大名县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

大名县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

C．﹣

D．

|=

，则

•

=（ ）

2． 下列命题的说法错误的是（ ）

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

3． 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)//c，则（ ）

11 B． C．1 D．2 424． 已知a,b,c为ABC的三个角A,B,C所对的边，若3bcosCc(13cosB)，则sinC:sinA（ ）

A．

A．2︰3 B．4︰3 C．3︰1 D．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 5． 在复平面内，复数Z=A．第四象限

+i2015对应的点位于（ ）

C．第二象限

B．第三象限 D．第一象限

6． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）

A．7 B．15 C．31 D．63

7． cos80cos130sin100sin130等于（ ）

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精选高中模拟试卷

A．3311 B． C． D． 22228． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，则实数x的值是（ ） A．﹣2 9． 已知向量

B．2 ，

，其中

C．﹣

．则“

D． ”是“

”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（ ） A．{5} B．{1，2，5} A．（￢p）∨q

C．{1，2，3，4，5} D．∅

11．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）

B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）

＜0的解集为（ ）

12．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

A．（﹣1，0）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

D．（﹣1，0）∪（0，1）

二、填空题

13．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点； ③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点； ④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

14．在区间[﹣2，3]上任取一个数a，则函数f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值的概率为 ．

15．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于 ．

16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °．

17．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ．

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18．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ．

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

三、解答题

19．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

20．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．

（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程； 边形ABCD面积的最小值．

21．已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，且2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 （Ⅱ）若数列{bn}满足an+1=（）

，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．

，求证：对任意正整数n≥2，总有x的图象上（n∈N*），

（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四

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22．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示． （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ ξ的分布列和数学期望；

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考： P（K2≥k） k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

2

（参考公式：K=

，其中n=a+b+c+d）

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23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°． （1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；

2

（2）若∠DAE=25°，求证：DA=DC•BP．

24．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数fx为偶函数且图象经过原点，其导函数f'x的图象过点1，2． （1）求函数fx的解析式；

（2）设函数gxfxf'xm，其中m为常数，求函数gx的最小值．

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大名县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|即有|则即有

，•|2+|

|2=|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

|=

，

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

2． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确； B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A．

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为a(1,2)，b(1,0)，所以(ab)1,2，又因为(ab)//c，所以

4160,1，故选B. 2考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 4． 【答案】C

【解析】由已知等式，得c3bcosC3ccosB，由正弦定理，得sinC3(sinBcosCsinCcosB)，则

sinC3sin(BC)3sinA，所以sinC:sinA3:1，故选C．

5． 【答案】A

【解析】解：复数Z=复数对应点的坐标（故选：A．

+i2015=

），在第四象限．

﹣i=

﹣i=﹣

．

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【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．

6． 【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

7． 【答案】D 【解析】

试题分析：原式cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30 3． 2考点：余弦的两角和公式.

8． 【答案】A

【解析】解：∵ =（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥， ∴

=0，

∴8﹣6+x=0； ∴x=﹣2； 故选A．

【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．

9． 【答案】A

【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若反过来，若所以“

，则，则”是“

或

”成立的充分而不必要条件。

成立；

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故答案为：A 10．【答案】B

【解析】解：∵CUA={1，5}

∴B∪（∁UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B．

11．【答案】B

【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题， 可推出￢p为假命题，q为假命题， 故为真命题的是p∨q， 故选：B．

【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．

12．【答案】D

【解析】解：由奇函数f（x）可知而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0， 当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得

＜0，满足； ＞0，不满足，舍去；

＜0，满足；

，即x与f（x）异号，

又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，

当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得故选D．

＞0，不满足，舍去；

所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1． 【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．

二、填空题

13．【答案】 ①②⑤

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

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222

对于③④，g（x）=2x﹣1，令2（2x﹣1）﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，

1，

2

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x+2x﹣1）=0

还有另外两解

不动点，故③④错误；

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0 即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾； 假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾； 故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

14．【答案】

【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a， 则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，

32

若f（x）=x﹣ax+（a+2）x有极值，

2

则f'（x）=x﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，

．

即判别式△=4a﹣4（a+2）＞0，

2

解得a＞2或a＜﹣1， ∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，

则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2， ∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=， 故答案为：

【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．

15．【答案】 6 ．

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【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，

x

xx

∴f（x）﹣2=a，即f（x）=a+2，

∴当x=a时，

x

∴f（x）=2+2，

a

又∵a+2=6，∴a=2，

xxxx

∴f（x）+f（﹣x）=2+2+2+2﹣=2+2﹣+4

≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6， 故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

16．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

a，

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的 定义及其求法等知识，属于中档题．

17．【答案】 35 ．

【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，

又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，

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又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1， ∴S10=10a1+故答案为：35．

【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

18．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

=35．

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，∴

=，化为

，解得a1=．

=

．

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

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（2）证明：对任意正整数n都有

∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1 =（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3 =

∴当n≥2时，∴

=，

又∴

=．

．

==

=（n+1）（n﹣1）．

=

+…+

=2n+1，

．

=

＜

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】 【解析】解：（1）设切点由

．

，

，知抛物线在Q点处的切线斜率为

．

故所求切线方程为

2即y=x0x﹣x0．

因为点P（0，﹣4）在切线上． 所以

，

，解得x0=±4．

所求切线方程为y=±2x﹣4．

（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0． 因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1． 点A，C的坐标满足方程组得x﹣4kx﹣4=0，

2

，

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由根与系数的关系知|AC|=

， =4（1+k2），

因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1． 同理可求得|BD|=4（1+SABCD=|AC||BD|=当k=1时，等号成立．

所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

），

=8（2+k2+

）≥32．

【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解：（I）∵2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列． ∴2（a1+a2+2a3）=2a1+a1+2a2．

22

∴2（1+q+2q）=3+2q，化为4q=1，公比q＞0，解得q=．

∴an=

．

，∴

=

，

（II）∵数列{bn}满足an+1=（）∴

bn=n，∴bn=n•2n﹣1．

2n1

∴数列{bn}的前n项和Tn=1+2×2+3×2+…+n•2﹣．

2Tn=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，

2n1n

∴﹣Tn=1+2+2+…+2﹣﹣n•2=n

∴Tn=（n﹣1）•2+1．

22．【答案】

【解析】

n

﹣n•2，

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；

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（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；

2

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K，从而与临界值比较，即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所

以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2 P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

1

+1×

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

≈5.584＞5.024

+2×

2

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为

0 ξ P

数学期望Eξ=0×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为 优秀 不优秀

甲班 3 17

20 合计

┉┉┉┉┉ K2=

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉ 23．【答案】

【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°， 又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°， ∴∠D=115°．

证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA， ∴△ADC∽△PBA，∴

，

【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

2

又DA=BA，∴DA=DC•BP．

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224．【答案】（1）fxx；（2）m1

【解析】（2）

m，22 据题意，gxfxf'xmx2xm，即gx{mx22xm，x，2mm2m2①若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222m2m2单调递减；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递减，在

22x22xm，x上单调递增，故gx的最小值为g1m1． 1，mmm21，即2m2，当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递减； 222m2m当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递增，故gx的最小值为

22②若1第 15 页，共 16 页

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2mm． g24mm22③若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递

22m2mm2减，在1，上单调递增；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222单调递增，故gx的最小值为g1m1．

m2综上所述，当m2时，gx的最小值为m1；当2m2时，gx的最小值为；当m2时，

4gx的最小值为m1．

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