2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ） A．5，6，10
B．4，4，8
C．3，4，8
D．6，7，14
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣2，1）
B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣1）
5．（3分）已知，正n边形的每一个内角是144°，则n的值是（ ） A．6
B．8
C．10
D．12
6．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10
B．7
C．5
D．4
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
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A．30°
B．36°
C．45°
D．70°
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，
21
则线段BE与线段EF的数量关系是（ ）
A．BE＝2EF
B．5BE＝3EF
C．3BE＝2EF
D．BE＝4EF
9．（3分）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）
A．β＝α+γ
B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ
D．β＝2α﹣2γ
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E、F为AC、BC上的动点，且CF＝AE，连接BE，AF，当BE+AF取得最小值时，则AE：BF的值为（ ）
A．0.5
B．1
C．√2
D．2
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，
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请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理是利用三角形的 ．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝5，则CF的长为 ．
13．（3分）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝ ． 14．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是 ．（填一种即可）
15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，AB＝7，AC＝9．则△AMN的周长是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E、F分别为边AC、BC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠FDE＝ °．
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三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．
18．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，垂足分别为A，D，AB＝DC．求证：AC＝BD．
19．（8分）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
20．（8分）如图，在7×6的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（4，0）、B（1，1）、C（6，2）都是格点，请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）直接写出点C关于x轴的对称点C的坐标： ； （2）画出线段BD，使BD⊥AC于点D； （3）①画出线段CE，使CE⊥AB于点E； ②画出线段AF，使AF⊥BC于点F．
21．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
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（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．
22．（10分）已知，在△ABC中，D是AC上一点，BF交AC于点E，连接DF． （1）如图1，BE＝EF，AB∥DF．求证：AE＝DE；
（2）如图2，点D与点C重合，∠A＝90°，∠ACB＝∠ECF，∠F＝∠AEB．若CE＝3，BC＝5，求AC的长．
23．（10分）已知，点I为△ABC三个内角平分线的交点，∠ACB＝2∠ABC． （1）如图1，若∠BAC＝30°，求∠BIC的度数； （2）如图2，求证：AB＝AC+CI； （3）若AC＝BI，则∠ABC＝ °．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． （1）如图1，若OB＝3，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在
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第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度．
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2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D． 故选：D．
3．（3分）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ） A．5，6，10
B．4，4，8
C．3，4，8
D．6，7，14
【解答】解：A、5+6＞10，能够组成三角形； B、4+4＝8，不能构成三角形； C、3+4＜8，不能构成三角形； D、7+6＜14，不能组成三角形． 故选：A．
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4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣2，1）
B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣1）
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）． 故选：A．
5．（3分）已知，正n边形的每一个内角是144°，则n的值是（ ） A．6
B．8
C．10
D．12
【解答】解：∵正n边形的每一个内角都等于144°， ∴每一个外角都是180﹣144＝36（度）， ∴n＝360÷36＝10． 故选：C．
6．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10
B．7
C．5
D．4
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCE=BC•EF=故选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）
1
21
×5×2＝5， 2第8页（共24页）
A．30°
B．36°
C．45°
D．70°
【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C=可得2x=
180°−𝑥
， 2180°−𝑥
， 2解得：x＝36°， 则∠A＝36°， 故选：B．
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，
21
则线段BE与线段EF的数量关系是（ ）
A．BE＝2EF
B．5BE＝3EF
C．3BE＝2EF
D．BE＝4EF
【解答】解：连接AE．
