﹣200m＜440，解得3.7＜m≤5，此时选择乙产品；

∴当2≤m＜3.7时，生产甲产品的利润高；当m＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；当3.7＜m≤5时，生产乙产品的利润高．

23．（10分）【实际问题】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家

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中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．

探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则b与c之间有什么数量关系？

解：在△ABC中，∵AC⊥BC， ∴BC2+AC2＝AB2，即a2+b2＝c2． ∵（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2﹣2ab≥0． ∴a2+b2≥2ab． ∴c2≥2ab．

∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2． ∴2c2≥（a+b）2． ∵a，b，c均大于0，

∴a+b与c之间的数量关系是a+b≤

c．

探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，则a+b+c与d之间有什么数量关系？ 解：∵AB⊥BC，AC⊥CD， ∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2． ∴a2+b2+c2＝d2．

∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc． 将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc， ∴2d2≥2ab+2ac+2bc．

第25页（共30页）

∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2． ∴ 3 d2≥（a+b+c）2． ∵a，b，c，d均大于0，

∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤

d．

探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，则a+b+c+d与e之间的数量关系是 a+b+c+d≤2e ． 【归纳结论】

当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 a1+a2+…+an≤【问题解决】

小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 3【拓展延伸】

公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为400平方米，则水池的最大周长为 40 米． 【解答】解：探究2：∵AB⊥BC，AC⊥CD， ∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2． ∴a2+b2+c2＝d2．

∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc． 将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc， ∴2d2≥2ab+2ac+2bc．

∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2． ∴3d2≥（a+b+c）2． ∵a，b，c，d均大于0，

∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤故答案为：3，

d．

米．

m ．

探究3：∵AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e， ∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2，AD2+DE2＝AE2，

第26页（共30页）

∴a2+b2+c2+d2＝e2，

∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣d）2≥0，（b﹣d）2≥0，（c﹣d）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，a2+d2≥2ad，b2+d2≥2bd，c2+d2≥2cd， 将上面三式相加得，3a2+3b2+3c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd， ∴3e2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd，

∴2e2+a2+b2+c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd+a2+b2+c2+d2 ∴4e2≥（a+b+c+d）2， ∴a+b+c+d≤2e， 故答案为：a+b+c+d≤2e．

【归纳结论】当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 a1+a2+…+an≤

【问题解决】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），由探究2可知，电梯的长、宽、高和≤3∴电梯的长、宽、高和的最大值是3故答案为：3

【拓展延伸】由题意a2+b2+c2+d2＝400＝e2， ∴e＝20（米），

由探究3可知，a+b+c+d≤2e， ∴a+b+c+d≤40，

∴水池的最大周长为40米， 故答案为：40．

24．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动速度为1cm/s．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE∥BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AB？

（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．

第27页（共30页）

m．

（米），

米．

．

（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？

（4）若点F关于AB的对称点为F′，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 若PQ∥AB，

∴四边形PABQ是平行四边形， ∴AP＝BQ， ∴8﹣2t＝t， ∴t＝，

∴当t＝时，PQ∥AB；

（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，

∵∠ADB＝90°，

∴BD2＝AB2﹣AD2＝100﹣64＝36，即BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A＝∠QBH，

又∵∠ADB＝∠BHQ＝90°， ∴△ADB∽△BHQ， ∴

，即

，

第28页（共30页）

∴QH＝t， ∵PE∥BD， ∴

，即

，

∴BE＝t，

∴y＝S四边形APQB﹣S△BEQ＝（8﹣2t+t）×6﹣×t×t＝﹣t2﹣3t+24； （3）如图：

∵PE∥BD， ∴∠APE＝∠ADB， ∵∠A＝∠A， ∴△APE∽△ADB， ∴

，即

，

∴PE＝6﹣t，

∵点E在线段PQ的垂直平分线上， ∴EQ＝PE＝6﹣t，

由（2）得QH＝t，BE＝t， ∴BH＝

＝

＝t，

∴EH＝BH+BE＝t+t＝

t，

Rt△EQH中，EH2+HQ2＝EQ2， ∴（

t）2+（t）2＝（6﹣t）2，即t2+2t﹣4＝0，解得：t1＝﹣1，t2＝﹣

﹣1＜0 （舍去），

∴当t＝

﹣1时，点E在PQ的垂直平分线上；

（4）连接FF'交AB于点N，

第29页（共30页）

∵点F关于AB的对称点为F′， ∴∠FEB＝∠F′EB，FN⊥EB， ∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB， ∴∠F′EB＝∠ABD， ∴∠FEB＝∠ABD， ∴EF＝FB，

∴BN＝EN＝BE＝t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPF＝∠FQB， ∵DFP＝∠BFQ， ∴△DPF∽△BQF， ∴

＝2，

∴DF＝2BF， ∴2BF+BF＝6， ∴BF＝2，

∵∠FBN＝∠ABD，∠FNB＝∠ADB， ∴△BNF∽△BDA， ∴

，

∴，解得：t＝，

．

∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为

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