物理万有引力定律的应用练习题含答案

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G．求： (1)地球的密度； (2)地球的第一宇宙速度v； (3)“天宫一号”距离地球表面的高度． 3g【答案】(1) (2)v4GRgR (3)h3gT2R2R 24【解析】

（1）在地球表面重力与万有引力相等：GMmmg， R2地球密度：

MM4R3 V3解得：3g 4GRv2（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，mgm

RvgR （3）天宫一号的轨道半径rRh， 据万有引力提供圆周运动向心力有：GMm42mRh2，

TRh2解得：h3gT2R2R 24

2．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求： （1）a、b两颗卫星周期分别是多少？ （2） a、b两颗卫星速度之比是多少？

（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1）2【解析】

【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得

R8R ，16 （2）速度之比为2 ；g7gR g运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；

解：（1）卫星做匀速圆周运动，F引F向， 对地面上的物体由黄金代换式GMmmg 2RGMm42m2R a卫星2RTa解得Ta2R gGMm42m2·4R b卫星

(4R)2Tb解得Tb16R g（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向，

GMmmva2a卫星

R2R解得vaGM RMmv2mb卫星b卫星G 2(4R)4R解得vbGM 4RVa2 所以 Vb22 （3）最远的条件

TaTb解得t87R g

3．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g月；

（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M和月球的“第一宇宙速度”大小v．

2h2hR2【答案】（1）g月2 （2）M；v2tGt2hR t【解析】 【分析】

（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；

（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】

（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h＝月球表面的自由落体加速度大小 g月＝（2）若不考虑月球自转的影响 G 1g月t2 22h2 tMm＝mg月 2R2hR2月球的质量 M＝ 2Gtv2质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m′g月＝m′

R月球的“第一宇宙速度”大小 v＝g月R＝【点睛】

结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v．

2hR t

4．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T，已知万有引力常量为G．求： （1）该行星的质量．

（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？

42r34002r【答案】（1）M（2）g 2GTT2【解析】

（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则

Mm4242r3有：G2m2r，可得M

rTGT2（2）由

GMmmgGM4002r1，则得：g1002 (r)2rT210

5．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位

于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?

33GmL【答案】（1）4（2） 3L5Gm【解析】 【分析】

（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】

（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：

Gm2Gm222m()L 22(2L)LTL3 T45Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗

L星，满足：Gm

22cos30m(2)Lcos302解得：=3Gm L3

6．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度800m时速度为60m/s，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m时速度减为10m/s。该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为g = 10m/s2。求：

(1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.

【答案】(1)g火=4m/s (2)F=260N 【解析】 【分析】

火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力. 【详解】

（1）设火星表面的重力加速度为g火，则G2M火mr2火=mg火

GM地m=mg 2r地解得g火=0.4g=4m/s2

（2）着陆下降的高度：h=h1-h2=700m，设该过程的加速度为a，则v22-v12=2ah 由牛顿第二定律：mg火-F=ma 解得F=260N

7．某双星系统中两个星体 A、B 的质量都是 m，且 A、B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期 T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且 k (

） ，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认

为 C 位于双星 A、B 的连线中点．求： (1)两个星体 A、B组成的双星系统周期理论值； (2)星体C的质量．

【答案】（1）【解析】 【详解】

；（2）

(1)两星的角速度相同,根据万有引力充当向心力知:

可得：

两星绕连线的中点转动,则

解得：

(2)因为C的存在,双星的向心力由两个力的合力提供,则

再结合： k

可解得：

故本题答案是：（1）【点睛】

；（2）

本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可.

8．“嫦娥一号”探月卫星在空中的运动可简化为如图5所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道.已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面重力加速度为g，月球表面重力加速度为.求： (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度大小； (2)卫星在工作轨道上运行的周期.

【答案】(1) 【解析】

(2)

（1）卫星停泊轨道是绕地球运行时，根据万有引力提供向心力：解得：卫星在停泊轨道上运行的线速度

；

物体在地球表面上，有，得到黄金代换，代入解得

； ，

（2）卫星在工作轨道是绕月球运行，根据万有引力提供向心力有

在月球表面上，有，得

，

．

联立解得：卫星在工作轨道上运行的周期

9．2018年5月21日5时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空，进入预定轨道．设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R．求：

（1）“鹊桥”号中继星离地面的高度h； （2）“鹊桥”号中继星运行的速度大小v；

（3）“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度大小． 【答案】（1）h【解析】 【分析】 【详解】

(1)设地球质量为M，“鹊桥”号中继星的质量为m，

3242gR2T22gR16gR（3）a3 R（2）v3244TTMm42m(Rh)2 万有引力提供向心力：G(Rh)2TMm'对地面上质量为m的物体有：G2m'g

R'联立解得：h3gR2T2R 242(Rh) T(2)“鹊桥”号中继星速度大小为：v22gR 联立解得：v3Tv2(3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小为：a

Rh4216gR得：a3 4T【点睛】

万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解.

10．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题

(1)以下是地球和太阳的有关数据

(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v＝7.9km/s，万有引力常量G＝6.67×l0－

11

m3kg－1s－2，光速C＝3×108ms－1；

(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．

在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量；

②试估算太阳表面的重力加速度；

③己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R． 【答案】（1）6×1024kg（2）3103m/s2（3）【解析】

2GM 2CGM地mv2m (1)物体绕地球表面做匀速圆周运动2R地RR地v2＝6×1024kg 解得：MG(2)在地球表面解得：g地GM地mmg地 2R地GM地 2R地GM日 2R日同理在太阳表面g日2M日R地32g日g310m/s 地2M地R日v12GMm(3)第一宇宙速度m 2RR第二宇宙速度v2c2v1 解得：R2GM C2【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物

体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．