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∵AB＝AC，∠CAB＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°，
∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴EC＝EA，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣∠CAE＝90°， ∵∠AFE＝90°， ∴AF＝2EF，BE＝2AE， ∴BE＝4EF． 故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）
A．β＝α+γ
B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ
D．β＝2α﹣2γ
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝β， ∴∠B＝∠EFC＝β， ∵CD平分∠BCA， ∴∠ACB＝2∠BCD， ∵∠ADC是△BDC的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD， ∵∠ADC＝γ， ∴∠BCD＝γ﹣β，
∵∠MAC是△ABC的外角， ∴∠MAC＝∠B+∠ACB， ∵∠MAC＝α， ∴α＝β+2（γ﹣β），
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即β＝2γ﹣α， 故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E、F为AC、BC上的动点，且CF＝AE，连接BE，AF，当BE+AF取得最小值时，则AE：BF的值为（ ）
A．0.5
B．1
C．√2
D．2
【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．
∵CA＝CB，∠C＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵C，D关于AB对称，
∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°， ∴四边形ACBD是矩形， ∵CA＝CB，
∴四边形ACBD是正方形， ∵在△ACF和△DAE中， 𝐶𝐹=𝐴𝐸
{∠𝐶=∠𝐸𝐴𝐷=90°， 𝐶𝐴=𝐷𝐴
∴△ACF≌△DAE（SAS）， ∴AF＝DE， ∴AF+BE＝ED+EB，
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∵CA垂直平分线段DH， ∴ED＝EH， ∴AF+BE＝EB+EH， ∵EB+EH≥BH，
∴AF+BE的最小值为线段BH的长， ∴当点E在BH上时，BE+AF取得最小值， 此时：在△AHE和△CBE中， {∠𝐻𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=90°， 𝐴𝐻=𝐵𝐶
∴△AHE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝CE=AC， ∴CF＝AE=BC， ∴BF=BC=AC， ∴AE：BF的值为1， 故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理是利用三角形的 稳定性 ．
1
2121212∠𝐴𝐸𝐻=∠𝐵𝐸𝐶
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝5，则CF的长为 2 ．
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【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， 又BC＝7， ∴EF＝7， ∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2， 故答案为：2．
13．（3分）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则n＝ 11 ． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣3＝8，解得n＝11． 故答案为：11．
14．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是 AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD ．（填一种即可）
【解答】解：添加AC＝AD，利用SAS可得△ABC≌△ABD； 添加∠C＝∠D，利用AAS可得△ABC≌△ABD； 添加∠ABC＝∠ABD，利用ASA可得△ABC≌△ABD； 故答案为：AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，AB＝7，AC＝9．则△AMN的周长是 16 ．
【解答】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵MN∥BC
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∴∠OBC＝∠BOM， ∴∠ABO＝∠BOM， ∴BM＝OM， 同理可得CN＝ON，
∴△AMN的周长＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC， ∵AB＝7，AC＝9，
∴△AMN的周长＝7+9＝16． 故答案为：16．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E、F分别为边AC、BC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠FDE＝ 90 °．
【解答】解：作D关于AC的对称点D′，D关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于E交BC于F，
则此时，△DEF的周长最小， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC， ∴∠BDD′＝45°， ∴∠D′DD″＝135°， ∴∠D′+∠D″＝45°， ∵ED′＝ED，DF＝D″F，
∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF， ∴∠D″DF+∠D′DE＝45°， ∴∠FDE＝90°， 故答案为：90．
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三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，求∠B的度数．
【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE， ∴∠B＝80°﹣30°＝50°．
18．（8分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，垂足分别为A，D，AB＝DC．求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD， ∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，
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𝐴𝐵=𝐷𝐶{， 𝐵𝐶=𝐶𝐵
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴AC＝BD．
19．（8分）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm， 由题意可得，x+2x+2x＝35， 解得x＝7， ∴2x＝14，
即各边的长为7cm、14cm、14cm；
（2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形， 当腰长为9cm时，则底边长为35﹣9×2＝17（cm）， ∵9+9＞17，
∴能围成有腰长为9cm的等腰三角形， ∴三角形的另外两边长为9cm、17cm；
当底边长为9cm时，则腰长为（35﹣9）÷2＝13（cm）， ∵13+9＞13，
∴能围成有底边长为9cm的等腰三角形， ∴三角形的另外两边长为13cm、13cm；
由上可得，三角形的另外两边长为9cm、17cm或13cm、13cm．
20．（8分）如图，在7×6的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（4，0）、B（1，1）、C（6，2）都是格点，请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹． （1）直接写出点C关于x轴的对称点C的坐标： （6，﹣2） ； （2）画出线段BD，使BD⊥AC于点D； （3）①画出线段CE，使CE⊥AB于点E； ②画出线段AF，使AF⊥BC于点F．
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【解答】解：（1）点C关于x轴的对称点C的坐标（6，﹣2）． 故答案为（6，﹣2）．
（2）如图，线段BD即为所求． （3）①如图，线段CE即为所求． ②如图，线段AF即为所求．
21．（8分）已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．
【解答】（1）证明：如图， ∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中
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𝐴𝐷=𝐵𝐶{∠𝐴=∠𝐵 𝐴𝐶=𝐵𝐸
∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴CD＝CE；
（2）解：△BEF为等腰三角形，证明如下： 由（1）可知CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BEC， ∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC， 即∠BFE＝∠BED， ∴BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形．
22．（10分）已知，在△ABC中，D是AC上一点，BF交AC于点E，连接DF． （1）如图1，BE＝EF，AB∥DF．求证：AE＝DE；
（2）如图2，点D与点C重合，∠A＝90°，∠ACB＝∠ECF，∠F＝∠AEB．若CE＝3，BC＝5，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABE和△DFE中，
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{∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹𝐵𝐸=𝐸𝐹
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐷𝐸𝐹
，
∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AE＝DE；
（2）解：过B作BH∥DF交CA的延长线于点H， ∴∠HBE＝∠F＝∠AEB，∠H＝∠ACF＝ACB， ∴BH＝EH＝BC＝5， ∵CE＝3，
∴CH＝HE+CE＝8， 又∠BAD＝90°， ∴CA＝HA=CH＝4．
1
2
23．（10分）已知，点I为△ABC三个内角平分线的交点，∠ACB＝2∠ABC． （1）如图1，若∠BAC＝30°，求∠BIC的度数； （2）如图2，求证：AB＝AC+CI； （3）若AC＝BI，则∠ABC＝ 40 °．
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【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣30°＝150°， ∵点I为△ABC三个内角平分线的交点， ∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB， ∵∠BIC+∠IBC+∠ICB＝180°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣75°＝105°； （2）如图2，在AB上截取AH＝AC，连接HI，AI，
1
212
∵点I为△ABC三个内角平分线的交点， ∴AI平分∠BAC， ∴∠BAI＝∠CAI， 在△AHI和△ACI中， 𝐴𝐶=𝐴𝐼
{∠𝐵𝐴𝐼=∠𝐶𝐴𝐼， 𝐴𝐼=𝐴𝐼
∴△AHI≌△ACI（SAS）， ∴IC＝HI，∠ACI＝∠AHI， ∵∠ACB＝2∠ABC． ∴∠ACI＝2∠ABI， ∴∠AHI＝2∠ABI，
第20页（共24页）
又∵∠AHI＝∠ABI+∠BIH， ∴∠ABI＝∠BIH， ∴BH＝IH＝IC， ∴AB＝AH+BH＝AC+IC； （3）如图3，连接HI，
∵∠ACB＝2∠ABC， ∴∠BCI＝∠ABC， 在△BHC和△CIB中， 𝐵𝐻=𝐼𝐶
{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐼𝐶𝐵， 𝐵𝐶=𝐶𝐵
∴△BHC≌△CIB（SAS）， ∴CH＝BI， 又∵BI＝AC， ∴CH＝AC＝AH， ∴△ACH是等边三角形， ∴∠HAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∵∠ACB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝40°， 故答案为：40．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． （1）如图1，若OB＝3，则点C的坐标为 （3，7） ；
（2）如图2，若OB＝4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在
第21页（共24页）
第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°， ∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO， ∴∠ABO＝∠BCH， 在△ABO和△BCH中， {∠𝐶𝐻𝐵=∠𝐴𝑂𝐵
∠𝐵𝐶𝐻=∠𝐴𝐵𝑂， 𝐵𝐶=𝐴𝐵
∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH＝OB＝3，BH＝AO＝4， ∴OH＝7， ∴点C（3，7）， 故答案为：（3，7）；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，
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∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°， ∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO， ∴∠DBO＝∠EDF， 在△BOD和△DFE中，
∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐸𝐹𝐷{∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐷𝐹， 𝐵𝐷=𝐸𝐷
∴△BOD≌△DFE（AAS）， ∴BO＝DF＝4，OD＝EF， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°， ∵OA＝DF＝4， ∴OD＝AF＝EF， ∴∠EAF＝∠AEF＝45°， ∴∠BAE＝90°， ∴BA⊥AE；
（3）过点C作CG⊥y轴G，
第23页（共24页）
由（1）可知：△ABO≌△BCG， ∴BO＝GC，AO＝BG＝4， ∵BF＝BO，∠OBF＝90°， ∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°， 又∵∠CPG＝∠FPB， ∴△CPG≌△FPB（AAS）， ∴BP＝GP， ∴BP=1
2BG＝2．
第24页（共24页）
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